2021学年7.3 三角函数的图象和性质集体备课课件ppt

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1 | 三角函数的图象与性质
1.画正弦函数y=sin x的图象通常用“五点法”,图象上起关键作用的五个点为(0,0),⑦         ,(π,0),⑧         ,(2π,0).2.画余弦函数y=cs x的图象有两种方法,一种是将y=sin x的图象向⑨　左    平移 ⑩         个单位得到;另一种是用“五点法”,图象上起关键作用的五个点为(0,1), ,(π,-1), ,(2π,1).3.画正切函数y=tan x x∈R且x≠ +kπ,k∈Z 的图象通常用“三点两线法”,其中三点为 ,(0,0), ,两线为直线x=- 和直线x= .
2 | 画三角函数图象的方法
1.借助三角函数线画y=sin x,x∈[0,2π]的图象第一步:如图所示,在平面直角坐标系的x轴上任取一点O',以O'为圆心,单位长为半 径作圆.从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份.把x轴上从0到2π这一段分成12等份(取自变量x的值).第二步:在单位圆中画出对应于 , , ,…, 的角及相应的正弦线(等价于“列表”),把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象.
3 | 利用三角函数线画三角函数的图象
 由cs x=sin ,知函数y=cs x,x∈R与函数y=sin ,x∈R是同一个函数.如图所示,余弦函数y=cs x的图象可由正弦函数y=sin x的图象向左平移 个单位得到. 
2.借助三角函数线画y=tan x,x∈ 的图象根据研究正弦函数、余弦函数图象的经验,利用单位圆中的正切线可画出正切函数y=tan x,x∈ 的图象.作法如下:第一步:作平面直角坐标系,并在平面直角坐标系y轴左侧作单位圆O'.把单位圆O'的右半圆分成8等份,把x轴上从- 到 这一段分成8等份(取自变量x的值).第二步:在单位圆中画出对应于- ,- ,- ,0, , , 的角及相应的正切线(等价于“列表”),把角x的正切线向左、右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重合,则正切线的终点就是正切函数图象上的点(等价于“描点”).第三步:连线.用光滑曲线把这些正切线的终点连接起来,就得到正切函数y=tan x在x∈ 上的图象.
1.正、余弦函数的图象形状相同,位置不同. (　√　)2.函数y=sin x与y=sin(-x)的图象完全相同. (    ✕　)3.函数y=sin 既不是奇函数又不是偶函数. (    ✕　)提示:y=sin =-cs x,是偶函数.4.函数y=3cs x在 上是单调函数.(    ✕　)提示:根据余弦函数的图象,知函数y=3cs x在 上不是单调函数.5.正切函数在整个定义域上是增函数. (    ✕　)提示:不能说正切函数在整个定义域上是增函数,而是在每个区间 (k∈Z)上是增函数.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1 | “五点法”画正、余弦(型)函数图象
用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acs x+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤:(1)列表:
(2)描点:在平面直角坐标系中描出 (0,y1), ,(π,y3), ,(2π,y5)这五个点.(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.
用“五点法”作下列函数的图象:(1)y=1-2sin x,x∈[0,2π];(2)y=cs x+ ,x∈[-π,π].
解析    (1)列表:
描点连线,如图: (2)列表:
2 | 三角函数图象的应用
利用三角函数图象解不等式的步骤(1)画出正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象 对于正切函数,画出其在 上的图象 ;(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集 对于正切函数,写出其在 上的解集 ;(3)根据诱导公式一写出其在定义域内的解集.
利用正、余弦函数的图象可以解决含有正、余弦函数的方程解的个数问题,三角 函数的图象是研究函数的重要工具,通过图象可以比较直观地解决问题,这正是 数形结合思想方法的应用.
画出正弦函数y=sin x(x∈R)的简图,并根据图象写出y≥ 时x的集合.
思路点拨作出y=sin x的图象及直线y=   确定sin x≥ 在[0,2π]上的解集 确定sin x≥ 在R上的解集.
解析    作出y=sin x的图象及直线y= ,如图所示. 由图可知,y=sin x的图象与直线y= 在[0,2π]内的交点为 , ,所以在区间[0,2π]内,y≥ 时x的集合为 ,所以当x∈R,y≥ 时,x的集合为 x  +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z .
求方程sin x+2|sin x|-|lg2x|=0的解的个数.
思路点拨令f(x)=sin x+2|sin x|,g(x)=|lg2x|,在同一平面直角坐标系内作出函数f(x),g(x)的图 象,观察两个函数图象的交点个数即可得到方程的解的个数.
解析    由方程sin x+2|sin x|-|lg2x|=0,得sin x+2|sin x|=|lg2x|.令f(x)=sin x+2|sin x|,g(x)=|lg2x|.在同一平面直角坐标系内作出f(x)=sin x+2|sin x|和g(x)=|lg2x|的图象,如图所示,易 知f(x)与g(x)的图象有四个交点,故原方程有四个解. 
解题模板对于求方程解的个数、方程解的范围问题,若从正面求解比较困难,则可对方程变形,使等式两边转化成熟悉的函数,再通过画函数图象,数形结合求解.
3 | 利用三角函数的单调性比较大小
利用三角函数的单调性比较大小的步骤(1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名三角函数.(2)依据诱导公式把角化到同一个单调递增(减)区间内.(3)依据三角函数的单调性比较大小.
比较下列各组值的大小.(1)tan 126°与tan 496°;(2)cs ,sin ,-cs ;(3)cs 与cs .
思路点拨(1)先利用诱导公式将两个角化为锐角,再利用正切函数的单调性比较大小;(2)先利用诱导公式化为同名三角函数,再利用余弦函数在(0,π)上的单调性比较大小;(3)先利用诱导公式化为同名三角函数,再利用正弦函数在 上的单调性比较sin 与cs =sin 的大小,然后利用余弦函数在 上的单调性比较大小.
解析    (1)tan 126°=-tan 54°,tan 496°=tan 136°=-tan 44°.因为当0°tan 44°,所以-tan 54°<-tan 44°,即tan 496°>tan 126°.(2)sin =cs ,-cs =cs ,因为函数y=cs x在(0,π)上单调递减,且0<π- < - < <π,所以cs >cs >cs ,即-cs >sin >cs .(3)cs =cs =sin .因为函数y=sin x在 上单调递增,且0< < < ,
所以0cs .
4 | 三角函数的值域与最值问题
1.常见的三角函数求值域或最值的类型(1)形如y=sin(ωx+φ)的三角函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t的值域(最值).(2)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的三角函数,可先设t=sin x,将函数y=asin2x+bsin x+c(a≠0)化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0),再根据二次函数的单调性求值域(最值),求解时要注意t的取值范围.(3)对于形如y=asin x(或y=acs x)(a≠0)的含参的三角函数的最值问题,需要注意对a进行讨论.(4)求形如y= (ac≠0)的函数的值域,可以用分离常数法求解,也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.
2.求与三角函数有关的函数的值域(最值)的常用方法(1)借助正弦(或余弦)函数的有界性、单调性求解;(2)转化为关于sin x(或cs x)的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时,要考虑三角函数的周期性.
已知函数f(x)= sin .(1)求0≤x≤ 时的值域; (2)若函数y= f(ωx),ω>0在x∈ 上有最大值,无最小值,求实数ω的取值范围.
解析    (1)∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ ,∴- ≤sin ≤1,∴f(x)∈ ,故函数的值域为 .(2)由题意得f(ωx)= sin .令t=2ωx+ ,x∈ ,则  由图可知 <ωπ+ ≤ ,解得 <ω≤ .
求下列函数的值域.(1)y=7-8cs x-2sin2x,x∈ ;(2)y=-2cs2x+2sin x+3,x∈ .
思路点拨把所给函数化为关于cs x(或sin x)的二次函数,根据x的取值范围确定cs x(或sin x)的取值范围,进而求出函数的值域.