高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 指数幂的拓展导学案及答案

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薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积S(单位：hm2)与年数t(年)满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值．
如果求10年后侵害的面积，则S＝S0·1.05710；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算S＝S0·
[问题] 这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？



知识点 指数幂及其运算性质
1．正分数指数幂
(1)定义：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的eq \f(m,n)次幂，记作b＝aeq \s\up6(\f(m,n)).这就是正分数指数幂．
(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂aeq \s\up6(\f(m,n))满足：aeq \s\up6(\f(m,n))＝aeq \s\up6(\f(km,kn))；
②aeq \s\up6(\f(m,n))＝eq \r(n,am)．
2．负分数指数幂
给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，定义a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am)) .
3．0的正分数指数幂等于eq \a\vs4\al(0)，0的负分数指数幂没有意义．
4．指数幂的运算性质
(1)aαaβ＝aα＋β(a>0，α，β∈R)；
(2)(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈R)；
(3)(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈R)．
eq \a\vs4\al()
1．分数指数幂aeq \s\up6(\f(m,n))不可理解为eq \f(m,n)个a相乘，它是根式的一种写法．
2．正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．
3．把根式 eq \r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq \f(m,n)进行约分．
4．在幂和根式的化简运算中，一般将根式化为分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行计算．
为什么分数指数幂的底数规定a>0?
提示：①当a