2021邵阳邵东一中高一下学期期末考试数学试题含答案

这是一份2021邵阳邵东一中高一下学期期末考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了若a∈R，且复数a﹣1+，已知向量＝，已知函数，则f，函数等内容，欢迎下载使用。

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邵东一中2021年上学期高一期末考试数学试题
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|2x﹣1＞5}，B＝{3，4，5，6}，则A∩B＝（　　）
A．∅ B．{3} C．{3，4，5，6} D．{4，5，6}
2．若a∈R，且复数a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．已知向量＝（9，6），＝（3，x），若∥，则•（﹣）＝（　　）
A．﹣26 B．﹣25 C．25 D．26
4．已知函数，则f（2021）＝（　　）
A．1 B．2 C． D．3
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若m∥n，n⊂α，则m∥α
6．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的150个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取15个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，15），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，经统计得＝60，＝1200，则该地区这种野生动物数量的估计值为 （　　）
A．60 B．12000 C．1200 D．6000
7．已知正方体的棱长为4，点为中点，点为中点，若平面过点且与平面平行，则平面截正方体所得的截面面积为（　　）
A． B．2 C． D．3
8．函数（，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是2π
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．将函数的图象向左平移后得到的关于y轴对称
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。部分选对的特2分，有选错的得0分。
9．经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是（　　）
A．若数据x1，x2，…，xn方差s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同
B．若数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为6
C．若数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，xn的众数为78，则可以说总体中的众数为78
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（　　）
A．a2＝b2+c2﹣2bccosA B．asinB＝bsinA
C．a＝bcosC+ccosB D．acosB+bcosC＝c
11．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为线段AB上靠近A端的三等分点，E为CD的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．＝ B．与的夹角的余弦值为
C．＝﹣ D．△AED的面积为2
12．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AD＝DE＝2，G为线段AE上的动点，则（　　）
A．AE⊥CF
B．多面体ABCDEF的体积为
C．若G为线段AE的中点，则GB∥平面CEF
D．BG2+CG2的最小值为11
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若对任意x∈R，cos（x﹣φ）＝sinx恒成立，则常数φ的一个取值为　 　．
14．已知一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互独立，则同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为　 　．
15．设函数，则使得成立的的取值范围是 .
16．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的
直棱柱称之为“堑堵”．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为一个“堑
堵”，底面△ABC中，AB⊥AC，且AB＝AC＝2，AA1＝4，点P
在棱CC1上，当A1P⊥BP时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积
为　 　．

四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知||＝4，||＝3，（2﹣3）·（2﹣）＝43．
（1）求与的夹角θ；
（2）求．

18．（12分）某校2020届高三数学教师为分析本校2019年高考文科数学成绩，从该校文科生中随机抽取400名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若每组数据以该组的中点值作为代表，估计这400个学生数学成绩的众数和平均数；
（2）用分层抽样的方法，从这400名学生中抽取20人，再从所抽取的20人中成绩在[120，140]内的学生中抽取2人，求这2人至少有一人成绩在[130，140]内的概率．

19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．
（1）证明：EF∥平面A1CD
（2）求直线EF与直线A1B1所成角的正弦值．



20．（12分）中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC＝3，求周长的最大值.


21．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，
点在棱上，，
且二面角的大小为，
求三棱锥的体积.


22．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．
（1）当a∈R时，解关于x的不等式；
（2）当a∈[2，3]时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求x的取值范围．
2021年上学期高一期末考试数学参考答案
一．选择题（共8小题）
1．已知集合A＝{x|2x﹣1＞5}，B＝{3，4，5，6}，则A∩B＝（　　）
A．∅ B．{3} C．{3，4，5，6} D．{4，5，6}
【答案】D．
2．若a∈R，且复数a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】A．
【点评】本题考查了复数基本概念的理解，解题的关键是掌握纯虚数的定义，考查了运算能力，属于基础题．
3．已知向量＝（9，6），＝（3，x），若∥，则•（﹣）＝（　　）
A．﹣26 B．﹣25 C．25 D．26
【解答】解：∵∥，∴9x＝18，∴x＝2，∴＝（3，2），∴﹣＝（6，4），
∴•（﹣）＝3×6+2×4＝26．
故选：D．
4．已知函数，则f（2021）＝（　　）
A．1 B．3 C．log36 D．2
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，
则f（2021）＝f（﹣3+4×506）＝f（﹣3）＝log33+2＝3；
故选：B．
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若m∥n，n⊂α，则m∥α
【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或异面，故A错误；
对于B，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n与α相交，相交也不一定垂直，故B错误；
对于C，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故C正确；
对于D，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故D错误．
故选：C．
6．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的150个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取15个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，15），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，经统计得＝60，＝1200，则该地区这种野生动物数量的估计值 （　　）
A．60 B．12000 C．1200 D．6000
【解答】解：由题意可知，15个样区的野生动物的平均数为＝1200＝，
所以该地区这种野生动物数量的估计值为．
故选：B．
7．已知正方体的棱长为4，点为中点，点为中点，若平面过点且与平面平行，则平面截正方体所得的截面面积为（　　）
A． B．2 C． D．3
【解答】如图所示，取的中点，则平面即为平面，
过点作的平行线与交于点，则，
过点作的平行线与交于点，则，
平面截正方体所得的截面为，且，，
在中，，
所以，
故的面积为．故答案为：．
故选：A．
8．函数（，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是2π
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．将函数的图象向左平移后得到的关于y轴对称
【解答】根据函数（，）的部分图象以及圆C的对称性，可得，两点关于圆心对称，故，
则，
解得：，函数的周期为，故A错误；
∵函数关于点对称，∴函数的对称中心为，
则当时，对称中心为，故B不正确；
函数的一条对称轴为，
在x轴负方向内，接近于y轴的一条对称轴为，
由图像可知，函数的单调增区间为，，
当时，函数的单调递增区间为，，故C正确；
的一条对称轴为，∴函数的图象向左平移个单位后，
此时，所得图象关于直线对称，故D错误.
故选：C
二．多选题（共4小题）
9．经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是（　　）
A．若数据x1，x2，…，xn方差s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同
B．若数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为6
C．若数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，xn的众数为78，则可以说总体中的众数为78
【解答】解：对于A，数据x1，x2，…，xn的方差为s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同，即x1＝x2＝⋯＝xn，所以选项A正确；
对于B，数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为＝2×3+1＝7，所以选项B错误；
对于C，数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90，符合百分位数的定义，选项C正确；
对于D，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，选项D错误．
故选：AC．
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（　　）
A．a2＝b2+c2﹣2bccosA B．asinB＝bsinA
C．a＝bcosC+ccosB D．acosB+bcosC＝c
【解答】解：由余弦定理可知A显然成立；
由正弦定理，得asinB＝bsinA，B正确；
因为bcosC+ccosB＝2RsinBcosC+2RsinCcosB＝2Rsin（B+C）＝2RsinA＝a，C成立；
因为acosB+bcosC＝2RsinAcosB+2RsinBcosC＝2R（sinAcosB+sinBcosC）≠2RsinC＝c，D不正确．
故选：ABC．
11．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为线段AB上靠近A端的三等分点，E为CD的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．＝
B．与的夹角的余弦值为
C．＝﹣
D．△AED的面积为2
【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
故以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
则A（0，0），B（3，0），C（0，4），D（1，0），E（），
所以，，
，
对于A，因为，
所以＝，故选项A正确；
对于B，，
，
所以与的夹角的余弦值为，故选项B错误；
对于C，＝，故选项C正确；
对于D，△AED的面积为，故选项D错误．
故选：AC．
12．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AD＝DE＝2，G为线段AE上的动点，则（　　）
A．AE⊥CF
B．多面体ABCDEF的体积为
C．若G为线段AE的中点，则GB∥平面CEF
D．BG2+CG2的最小值为11
【解答】解：如图所示，将几何体ABCDEF补全成棱长为2的正方体，
在正方体中，因为CF∥DM，DM⊥AE，所以AE⊥CF，故A正确，
因为VABCDEF＝V正方体＝﹣2VF﹣AME＝8﹣2×，所以B错误，
当G为线段AE的中点时，因为平面GBD∥CEF，所以GB∥CEF，故C正确，
过G作AD的垂线，垂足为H，连接HB，HC，
则BG2+CG2＝AB2+AG2+CD2+DG2＝8+AG2+DG2＝8+AH2+DH2+2GH2，
因为AH＝GH，所以BG2+CG2＝8+DH2+3AH2＝8+（2﹣AH）2+3AH2＝4AH2﹣4AH+12＝4（AH﹣2+11，
当AH＝时，BG2+CG2取得最小值为11，故D正确，
故选：ACD．

三．填空题（共4小题）
13．若对任意x∈R，cos（x﹣φ）＝sinx恒成立，则常数φ的一个取值为　　．
【解答】解：因为对任意x∈R，cos（x﹣φ）＝sin[﹣（x﹣φ）]＝sin（﹣x+φ）＝sin（π﹣x）恒成立，所以﹣x+φ＝π﹣x+2kπ，k∈Z，可得φ＝2kπ+，k∈Z，
故答案为：．（或2kπ+，k∈Z中的一个）
14．已知一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互独立，则同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为　0.58　．
【解答】解：一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互独立，
同一场比赛中他们两人至少有一人进球的对立事件是他们两人同时不进球，
∴同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为：P＝1﹣（1﹣0.4）（1﹣0.3）＝0.58．
故答案为：0.58．
15．设函数，则使得成立的的取值范围是 .
【解答】，所以，为上的偶函数，
又，当时，，故在上为增函数.
因，由 得到，
故，或
故答案为：．
16．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称之为“堑堵”．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为一个“堑堵”，底面△ABC中，AB⊥AC，且AB＝AC＝2，AA1＝4，点P在棱CC1上，当A1P⊥BP时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为　12π　．

【解答】解：在Rt△ABC中，由AB＝AC＝2，得BC＝，
在Rt△AA1B中，，设PC1＝a，则PC＝4﹣a（0＜a＜4），
在Rt△A1C1P中，可得，
在Rt△BPC中，BP＝．
∵A1P⊥BP，∴，
得，解得a＝2，则PC＝4﹣a＝2．即P为CC1的中点．
∵底面ABC为直角三角形，∴外接圆的圆心在斜边BC的中点M处，
设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，则OM⊥平面ABC，
且OM＝PC＝1．∴R＝，
∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×3＝12π．
故答案为：12π．
四．解答题（共6小题）
17．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）·（2﹣）＝43．
（1）求与的夹角θ；
（2）求．
【解答】解：（1）||＝4，||＝3，（2﹣3）·（2﹣）＝43．
可得＝48，所以＝6，所以＝6，
所以cos＝，可得＝．
（2）＝＝＝．
18．某校2020届高三数学教师为分析本校2019年高考文科数学成绩，从该校文科生中随机抽取400名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若每组数据以该组的中点值作为代表，估计这400个学生数学成绩的众数和平均数；
（2）用分层抽样的方法，从这400名学生中抽取20人，再从所抽取的20人中成绩在[120，140]内的学生中抽取2人，求这2人至少有一人成绩在[130，140]内的概率．

【解答】解：（1）众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，即众数的估计值为115．
平均数估计值为10×（85×0.005+95×0.010+105×0.020+115×0.03+125×0.025+135×0.010）＝114；
（2）由频率分布直方图得，成绩在[80，90）内的人数为0.005×10×400＝20人，
[90，100）内的人数为0.010×10×400＝40人，
[100，110）内的人数为0.020×10×400＝80人，[110，120）内的人数为0.030×10×400＝120人，
[120，130）内的人数为0.025×10×400＝100人，[130，140]内的人数为0.010×10×400＝40人，
按照分层抽样方法，抽取20人，则成绩在[80，90）的1人，[90，100）的2人，
[100，110）的4人，[110，120）的6人，[120，130）的5人，[130，140]的2人，
记成绩在[120，130）内的5人分别为a，b，c，d，e，成绩在[130，140]的2人分别为x，y，
则从成绩在[120，140]内的学生中任意取2人的基本事件有：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，e），
（b，x），（b，y），（c，d），（c，e），（c，x），（c，y），（d，e），（d，x），（d，y），（e，x），（e，y），（x，y），共21种，
其中成绩在[130，140]中至少有1人的基本事件有：
（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（e，x），（e，y），（x，y），共11种，
所以2人中至少有一人成绩在[130，140]内的概率．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．
（1）证明：EF∥平面A1CD
（3）求直线EF与直线A1B1所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
AC∥A1C1，且AC＝A1C1．
连结ED，在三角形ABC中，因为D、E分别为AB、BC的中点，
所以DE＝AC且DE∥AC，
又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，
即四边形A1DEF为平行四边形，所以A1D∥EF．
又EF⊄平面A1CD，DA1⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD．
（2）易知：A1D∥EF，直线EF与直线A1B1所成角，就是直线A1D与直线A1B1所成角，也是∠A1DA，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．
设棱长为2，则AD＝1，A1D＝，sin∠A1DA＝＝．
直线EF与直线A1B1所成角的正弦值：．
20．（12分）中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC＝3，求周长的最大值.
【解答】（1）由正弦定理可得：，
，，
（2）由余弦定理得：，
即.（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
21．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，
点在棱上，，
且二面角的大小为，
求三棱锥的体积.
【解答】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF
则为二面角E-BC-D的平面角,
因为,为正三角形,所以为直角三角形因为,
从而EF=FM=
平面BCD,
所以

22．已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．
（1）当a∈R时，解关于x的不等式；
（2）当a∈[2，3]时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求x的取值范围．
【解答】解：（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，
当a＝0时，不等式化为x﹣1≥0，解得x≥1，
当a＜0时，不等式化为（x﹣1）（x﹣）≥0，
解得x≤，或x≥1；
当a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x﹣）≤0；
①0＜a＜时，＞1，解不等式得1≤x≤，
②a＝时，＝1，解不等式得x＝1，
③a＞时，＜1，解不等式得≤x≤1．
综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥1}，
当a＜0时，不等式的解集为{x|x≤或x≥1}，
0＜a＜时，不等式的解集为{x|1≤x≤}，
a＝时，不等式的解集为{x|x＝1}，
a＞时，不等式的解集为{x|≤x≤1}．
（2） 由题意不等式ax2﹣x+1﹣a≤0对a∈[2，3]恒成立，
可设，a∈[2，3]，
则是关于a的一次函数，要使题意成立只需：
，
解之得：，
所以x的取值范围是．