北师大版高中数学必修第一册第三章指数运算与指数函数章末检测含解析

章末检测(三)　指数运算与指数函数

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　)

A．a　　　　　　　　　　 B．a

C．a  D．a

解析：选C　由题意＝a＝a，故选C.

2.－(1－0.5－2)÷的值为(　　)

A．－  B．

C.  D.

解析：选D　原式＝1－(1－22)÷＝1－(－3)×＝.故选D.

3．已知函数f(x)＝e|x|＋x2(e为自然对数的底数)，且f(3a－2)>f(a－1)，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B．

C.∪  D.∪

解析：选C　易知f(x)＝e|x|＋x2为偶函数，所以f(3a－2)>f(a－1)同解于f(|3a－2|)>f(|a－1|)．又因为在[0，＋∞)上，f(x)＝e|x|＋x2为增函数，所以f(|3a－2|)>f(|a－1|)⇒|3a－2|>|a－1|，两边平方得8a2－10a＋3>0，解得a<或a>，故选C.

4．某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2015年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2021年需退耕(　　)

A．8×1.14万公顷  B．8×1.15万公顷

C．8×1.16万公顷  D．8×1.13万公顷

解析：选C　根据题意，知2015年退耕8万公顷，x年后退耕8×1.1x万公顷，

所以2021年退耕亩数为8×1.16万公顷．

5．定义运算a*b为：a*b＝如1*2＝1，则函数f(x)＝2x*2－x的值域为(　　)

A．R  B．(0，＋∞)

C．(0，1]  D．[1，＋∞)

解析：选C　f(x)＝2x*2－x＝

所以0<f(x)≤1.故选C.

6．设a＝0.60.4，b＝0.40.6，c＝0.40.4，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c  B．b<c<a

C．c<a<b  D．c<b<a

解析：选B　根据a＝0.60.4，c＝0.40.4，由幂函数的性质可得a>c，又b＝0.40.6，c＝0.40.4，由函数y＝0.4x的性质可得b<c，所以b<c<a.故选B.

7．已知实数a，b满足等式2a＝5b，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中，可能成立的关系式有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

解析：选C　在同一个坐标系中画出函数y＝2x与y＝5x的图象如图所示，结合图象可知：

若2a＝5b>1，如图(1)，则0<b<a，①可能成立；

若2a＝5b＝1，则0＝b＝a，⑤可能成立；

若2a＝5b<1，如图(2)，则a<b<0，②可能成立．

综上，可能成立的关系式有3个．

8．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x.若存在x∈[－1，1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的最大值为(　　)

A.  B．－

C．1  D．－1

解析：选A　∵g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且g(x)－h(x)＝2x， ①

∴g(－x)－h(－x)＝g(x)＋h(x)＝2－x， ②

①②两式联立可得，g(x)＝，h(x)＝.

由m·g(x)＋h(x)≤0得m≤＝＝1－，

∵y＝1－在[－1，1]上为增函数，

∴＝，∴m的最大值为.故选A.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．下列各式中一定成立的有(　　)

A.＝n7m  B．＝

C.＝(x＋y)  D.＝

解析：选BD　A中应为＝n7m－7；＝＝，B正确；C中当x＝y＝1时，等式不成立；D正确．故选B、D.

10．设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　)

A．f(x＋y)＝f(x)f(y)

B．f(x－y)＝

C．f＝f(x)－f(y)

D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)

解析：选ABD　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A中的等式正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，故B中的等式正确；f＝a＝(ax)，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)，故C中的等式错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D中的等式正确．

11．关于函数f(x)＝的说法中，正确的是(　　)

A．偶函数

B．奇函数

C．在(0，＋∞)上单调递增

D．在(0，＋∞)上单调递减

解析：选BC　f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数；当x增大时， 3x，－3－x＝－均增大，故f(x)增大，故函数f(x)为增函数．

12.函数y＝|ax－1|的图象如图，则下列说法正确的是(　　)

A．a>1

B．0<a<1

C．当x>0时，a越大，ax越大

D．方程|ax－1|＝b有两个不相等实根，则0<b<1

解析：选BD　将y＝ax的图象向下平移一个单位，再把x轴下方的图象翻折到x轴上方，就得到y＝|ax－1|的图象．

因此由图可知0<a<1.

在y轴右侧a越大，图越低；若y＝b与y＝|ax－1|的图象有两个不同交点，则0<b<1，故选B、D.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．设函数f(x)＝，则函数f的定义域为________．

解析：因为f(x)＝ ，所以f＝ ，

因为4－4≥0，4≤4，≤1，x≤4，所以f的定义域为(－∞，4]．

答案：(－∞，4]

14．函数y＝的单调递增区间是________．

解析：y＝的定义域为(－∞，＋∞)，且y＝＝，因为y＝在(－∞，＋∞)上是减函数，而y＝|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故y＝的单调递增区间是(－∞，0)．

答案：(－∞，0)

15．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________．

解析：由2x＝8y＋1得2x＝23y＋3，所以x＝3y＋3. ①

由9y＝3x－9得32y＝3x－9，所以2y＝x－9. ②

由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.

答案：27

16．函数y＝2|x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则实数k的取值范围是________．

解析：令t＝|x－1|，则y＝2t.因为y＝2|x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，所以t＝|x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调．又因为t＝|x－1|在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以k－1<1<k＋1，解得0<k<2.

答案：(0，2)

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)化简下列各式(a>0，b>0)．

(1) ；

(2)(ab)x··(b).

解：(1)＝ ＝ ＝＝ab.

(2)原式＝(ab)x··(b)

＝(a·bx)·(2·a·b

＝abx×a×b－x

＝a1＋1bx－x＝a2.

18．(本小题满分12分)某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%.

(1)写出产量y随年数x变化的函数解析式；

(2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p.

解：(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x，

定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N＋}．

(2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100.

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值为m，最小值为n.

(1)若m＋n＝6，求实数a的值；

(2)若m＝2n，求实数a的值．

解：(1)因为无论0<a<1还是a>1，函数f(x)的最大值都是a和a2中的一个，最小值为另一个，

所以a2＋a＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)，

故实数a的值为2.

(2)当0<a<1时，函数f(x)＝ax在区间[1，2]上单调递减，其最大值m＝f(1)＝a，最小值n＝f(2)＝a2，

所以由题意，得a＝2a2，解得a＝或a＝0(舍去)，所以a＝.

当a>1时，函数f(x)＝ax在区间[1，2]上单调递增，其最大值m＝f(2)＝a2，最小值n＝f(1)＝a，

所以由题意，得a2＝2a，解得a＝2或a＝0(舍去)，所以a＝2.

综上，知实数a的值为或2.

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.

(1)判断f(x)的奇偶性并证明；

(2)当x∈(1，＋∞)时，求函数f(x)的值域．

解：(1)函数f(x)是奇函数，证明如下：

∵对任意x∈R，2x＋1>1恒成立，且f(－x)＝＝＝＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(2)令2x＝t，则f(x)可化为g(t)＝＝－1＋，

∵x∈(1，＋∞)，∴t>2，∴t＋1>3.

∴0<<，∴－1<g(t)<－，

∴f(x)的值域是.

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a3x＋1，g(x)＝，其中a>0，且a≠1.

(1)若0<a<1，求不等式f(x)<1的解集；

(2)求不等式f(x)≥g(x)的解集．

解：(1)当0<a<1时，f(x)＝a3x＋1在R上为减函数．

由f(x)<1，得a3x＋1<a0，

所以3x＋1>0，解得x>－，

故该不等式的解集为.

(2)由不等式f(x)≥g(x)，得a3x＋1≥a2x－5.

当0<a<1时，可得3x＋1≤2x－5，解得x≤－6，所以不等式的解集为{x|x≤－6}．

当a>1时，可得3x＋1≥2x－5，解得x≥－6，所以不等式的解集为{x|x≥－6}．

综上，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≤－6}；当a>1时，不等式的解集为{x|x≥－6}．

22．(本小题满分12分)定义在D上的函数f(x)，如果满足对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)在D上为有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.

(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；

(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝1＋＋.

令t＝，由x<0可得t>1，

f(x)＝h(t)＝t2＋t＋1＝＋，

因为h(t)在(1，＋∞)上单调递增，

故f(x)>h(1)＝3，f(x)在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．

故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立，

故函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．

(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，则当x≥0时，|f(x)|≤3恒成立．

故有－3≤f(x)≤3，

即－4－≤a·≤2－，

所以－4·2x－≤a≤2·2x－.

求得－4·2x－的最大值为－4－1＝－5，

2·2x－的最小值为2－1＝1，

故有－5≤a≤1，即a的取值范围为[－5，1]．