【通用版】专题九 平面解析几何——2023届高考数学一轮复习夯基固本时时练

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【通用版】专题九 平面解析几何——2023届高考数学一轮复习夯基固本时时练1.直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是(   )
A. B. C. D.2.已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于P，Q两点，，且，则与的面积之比为(   )A. B. C. D.3.过椭圆的左焦点F的直线交C于第一象限内的一点P，且该直线斜率为C的离心率，A为C的右顶点，过P点作x轴的垂线，垂足为Q，若且的面积为，则C的离心率为(   )A.  B.C.  D.4.已知双曲线的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，直线过定点P，且在双曲线C上，M为双曲线上的动点，则的最小值为(   )A. B. C. D.5.已知拋物线的焦点到准线距离为1，P是抛物线C上一点，直线PA，PB与圆相切于点A，B且，满足条件的点恰有两个，则r的值是(   )A. B. C. D.6.如图，抛物线与圆交于A，B两点，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则的周长的取值范围是(   )A. B. C. D.7.已知A，B是双曲线的左、右焦点，过点A作斜率为的直线l，若直线l与以AB为直径的圆交于点M，A，与双曲线的右支交于点N，且M为A，N的中点，则双曲线C的离心率为(   )
A. B. C. D.8.我们把焦点相同、离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知，是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是(   )A. B. C. D.29.抛物线的准线l与双曲线交于A、B两点，，分别为双曲线C的左、右焦点，在l左边，为等边三角形，与双曲线的一条渐近线交于点E，，则的面积为(   )A. B. C. D.10.已知椭圆，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是____________.11.已知抛物线的准线为l，点P在抛物线上，于点Q，与抛物线的焦点不重合，且，，则______________.12.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条与以原点为圆心以a为半径的圆相切的直线，交C于第一象限内的一点P，若，则虚轴与实轴的比值为___________.13.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.两个大小不同的小球分别与圆锥的侧面相切于点A，B，与截面相切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），已知球的半径为1，椭圆的离心率为，，则球的体积为____________.14.已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点，的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.
 （1）求椭圆C的方程.（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.15.如图，已知椭圆和抛物线在第一象限内的交点为A，过点A作两条互相垂直的直线，直线与的另一个交点为B，直线与的另一个交点为C.(1)若直线过抛物线的焦点F，求的面积；(2)求的取值范围.
答案以及解析1.答案：A解析：由圆可得圆心坐标为，半径，的面积记为S，点P到直线AB的距离记为d，则有.易知，，，所以，故选A.2.答案：D解析：由题意可设，则.因为，所以.由椭圆的定义，得，，则，所以，即，则，解得，则与的面积之比为.3.答案：C解析：设，则，离心率，直线l的方程为.又，则，，，.又，，，，即，解得.，，故选C.4.答案：C解析：将直线，变形为，可得解得定点为.由及渐近线方程，可得双曲线的方程为，，.易知当点M在双曲线的右支上时，可以取到最小值，即取得最小值，当M，P，三点共线时，，的最小值为，故选C.5.答案：A解析：由题意知，则抛物线方程为，设点.由已知条件知，，，整理得.由题知该方程有两个相等的实数根，且，（舍负），故选A.6.答案：B解析：由题意可得抛物线E的焦点为，圆M的圆心为，半径为4，所以圆心为抛物线的焦点，故等于点N到准线的距离，又轴，设NP与抛物线的准线交于点H，由抛物线定义可得，，故的周长，由得，又点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，所以的取值范围是，所以的周长的取值范围是，故选B.7.答案：D解析：因为直线l与以AB为直径的圆交于点M，A，所以.又因为点M为AN的中点，所以点B在线段AN的垂直平分线上，所以.由题意可得，所以，所以.又因为直线l的斜率为.故，，则双曲线C的离心率，故选D.
 8.答案：A解析：设椭圆、双曲线的离心率分别为，，椭圆的长半轴长为，椭圆的半焦距为c，双曲线的实半轴长为，，，.由椭圆、双曲线的定义得在中，由余弦定理得，，.，，，即，，，，即双曲线的离心率为.故选A.9.答案：D解析：不妨令点A在第二象限，示意图如图，由，可得E为的中点，又O为的中点，.为等边三角形，，由对称性知，，，①，②.抛物线的准线l的方程为，的边长为，，在中，由余弦定理可得，即③，由①②③得，，，.则的面积.故选D.10.答案：解析：设，，则，，，，两式相减，得，所以，即直线l的斜率是.11.答案：解析：如图，设抛物线的焦点为F，连接PF，由拖物线的定义知，又，所以，由及，得，于是为正三角形，，所以点P的坐标为，将其代入，得，即，即，所以.12.答案：解析：由题意可知直线的方程为.令，则，，.在中由正弦定理可得，，，化简整理可得，虚轴与实轴的比值为.13.答案：解析：如图，圆锥的侧面与其内切球，分别相切于点A，B，连接，，则，，过作于点D，连接，，设EF交于点C，由椭圆及圆的性质可知，椭圆的长轴长.又椭圆的离心率为，则，所以，设，，球的半径为r.，，即，，.在中，①，在中，②.又③，联立①②③，解得，，，球的体积为.14.解析：（1）由已知，A，B的坐标分别是，，由于的面积为3，①，又由，化简得②，①②两式联立解得：或（舍去），，，椭圆方程为；（2）设直线PQ的方程为，P，Q的坐标分别为，则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标，直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标，，把直线代入椭圆得，由韦达定理得，，是定值.15.解析：(1)联立椭圆和抛物线的方程得，解得或，由A在第一象限，可得点，又焦点F的坐标为，所以，此时直线AB垂直于x轴，可知，所以.(2)易知直线的斜率一定存在.若直线的斜率为零，则直线的斜率不存在，由(1)可知此时，可得.若直线的斜率不为零，则直线的斜率存在且不为零，可设直线的方程为，由消去y得.由，得，且，由题意可知，2是关于x的二次方程的一个根，设，则由根与系数的关系得，，.易知直线的方程为，由消去y得.由题意可知，2是关于x的二次方程的一个根，设，则由根与系数的关系得，，，所以.因此的取值范围是.