2022届重庆市缙云教育联盟高三第二次诊断性检测数学试题（含答案解析）

★秘密·2022年4月14日17：00前

重庆市2022年高考第二次诊断性检测

高三数学

【命题单位：重庆缙云教育联盟】

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；

4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z满足，则的最大值为（       ）

A．1 B．2 C．5 D．6

2．已知函数，则函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（       ）

A． B． C． D．

3．已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

4．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，是半径分别为的两个同心圆的圆心，等腰三角形的顶点在外圆上，底边的两个端点都在内圆上，点在直线的同侧．若线段与劣弧所围成的弓形面积为，△与△的面积之和为，设．经研究发现当的值最大时，纪念章最美观，当纪念章最美观时，（          ）

A． B． C． D．

5．设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（　　）

①存在一个圆与所有直线相交；

②存在一个圆与所有直线不相交；

③存在一个圆与所有直线相切；

④中所有直线均经过一个定点；

⑤不存在定点不在中的任一条直线上；

⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；

⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等．

A．3 B．4 C．5 D．6

6．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（       ）

A． B． C． D．

7．已知函数，若函数恰有三个零点时，（其中m，n为正实数），则的最小值为（       ）

A．9 B．7 C． D．4

8．已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（       ）

A．13 B． C．5 D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9．已知点是圆上的任意一点，直线，则下列结论正确的是（       ）

A．直线与圆的位置关系只有相交和相切两种

B．圆的圆心到直线距离的最大值为

C．点到直线距离的最小值为

D．点可能在圆上

10．设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（       ）

A． B．当时，取得最小值

C． D．当时，的最小值为29

11．设分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若为正三角形，则（       ）

A． B．双曲线的离心率

C．双曲线的焦距为 D．的面积为

12．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，是边长为1的等边三角形，E为的中点，则（       ）

A． 

B．直线与所成的角为30°

C．平面 

D．线段的长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．的展开式中的系数是，则___________.

14．关于x的不等式，解集为___________.

15．点M在△ABC内部，满足，则____________．

16．定义函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[-1.5]=-2，[2]=2，当时，的值域为An，记集合An中元素的个数为，则的值为_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.

(1)证明：

(2)若，，求的最大值.

18．已知数列，满足，；

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前2n项和．

19．如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，.

(1)若，试证；

(2)在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值最大.

20．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．

(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；

(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：

求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；

(3)证明：．

附：经验回归方程系数：，；

参考数据：，，（其中，）．

21．已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

22．已知函数．

(1)若在处取得极值，求的单调区间；

(2)若函数有1个零点，求a的取值范围．