2022届河南省郑州市高中毕业班第三次质量预测（三模）理科数学试题及答案

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郑州市2022年高中毕业年级第三次质量预测数学（理科）  评分参考 一、选择题                                      二、填空题.                      .                     .                .三、解答题：17.（12分）解：（1）当时，，解得--------------------------------------------------------------------------1分当≥时，由--------------------------------------------------------①            得--------------------------------------------------②①－②得，，即-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分当≥时，， 数列是以为首项，为公差的等差数列.-----------------------------------------------------------------------------6分（2）由（1）可知，，     ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7分 ，，，，-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分（12分）解：（1）连接，相交于点，连接，     平面， ------------------------------------------------------------------------------------2分      又平面，，即，.      在△中，，      在△中,，，      ,即，故-----------------------------------------------------------------------------6分（2）连接，相交于点，则，     过作交于点，平面，平面.     即，，两两垂直.     以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，     由题意可知，，，     ，，，---------------------------------------------------------8分    又， ，设平面的法向量为，即即令，得，又,设平面的法向量为， 即令，得.设二面角的平面角为，则---------------------------------------------------------------------------------11分所以，即二面角的正弦值为-----------------------------------------------12分19.（12分）解：（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则；------------------------------------------------------------------------------------------------------3分该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则.---6分（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为，根据题意可知，则，该同学报考乙大学科目优秀的个数设为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3.，，，随机变量的分布列：0123 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分，因为该考生更希望进入甲大学的面试，∴，则.所以的范围为：--------------------------------------------------------------------------------------------------12分20.（12分）解：（1）由题意可知，，，，由可得：，即，又，所以.椭圆的方程为----------------------------------------------------------------------------------------------------4分（2）当直线的斜率为，直线的斜率不存在时，--------------------------------5分当直线的斜率存在且斜率不为时，设直线的方程为，直线的方程为，设点，，则   有.可得：，，设点坐标为，即.又圆与直线、相切，即，整理得：.-----------------------------------------------------------------------------------------9分综上：为定值.--------------------------------------------------------------------------------------------------12分 （12分）解：（1）的定义域为，，令，      当≤时，即≥时，在上递增，----------------------------2分      当时，即时，，解得，在上单调递减，在，上单调递增-------------------------------5分（2）由（1）可知，存在两个极值点，，即，     ，为方程的两个不等正实根，              ，.    要证 成立，只需证即证，即证，即证，设，即证--------------------------------------------------------------------------------9分令，即证，设，，在上递增，，所以成立，即---------------------------------------------------------------------------------------------12分（二）选考题：共分.请考生在、题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）由题意可知：曲线的方程为：，曲线的极坐标方程为---------------------------------------------------------------------------------------------2分设点的极坐标为，则，点的极坐标为，由得所以点轨迹曲线的极坐标方程为-------------------------------------------------------------------------5分（2）曲线直角坐标方程为，设点，曲线的直角坐标方程为，设圆心为，，当时，，所以-------------------------------------------------------------10分23.[选修：不等式选讲]（10分）解：（1）当时，或或即或或，所以原不等式的解集为-----------------------------------------------------------------------------------------------5分（2）的图象如图所示，，，，所以△的面积为.解得：---------------------------------------------------------------------------10分