北师大版高中数学必修第一册第七章概率章末检测含解析

这是一份北师大版高中数学必修第一册第七章概率章末检测含解析，共10页。

章末检测(七)　概率
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院针对一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报某天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
解析：选D　概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性．故选D.
2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选B　设事件A表示“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B表示“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为，身体关节构造不合格的概率为，所以P(B)＝×＝，故P(A)＝1－P(B)＝1－＝.故选B.
3．从3名女教师和2名男教师中任选2人参加信息技术培训，则选中的2人都是女教师的概率为(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析：选A　设3名女教师为a1，a2，a3，2名男教师为b1，b2，从中任选2人的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个，选中的2人都是女教师的样本点为(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3个，因此其概率为P＝0.3，故选A.
4．某人在打靶中，连续射击2次，至多有一次中靶的对立事件是(　　)
A．至少有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．恰有一次中靶
解析：选B　某人在打靶中，连续射击2次的所有可能结果为：①第一次中靶，第二次中靶；②第一次中靶，第二次未中靶；③第一次未中靶，第二次中靶；④第一次未中靶，第二次未中靶．至多有一次中靶包含了②③④三种可能，故其对立事件为①，即两次都中靶．故选B.
5．从一批苹果中随机抽取50个，其质量(单位：g)的频数分布表如下：
质量分组/g
[80，85)
[85，90)
[90，95)
[95，100]
频数
5
10
20
15

用分层随机抽样的方法从质量在[80，85)和[95，100]内的苹果中共抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则恰有1个苹果的质量在[80，85)内的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A　设从质量在[80，85)内的苹果中抽取x个，则从质量在[95，100]内的苹果中抽取(4－x)个．因为频数分布表中[80，85)，[95，100]两组的频数分别为5，15，所以5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1，即抽取的4个苹果中质量在[80，85)内的有1个，记为a，质量在[95，100]内的有3个，记为b1，b2，b3.从抽取的4个苹果中任取2个有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3，共6个样本点，其中恰有1个苹果的质量在[80，85)内的样本点有ab1，ab2，ab3，共3个，所以所求概率为＝.
6．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B　最后乙队获胜事件含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P＝＋×＋×＝，故选B.
7．A，B，C，D四位妈妈相约各带一个小孩去观看花展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能载一位妈妈和一个小孩，其中孩子们都不坐自己妈妈的车，则A的小孩坐C的车的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A　法一：设A，B，C，D四位妈妈的小孩分别是a，b，c，d，则坐车方式有(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)，共9种情况，而A的小孩坐C的车有3种情况，故所求概率为.
法二：A的小孩坐B或D或C的车的概率是相等的，所以坐其他三位妈妈的车的概率均为.
8．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，，，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C　设事件A是“甲企业购买该机床设备”，事件B是“乙企业购买该机床设备”，事件C是“丙企业购买该机床设备”，事件M是“甲、乙、丙三家企业中恰有1家购买该机床设备”，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，则P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝.故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下面结论正确的是(　　)
A．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是互为对立事件
B．若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与B是相互独立事件
C．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件
解析：选BD　对于A选项，要使A，B为对立事件，除P(A)＋P(B)＝1还需满足P(AB)＝0，也即A，B不能同时发生，所以A选项错误．对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确．对于C选项，A包含于，所以A与不是互斥事件，所以C选项错误．对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确．故选B、D.
10．已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是(　　)
A．颜色相同 B．颜色不全相同
C．颜色全不相同 D．无红球
解析：选ACD　有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为＝；颜色不全相同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不相同的结果有6种，其概率为＝；无红球的结果有8种，其概率为.故选A、C、D.
11．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是(　　)
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
解析：选ACD　设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2独立．在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为×＝，A正确；在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P()P()＝1－×＝，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，D正确．故选A、C、D.
12．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得到频率分布表如下：
组号
分组
频数
频率
第一组
[230，235)
8
0.16
第二组
[235，240)
①
0.24
第三组
[240，245)
15
②
第四组
[245，250)
10
0.20
第五组
[250，255]
5
0.10
合计
50
1.00

以下结论正确的有(　　)
A．表中①位置的数据是12
B．表中②位置的数据是0.3
C．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，则第三组抽取2人
D．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录取2名学生，则2人中至少有1名是第四组的概率为0.5
解析：选AB　①位置的数据为50－(8＋15＋10＋5)＝12，A正确；②位置的数据为＝0.3，B正确；由分层随机抽样得，第三、四、五组参加考核的人数分别为3，2，1，C错误；设上述6人为a，b，c，d，e，f(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情况为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种．记“2人中至少有1名是第四组的”为事件A，则事件A所含的样本点的个数为9.所以P(A)＝＝，故2人中至少有1名是第四组的概率为，D错误．故选A、B.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是________．
解析：事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球”．
答案：至多3个是黑球
14．已知事件A，B，C相互独立，若P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________．
解析：∵P(AB)＝P(AB)P()＝P()＝，∴P()＝，即P(C)＝.又P(C)＝P()P(C)＝，∴P()＝，P(B)＝.又P(AB)＝，则P(A)＝，∴P(B)＝P()P(B)＝×＝.
答案：　
15．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈.若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则两人“心有灵犀”的概率为________．
解析：a，b的可能取值(可重复)共有10×10＝100(种).|a－b|≤1可分两类，当a取0或9时，b只能取0、1或8、9，共4种取法；当a取1～8中的任一数字时，b有3种取法，共3×8＝24(种)，所以所求概率为P＝＝.
答案：
16．甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.8，若只有1人击中，则飞机被击落概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为________．
解析：设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A，B，C，依题意，A，B，C相互独立，故所求事件概率为P＝[P(A)＋P(B)＋P(C)]×0.2＋[P(AB)＋P(BC)＋P(AC)]×0.6＋P(ABC)＝(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8)×0.2＋(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8＋0.4×0.5×0.8)×0.6＋0.4×0.5×0.8＝0.492.
答案：0.492
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.
(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x＋y＝7上的概率；
(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．
解：(1)因x，y都可取1，2，3，4，5，6，故以(x，y)为坐标的点共有36个．
记点(x，y)落在直线x＋y＝7上为事件A，则事件A包含(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6个样本点，所以事件A的概率P(A)＝＝.
(2)记x＋y≥10为事件B，x＋y≤4为事件C，用数对(x，y)表示x，y的取值．则事件B包含(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个样本点；
事件C包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个样本点．
由(1)知样本点总数为36个，所以P(B)＝＝，P(C)＝＝，
所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的．
18．(本小题满分12分)某市2021年4月(共计30天)对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61, 76, 70, 56, 81, 91, 92, 91, 75, 81, 88, 67, 101, 103, 95，
91, 77, 86, 81, 83, 82, 82, 64, 79, 86, 85, 75, 71, 49, 45.
(1)作出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．从这30天中任意选取一天，则该天空气质量为优或良的概率是多少？
解：(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[41，51)
2

[51，61)
1

[61，71)
4

[71，81)
6

[81，91)
10

[91，101)
5

[101，111]
2

(2)频率分布直方图如图所示：

(3)样本点总数是30，污染指数在0～100之间的有28天，故所求概率为＝.
19．(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解：(1)由题意，把抽取的结果记为(a，b，c)，则所有可能结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共有27种可能的结果．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包含的样本点有(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共有3种可能的结果．所以P(A)＝＝.
因此“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包含的样本点有(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共有3种可能的结果，所以P()＝＝.
故P(B)＝1－P()＝1－＝.因此“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
20．(本小题满分12分)阶梯水价的原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制订合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，得到数据如下：(单位：吨).
郊区：19　25　28　32　34
城区：18　19　21　22　22　23　23　23　24　25　26
27　28　28　28　29　29　31　35　42
(1)在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；
(2)设该城市郊区和城区的居民户数比为1∶5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一阶梯的居民用户用水价格保持不变，试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．
解：(1)从郊区的5户居民中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有样本点为(19，25)，(19，28)，(19，32)，(19，34)，(25，28)，(25，32)，(25，34)，(28，32)，(28，34)，(32，34)，共10个．
其中年人均用水量都不超过30吨的样本点为(19，25)，(19，28)，(25，28)，共3个．
设“从郊区的5户居民中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”为事件A，则P(A)＝.
(2)设该城市郊区的居民用户数为a，则其城区的居民用户数为5a.
依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为＝＞80%.
故此方案符合国家“保基本”政策．
21．(本小题满分12分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
则有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)∵A，B，C相互独立，
∴ 恰有一名同学当选的概率为P(A )＋P(B)＋P( C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()·P()·P(C)＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
22．(本小题满分12分)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．已知在甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
(2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．
解：(1)记“第1次和第2次这两次发球，甲共得i分”为事件Ai，i＝0，1，2；
“第3次和第4次这两次发球，甲共得i分”为事件Bi，i＝0，1，2；
“第3次发球，甲得1分”为事件A；
“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为事件B，
则B＝A0A∪A1.
P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42＝0.16，P(A1)＝2×0.6×0.4＝0.48，
P(B)＝P(A0A∪A1)
＝P(A0A)＋P(A1)
＝P(A0)P(A)＋P(A1)P()
＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)
＝0.352，
即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352.
(2)记“开始第5次发球时，甲得分领先”为事件C，则C＝A1B2∪A2B1∪A2B2.
P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，
P(B2)＝0.42＝0.16，P(A2)＝0.62＝0.36.
P(C)＝P(A1B2∪A2B1∪A2B2)
＝P(A1B2)＋P(A2B1)＋P(A2B2)
＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2)
＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16
＝0.307 2，
即开始第5次发球时，甲得分领先的概率为0.307 2.