北师大版高中数学必修第一册第一章预备知识章末检测含解析

预备知识

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p的否定为(　　)

A．∀n∈N，n2＞2n　　　　 B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n  D．∃n∈N，n2＝2n

答案：C

2．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，下列结论成立的是(　　)

A．N⊆M  B．M∪N＝M

C．M∩N＝N  D．M∩N＝{2}

解析：选D　∵－2∈N，但－2∉M，∴A、B、C三个选项均错误．

3．若0<a<1，则不等式x2－3(a＋a2)x＋9a3≤0的解集为(　　)

A．{x|3a2≤x≤3a}  B．{x|3a≤x≤3a2}

C．{x|x≤3a2，或x≥3a}  D．{x|x≤3a，或x≥3a2}

解析：选A　因为0<a<1，所以0<3a2<3a，而方程x2－3(a＋a2)x＋9a3＝0的两个根分别为3a和3a2，所以不等式的解集为{x|3a2≤x≤3a}．

4．设集合M＝{x|x2－2x－3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为(　　)

A．8  B．7

C．4  D．3

解析：选B　由x2－2x－3＜0得－1＜x＜3，∴M＝{0，1，2}．故选B.

5．已知正数m，n满足m2＋n2＝4，则m＋n(　　)

A．有最大值2  B．有最小值2

C．有最大值2  D．有最小值2

解析：选A　由不等式的性质有≥，

结合m2＋n2＝4可知≤2，当且仅当m＝n＝时等号成立．又m＞0，n＞0，所以≤，即m＋n≤2，故选A.

6．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)

A．充要条件  B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选C　由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．

7．已知条件p：4x－m＜0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　)

A．{m|m≥8}  B．{m|m＞8}

C．{m|m＞－4}  D．{m|m≥－4}

解析：选B　由4x－m＜0，得x＜.由1≤3－x≤4，得－1≤x≤2.∵p是q的一个必要不充分条件，∴＞2，即m＞8，故选B.

8．若实数x，y满足xy＋6x＝4，则＋的最小值为(　　)

A．4  B．8

C．16  D．32

解析：选B　因为xy＋6x＝4，所以＋＝＋＝y＋6＋.因为0＜x＜，所以y＝＝－6＞0，故y＋6＋≥6＋2＝8，当且仅当y＝1，x＝时等号成立，故＋的最小值为8，故选B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中一定成立的是(　　)

A．ab>ac  B．c(b－a)>0

C．cb2<ab2  D．ac(a－c)<0

解析：选ABD　由c<b<a且ac<0，知a>0，c<0，而b的取值不确定，当b＝0时，C不成立．根据不等式的性质可知A、B、D均正确．

10．已知U为全集，则下列说法正确的是(　　)

A．若A∩B＝∅，则(∁UA)∪(∁UB)＝U

B．若A∩B＝∅，则A＝∅或B＝∅

C．若A∪B＝U，则(∁UA)∩(∁UB)＝∅

D．若A∪B＝∅，则A＝B＝∅

解析：选ACD　A说法正确，因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，A∩B＝∅，所以(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝U；B说法错误，若A∩B＝∅，则集合A，B不一定要为空集，只需两个集合无公共元素；C说法正确，因为(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，A∪B＝U，所以(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝∅；D说法正确，A∪B＝∅，即集合A，B均无元素，可得A＝B＝∅.

11．下列说法中正确的是(　　)

A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件

B．命题p：∀x∈R，x2>0，则綈p：∃x∈R，x2<0

C．命题“若a>b>0则<”的否定是假命题

D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件

解析：选AC　对于选项A，a>1，b>1时，易得ab>1故A正确；对于选项B，全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p：∀x∈R，x2>0的否定为綈p：∃x∈R，x2≤0，故B错误；对于选项C，其否定为“若a>b>0，则≥”，当a＝2，b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．

12．当一个非空数集G满足“任意a，b∈G，则a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0时，∈G”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的说法．其中正确的选项有(　　)

A．0是任何数域的元素

B．若数域G有非零元素，则2 021∈G

C．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域

D．任何一个数域的元素个数必为奇数

解析：选ABD　当a＝b时，由数域的定义可知，若a，b∈G，则有a－b∈G，即0∈G，故A是真命题；

当a＝b≠0时，由数域的定义可知，a，b∈G，则有∈G，即1∈G，若1∈G，则1＋1＝2∈G，则2＋1＝3∈G，…，则1＋2 020＝2 021∈G，故B是真命题；

当a＝2，b＝4时，＝∉G，故C是假命题；

因为0∈G，当b∈G且b≠0时，则－b∈G，因此只要这个数不为0，就一定成对出现，所以数域的元素个数必为奇数，所以D是真命题．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．设全集U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________．

解析：∵∁UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，故m＝－3.

答案：－3

14．若命题“∃x∈R，x2＋2mx＋m＋2<0”为假命题，则m的取值范围是________．

解析：命题“∃x∈R，x2＋2mx＋m＋2<0”为假命题，

则命题“∀x∈R，使得x2＋2mx＋m＋2≥0”是真命题．

故Δ＝4m2－4(m＋2)≤0，解得－1≤m≤2.

答案：{m|－1≤m≤2}

15．若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的取值范围是________．

解析：作出一元二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0，

则

解得－＜m＜0.

答案：

16．已知x＞0，y＞0，求z＝(x＋2y)的最值．

甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：

甲：z＝(x＋2y)＝2＋＋＋8≥18，

乙：z＝(x＋2y)≥2·2 ＝16.

(1)你认为甲、乙两人解法正确的是________；

(2)请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确：________________．

答案：(1)甲　(2)已知x＞0，y＞0，求z＝(a＋b)的最小值(答案不唯一)

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|2≤x≤5}，B＝{x|－2m＋1＜x＜m}，全集为R.

(1)若m＝3，求A∪B和(∁RA)∩B；

(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．

解：(1)∵m＝3，∴B＝{x|－5＜x＜3}．

又∵A＝{x|2≤x≤5}，

∴∁RA＝{x|x＜2或x＞5}．

∴A∪B＝{x|－5＜x≤5}，

(∁RA)∩B＝{x|－5＜x＜2}．

(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B.

∴解得m＞5.

∴实数m的取值范围为{m|m＞5}．

18．(本小题满分12分)对于一元二次函数y＝x2＋4x＋6.

(1)指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)画出它的图象，并说明其图象由y＝x2的图象经过怎样平移得来；

(3)求函数的最大值或最小值．

解：(1)配方得y＝(x＋4)2－2可知图象开口向上，对称轴为直线x＝－4，顶点坐标为(－4，－2)．

(2)作图如下．一元二次函数的图象可以看作先将y＝x2的图象向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．

(3)由图可知，函数在x∈R内没有最大值，

当x＝－4时，函数有最小值，即ymin＝－2.

19．(本小题满分12分)已知集合A＝[3，6]，B＝[a，8]．

(1)在①a＝2；②a＝5；③a＝4，这三个条件中选择一个条件，使得A∩B≠∅成立，并求A∩B；

(2)若A∪B＝[3，8]，求实数a的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：(1)若选①，则B＝[2，8]，所以A∩B＝[3，6]．

若选②，则B＝[5，8]，所以A∩B＝[5，6]．

若选③，则B＝[4，8]，所以A∩B＝[4，6]．

(2)在数轴上表示出集合A，B如图所示：

由图可知实数a的取值范围[3，6]．

20．(本小题满分12分)(1)若b＝－，∀x∈R，ax2＋(a＋2)x＋b≤0(a∈R)，求a的取值范围；

(2)若b＝－2a－2(a，b∈R)，求关于x的不等式ax2＋(a＋2)x＋b≤0的解集．

解：(1)当a＝0时，原不等式可化为2x－≤0，显然在R上不恒成立，所以a≠0.

当a≠0时，则有

解得－4≤a≤－1.

故a的取值范围为{a|－4≤a≤－1}．

(2)不等式ax2＋(a＋2)x＋b≤0可化为ax2＋(a＋2)x－2a－2≤0，

即(ax＋2a＋2)(x－1)≤0.

①当a＝0时，2(x－1)≤0，原不等式的解集为{x|x≤1}．

②当a＞0时，－＜0，原不等式的解集为

③当a＜0时，－－1＝－.

若a＝－，则－(x－1)2≤0，原不等式的解集为R；

若a＜－，则－＜0，－＜1，原不等式的解集为；

若－＜a＜0，则－＞0，－＞1，原不等式的解集为.

21．(本小题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．

(1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式；

(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？

解：(1)由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件销售价为万元，

∴年销售收入为·Q＝(32Q＋3)＋x，

∴W＝(32Q＋3)＋x－(32Q＋3)－x

＝(32Q＋3)－x＝(32Q＋3－x)

＝(x≥0)．

(2)由(1)得，W＝＝

＝－－＋50.

∵x＋1≥1，∴＋≥2 ＝8，

∴W≤42，当且仅当＝，即x＝7时，W有最大值42，即当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元．

22．(本小题满分12分)(1)当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值范围；

(2)对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围．

解：(1)令y＝x2＋mx＋4.

∵y＜0在1≤x≤2上恒成立．

∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.

如图，可得

∴m的取值范围是{m|m＜－5}．

(2)∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，

即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立，

∴(x－2)a>－x2＋4x－4.

∵－1≤x≤1，∴x－2<0.

∴a<＝＝2－x.

令y＝2－x，则当－1≤x≤1时，y的最小值为1，

∴a<1.

故a的取值范围为{a|a<1}．