高中数学苏教版 (2019)必修 第二册14.4 用样本估计总体导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册14.4 用样本估计总体导学案，共8页。


平均数、中位数、众数的定义
(1)平均数、均值
①(算术)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．
②总体均值：一般地，我们把总体中所有数据的算术平均数，称为总体的均值．
③一个平均数的计算公式
一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
(2)众数
一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数．
(3)中位数
一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数．
1．奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为( )
A．减少计算量
B．避免故障
C．剔除异常值
D．活跃赛场气氛
【解析】选C.因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平．
2．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )
A．平均数>中位数>众数
B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数
D．众数＝中位数＝平均数
【解析】选D.众数、中位数、平均数都是50.
3．(教材练习改编)某厂抽查了某节能灯泡的使用寿命数据如下：
则这些节能灯泡使用寿命的平均数是________．
【解析】这些节能灯泡使用寿命的平均数是
eq \f(450×20＋550×10＋600×30＋650×15＋700×25,100) ＝597.5(天).
答案：597.5天
4．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，其中位数为22，则x等于________．
【解析】根据题意知，中位数22＝ eq \f(x＋23,2) ，则x＝21.
答案：21
5．某学校抽查了某班级某月5天的用电量，数据如表(单位：度)：
(1)求这个班级这5天用电量的平均数；
(2)求这个班级这5天用电量的众数、中位数；
(3)学校共有36个班级，若该月按22天计，试估计该校该月的总用电量．
【解析】(1)因为(9×3＋10×1＋11×1)÷5＝9.6(度)，
所以这个班级这5天用电量的平均数为9.6度．
(2)这个班级这5天用电量的众数是9度，中位数是9度．
(3)因为9.6×36×22＝7 603.2(度)，
所以估计该校该月的总用电量为7 603.2度．
一、单选题
1．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 ( )
A．3.5 B．3 C．－0.5 D．－3
【解析】选D.因为错将其中一个数据105输入为15，所以此时求出的数与实际的数的差是15－105＝－90，因此平均数之间的差是－90÷30＝－3.
2．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解析】选D.由题意得a＝ eq \f(1,10) (16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝ eq \f(157,10) ＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，所以c＞b＞a.
3．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝ eq \f(\r(5)－1,2) ≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数与标准值0.618比较，正确的结论是( )
A．甲批次的总体平均数与标准值更接近
B．乙批次的总体平均数与标准值更接近
C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
【解析】选A.计算可得甲批次样本的平均数为0.617，乙批次样本的平均数为0.613，由此估计两个批次的总体平均数分别为0.617，0.613，则甲批次的总体平均数与标准值更接近．
4．某排球队12名队员的年龄如表所示：
则该队队员年龄的众数与中位数分别是( )
A．19岁，19岁 B．19岁，20岁
C．20岁，20岁 D．20岁，22岁
【解析】选B.由众数的定义可知，数据19出现的次数最多，达4次，12个数据中，由小到大排列后第6个与第7个位置上的数都是20，这两个数的平均数也是20.所以该队队员年龄的众数与中位数分别是19岁，20岁．
5．为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据，下列结论错误的是( )
A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25
B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5
C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的约有320人
D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的约有32人
【解析】选D.频率分布直方图中，中位数是频率为0.5的分界点的横坐标，由频率分布直方图可知前2组的频率和为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.02＋0.06)) ×5＝0.4，因此中位数出现在第3组．设中位数为x，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－25)) ×0.08＝0.1，x＝26.25，所以A正确；众数是指样本中出现频率最高的数，在频率分布直方图中通常取纵坐标最高的一组区间的中点，所以众数为 eq \f(25＋30,2) ＝27.5，所以B正确；仰卧起坐次数超过30的频率为0.04×5＝0.2，所以频数为1 600×0.2＝320人，所以C正确；仰卧起坐的次数少于20次的人数约有0.02×5×1 600＝160，所以D错误．
二、多选题
6．已知一组数据：12，5，9，5，14，则下列说法正确的是( )
A．平均数是9 B．中位数是9
C．众数是5 D．均值为5
【解析】选ABC.数据描述类的题目，主要考查了平均数、中位数、众数的计算，题目数据比较简单，先从简单的众数入手，C是正确的，其次从小到大排列：5，5，9，12，14，B是正确的，再算平均数，所以A也正确，均值实际上是平均数，所以选项D错误．
7．小华所在的年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，则下列说法正确的是( )
A．1.65米是该班学生身高的平均水平
B．班上比小华高的学生人数不会超过25人
C．这组身高数据的中位数不一定是1.65米
D．这组身高数据的众数不一定是1.65米
【解析】选ACD.本题考查了一组数据中的中位数、平均数、众数的概念及三者的求法，由平均数所反映的意义知A选项正确，由中位数与平均数的关系确定C选项正确，由众数与平均数的关系确定D选项正确，由于平均数受一组数据中的极端值的影响，故B选项错误．
三、填空题
8．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．
【解析】 eq \f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6) ＝6.
答案：6
9．某商场一天中售出某品牌运动鞋20双，其中各种尺码鞋的销量如表所示：
则这20双鞋的尺码组成的一组数据中，众数是________，中位数是________，在众数和中位数中，商场最感兴趣的是________．
【解析】因为这组数据中，25出现的次数最多，所以这组数据的众数是25；将该组数据从小到大排列后，处于中间位置的是第10个数和第11个数，均为24.5，故该组数据的中位数是24.5；在众数和中位数中，商场最感兴趣的是众数．
答案：25 24.5 众数
四、解答题
10．某公司销售部有销售人员15人，为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如表：
(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；
(2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售定额定为320件，你认为是否合理，为什么？如果不合理，请你制定一个较合理的销售定额．
【解析】(1)平均数为 eq \f(1,15) ×(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320，中位数为210，众数为210.
(2)不合理．因为15人中有13人的销售量达不到320件，也就是说，320虽是这一组数据的平均数，但它却不能反映销售人员的一般水平．销售定额为210件合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是绝大部分人都能达到的销售量．
11．某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如表所示：
(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．
【解析】(1)甲的平均成绩为(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为(73＋65＋84)÷3＝74，
所以候选人丙将被录用．
(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，
所以候选人甲将被录用．
一、选择题
1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m，平均数为 eq \x\t(x) ，则( )
A．me＝m＝ eq \x\t(x) B．me＝m< eq \x\t(x)
C．me【解析】选D.由题图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，即me＝5.5，5出现的次数最多，故m＝5， eq \x\t(x) ＝ eq \f(1,30) ×[2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10]≈5.97.于是得m2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A．85分、85分、85分
B．87分、85分、86分
C．87分、85分、85分
D．87分、85分、90分
【解析】选C.由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85分，
平均数为 eq \f(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75,10) ＝87分．
3．(多选)下列各选项不正确的是( )
A．中位数是一组数据中间的数
B．众数是一组数据中出现次数最多的数，给定一组数据，它可有多个众数，也可能没有众数
C．一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的
D．若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变
【解析】选ACD.A.由中位数的定义可知，中位数与一组数据个数的奇偶性有关．
B．由众数的定义可知，众数是一组数据中出现次数最多的数．在数据1，1，1，2，2，2，3中就有两个众数1和2；在数据1，3，4，6，8，2中就没有众数．
C．由众数的定义可知，一个样本的众数可能有一个，也可能有多个．
D．若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变．
二、填空题
4．已知一组数据按从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数是________，平均数是________．
【解析】因为中位数为5，
所以 eq \f(4＋x,2) ＝5，即x＝6.
所以该组数据的众数为6，
平均数为 eq \f(－1＋0＋4＋6＋6＋15,6) ＝5.
答案：6 5
5．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．
【解析】由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是 eq \f(40×90＋50×81,90) ＝85(分).
答案：85
6．某住宅小区6月份随机抽查了该小区6天的用水量(单位：吨)，结果分别是30，34，32，37，28，31，那么，请你估计该小区6月份(30天)的总用水量约是________吨．
【解析】(30＋34＋…＋31)÷6＝32(吨)，所以估计该小区6月份(30天)的总用水量约是32×30＝960(吨).
答案：960
7．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中分别抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行追踪调查的结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.
三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数．
甲：________，乙：________，丙：________．
【解析】对甲分析：8出现的次数最多，故运用了众数；对乙分析：8既不是众数，也不是中位数，求平均数可得，平均数＝ eq \f(1,8) ×(4＋6＋6＋6＋8＋9＋12＋13)＝8，故运用了平均数；对丙分析：共8个数据，最中间的是7和9，故其中位数是8，即运用了中位数．
答案：众数 平均数 中位数
三、解答题
8．下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：
(1)计算所有人员的周平均收入；
(2)这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？
(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？
【解析】(1)周平均收入 eq \x\t(x) 1＝ eq \f(1,7) (3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元).
(2)这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．
(3)去掉老板的收入后的周平均收入 eq \x\t(x) 2＝ eq \f(1,6) (450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元).
这能代表打工人员的周收入水平．寿命/天
450
550
600
650
700
只数
20
10
30
15
25
度数
9
10
11
天数
3
1
1
年龄/岁
18
19
20
21
22
人数
1
4
3
2
2
鞋的尺码(单位:cm)
23.5
24
24.5
25
25.5
26
销售量(单位:双)
3
4
4
7
1
1
销售量
1 800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
教学能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
老板
大厨
二厨
采购员
杂工
服务生
会计
3 000元
450元
350元
400元
320元
320元
410元