2021学年1.1 随机现象导学案及答案

随机现象 样本空间 随机事件

体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球，观察该球的号码．

[问题]　(1)这个试验的结果共有多少种情况？如何表示这些结果？

(2)如果改为抽取时先抽出一球，放回后再抽出一球，观察该球的号码，那么这个试验的结果共有多少种情况？

知识点一　随机现象

1．确定性现象

在一定条件下必然出现的现象．

2．随机现象

在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象．

3．随机现象的两个特点

(1)结果至少有种；

(2)事先并不知道会出现哪一种结果．

下列现象中，是随机现象的有(　　)

①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；②若a为整数，则a＋1为整数；③发射一颗炮弹，命中目标；④检查流水线上一件产品是合格品．

A．1个　　　　　　　　　 B．2个

C．3个    D．4个

解析：选C　当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机现象．

知识点二　样本空间

1．样本空间

一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作．

2．样本点

样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作ω.

3．有限样本空间

如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间．

“试验”具有广泛的含义，如抛掷硬币、投篮、摸球、产品抽样检验、明天会不会下雨等都可以看成试验．一个试验如果满足下列条件：

(1)试验要在相同的条件下重复进行；

(2)试验的所有结果是确定可知的，且不止一种；

(3)每次试验总会出现这些结果中的一种，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪一种结果，则称这个试验为随机试验．　　　　

1．如何确定试验的样本空间？

提示：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．

2．观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？

提示：不一定，也可能是无限的．如在实数集中，任取一个实数．

从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的数字．

(1)这个试验的样本点的总数为________；

(2)“数字之和为5”这一事件包含样本点为________．

答案：(1)10　(2)(1，4)，(2，3)

知识点三　随机事件

1．随机事件

一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示．

2．必然事件

样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件．

3．不可能事件

空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件．

事件与基本事件的区别

基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，不同的基本事件不可能同时发生．而事件可以由若干个基本事件组成．　　　　

　给出下列四个命题：

①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；

②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件；

③“明天兰州要下雨”是必然事件；

④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．

其中正确命题的序号是(　　)

A．①②③④　　　　　 B．①②③

C．①②④    D．①②

解析：选C　“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件．①正确；“当x为某一实数时，可使x2<0”不可能发生，没有哪个实数的平方小于0，是不可能事件，②正确；“明天兰州要下雨”是随机事件，故③错误；“从100个灯炮中取出5个，5个都是次品”有可能发生，有可能不发生，是随机事件，故④正确．

[例1]　(链接教科书第192页习题A组1题)指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：

(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；

(2)三角形的两边之和大于第三边；

(3)没有空气和水，人类可以生存下去；

(4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；

(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．

[解]　(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．

(2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．

(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．

(4)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件．

(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．

判断一个事件是哪类事件的方法

一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；

二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．　　　　

[跟踪训练]

指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：

(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；

(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；

(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；

(4)没有水分，种子发芽．

解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．

(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．

(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．

(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件．

[例2]　(链接教科书第184页例1)某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y).

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．

[解]　(1)当x＝1时，y＝2，3，4；

当x＝2时，y＝1，3，4；

当x＝3时，y＝1，2，4；

当x＝4时，y＝1，2，3.

因此，这个试验的样本空间是Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．

(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)}．

[母题探究]

(变条件)若将本例中的条件改为每次取一个，先取的小球的标号为x，记录编号后放回盒子摇匀，再取一个小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y).试写出这个试验的样本空间．

解：当x＝1时，y可取1，2，3，4.

同理，x＝2，3，4时，对应的不同的试验结果也有4个．

所以这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．

写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法

(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；

(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏；

(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．　　　　

[跟踪训练]

连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是正面朝上还是反面朝上．

(1)写出这个试验的样本空间Ω；

(2)用集合表示事件M＝“恰有2枚正面朝上”．

解：(1)画树状图如图所示．

因此这个试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．

(2)“恰有2枚正面朝上”包含(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个样本点．

故M＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}．

[例3]　(链接教科书第186页例2，187页例3)同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y).

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)求这个试验包含的样本点的总数；

(3)用集合表示下列事件：

①M＝“x＋y＝5”；②N＝“x<3，且y>1”；③T＝“xy＝4”．

[解]　(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．

(2)样本点总数为16.

(3)①“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1).

所以M＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}；

②“x<3，且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).

所以N＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}；

③“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1).

所以T＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}．

1．随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间：(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．

2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．　　　　

[跟踪训练]

甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布).

(1)写出样本空间；

(2)写出事件“甲赢”；

(3)写出事件“平局”．

解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．

(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．

(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．

1．(多选)下列现象是随机现象的是(　　)

A．连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点

B．走到十字路口，遇到红灯

C．异性电荷相互吸引

D．抛一石块，下落

解析：选AB　A、B是随机现象，C、D是确定性现象，故选A、B.

2．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为(　　)

A．3    B．5

C．6    D．9

解析：选C　由题意，可得样本点为(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(数学，绘画)，(计算机，航空模型)，(计算机，绘画)，(航空模型，绘画)，共6个，故选C.

3．写出下列试验的样本空间：

(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．

解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不能再有其他结果．

答案：(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0，1，2，3，4}