2021-2022学年河北省保定市某校高二（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年河北省保定市某校高二（下）月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若直线l经过A1,0,B4,3两点，则直线l的倾斜角为（ ）
A.π6B.π4C.π3D.2π3

2. 等差数列an的前n项和为Sn，若a4+a10=6，则S13=（ ）
A.37B.38C.39D.40

3. 已知抛物线x2=4y的焦点为F，若抛物线上一点P到x轴的距离为2，则|PF|的值为（ ）
A.1B.2C.3D.4

4. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A−4,0,B2,0，点P满足|PA||PB|=2，则点P的轨迹的圆心坐标为（ ）
A.4,0B.0,4C.−4,0D.2,0

5. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线与直线l:2x−y=2垂直，若右焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（ ）
A.x216−y24=1B.x24−y216=1
C.x212−y24=1D.x24−y212=1

6. 已知直线y=kx−k+2与圆x−22+y−12=4相交于P、Q两点，则弦PQ最短时所在的直线方程是（ ）
A.x+y+1=0B.x+y−1=0C.x−y−1=0D.x−y+1=0

7. 抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线m过点F，斜率k=22，且交抛物线C于A，B（点A在x轴的下方）两点，抛物线的准线为l，O为坐标原点，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，小明计算得出以下三个结论：①|AB|=12；②A1F平分∠OFA；③|AA1|⋅|BB1|=|AA1|+|BB1|．其中正确的结论个数为（ ）
A.0B.1C.2D.3

8. 正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，M为空间一点，N为底面A1B1C1D1内一点，且满足AM→=λA1B1→+λA1→D1→−A1A→，异面直线A1A 与BN所成角为30∘，则线段MN长度最小值为（ ）
A.32−3B.33−2C.332−2D.322−3
二、多选题

已知两条直线l1,l2的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y−11=0，下列结论正确的是（ ）
A.若l1//l2，则a=6
B.若l1//l2，则两条平行直线之间的距离为72
C.若l1⊥l2，则a=323
D.若a≠6，则直线l1,l2一定相交

已知椭圆x225+y29=1的右焦点是双曲线x2a2−y29=1的右顶点，点P是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是（ ）
A.a=16
B.双曲线的渐近线方程为y=±34x
C.椭圆的左顶点是双曲线的左焦点
D.若椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，则直线PF1,PF2的斜率之积为定值

已知数列ann∈N*为等差数列，Sn为an的前n项和，若a2=5,S5=35，则下列结论中正确的是（ ）
A.a1=2
B.Sn=n2+2n
C.若数列1Sn的前n项和为Tn，则Tn0,b>0的左、右焦点，O为坐标原点，F2(3,0)，P为右支上一点，且满足|OP|=3，直线PF2交y轴于点Q，若△PF1Q的内切圆的半径为2，则双曲线C的离心率为________.
四、解答题

已知直线l1:x−3y−2=0,l2:3x−2y+1=0，设直线l1,l2的交点为P．
(1)求P的坐标；

(2)若直线l过点P且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn=3an−1.
(1)求an;

(2)若数列bn满足bn=lg3an，求数列an+bn的前n项和Tn.

已知圆C过点A1,3,B2,2，且圆周被直线3x+y+7=0平分．
(1)求圆C的标准方程；

(2)已知过点−4,5的直线l被圆C截得的弦长为221，求直线l的方程．

已知数列an满足an+1=2an−n+1,a1=3.
(1)证明数列an−n为等比数列，并求出数列an的通项公式；

(2)若数列cn满足cn=an2n−1，试求数列cn的前n项和Tn.

如图1，一副标准的三角板中，∠B为直角，∠A=60∘,∠E 为直角，DE=EF，且BC=DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥，如图2．设M是AC的中点，N是BC的中点．

(1)求证：BC⊥EM；

(2)在图2中，若AC=4，且EN⊥NM，试求平面ABE与平面ANE夹角的余弦值．

已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，点P1,32在椭圆C上，且PF2⊥x轴．
(1)求椭圆C的方程；

(2)过点A4,0的直线l与椭圆C相交于不同的两点M、N．若5|AM|，6|AP|，7|AN|成等比数列，试求满足条件的直线l的方程．
参考答案与试题解析
2021-2022学年河北省保定市某校高二（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：斜率k=34−1=33，
∴ 倾斜角为π6．故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：因为等差数列an中， a4+a10=a1+a13=6，
则S13=13a1+a132=13⋅62=39．故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
抛物线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：抛物线上一点P到x轴的距离为2，抛物线的准线方程为y=−1，由抛物线的定义可知， |PF|=2+1=3．故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
两点间的距离公式
轨迹方程
圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：令Px,y，则x+42+y2=2x−22+y2，平方整理得x2+y2−8x=0，∴ 圆心为4,0．故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：根据题意，双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，则其渐近线方程为y=±bax，又由其一条渐近线与直线l:2x−y=2垂直，有ba=12，即a=2b，右焦点到渐近线的距离为2，则bca2+b2=2，解得b=2，
∴ a=4，则双曲线的方程为x216−y24=1，故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
直线与圆的位置关系
直线与圆相交的性质
直线和圆的方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：直线y=kx−k+2=kx−1+2，所以直线恒过A1,2，设圆心为B(2,1），
由圆的几何性质知，当直线y=kx−k+2与直线AB垂直时，弦PQ最短，此时，直线AB的斜率为kAB=2−11−2=−1，
∴ kPQ=1，∴ 弦PQ最短时所在的直线方程是y=x+1，即x−y+1=0．故选D．
7.
【答案】
D
【考点】
抛物线的求解
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：由抛物线的方程可得焦点F1,0，准线方程为： x=−1，如图
令直线m的倾斜角为α，∵ tanα=k=22，∴ sinα=33，∴ |AB|=4sin2α=413=12，①正确；
∵ |A1A|=|AF|，∴ ∠AA1F=∠AFA1，又∵ AA1//OF，∴ ∠AA1F=∠A1FO,
∴ ∠A1FA=∠A1FO，∴ A1F平分∠OFA，②正确；
由抛物线的性质可得， |AF|=|AA1|=21+csα=21+26=6−26,
|BF|=|BB1|=21−csα=21−26=6+26,
∴ |AA1|⋅|BB1|=6−266+26=12,
|AA1|+|BB1|=6−26+6+26=12，
∴ |AA1|⋅|BB1|=|AA1|+|BB1|，③正确，
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：由AM→=λA1B1→+λA1D1→−A1A，得A1M→=λA1C1→，∴ M点在直线A1C1上，
A1A//B1B，∴ B1B与BN所成角为30∘，∵ B1B⊥底面A1B1C1D1，
∴ tan30∘=B1NB1B=B1N3=33,
∴ B1N=3，∴ N点在以B1为圆心，3为半径的14圆周上，由圆的性质得，线段MN长度最小值为B1到直线A1C1的距离减去半径，即322−3．
故选D．
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
两条平行直线间的距离
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：若l1//l2，则a3=84≠−1112，∴ a=6，A正确；
由A知，l2:6x+8y−11=0，直线3x+4y+12=0可化为6x+8y+24=0，
∴ 两条平行直线之间的距离为|11+24|36+64=72，B正确．
由l1⊥l2，则3a+4×8=0，∴ a=−323，C不正确；
由A知a=6时， l1//l2，所以a≠6时，则直线l1,l2一定相交，D正确．故选ABD．
【答案】
B,C,D
【考点】
双曲线的特性
椭圆的定义和性质
双曲线的定义
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：由椭圆x225+y29=1，得a2=25,b2=9,c2=a2−b2=16，
∴ 椭圆x225+y29=1的右焦点即双曲线x2a2−y29=1的右顶点为4,0，
∴ a2=16,a=4.A不正确；
又b=3，∴ 双曲线的渐近线为y=±34x,B正确；
由上述得椭圆的左顶点是−5,0，双曲线的左焦点是(−5,0)，C正确；
椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，恰为双曲线的左、右顶点，
∴ kPF1⋅kPF2=b2a2=916为定值，D正确．
故选BCD．
【答案】
B,C
【考点】
数列的求和
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：数列ann∈N*为等差数列且a2=5,S5=35，解得an=2n+1，
∴ a1=3，Sn=n2+2n，
A不正确，B正确；
∵ 1Sn=1n2+2n=1nn+2=121n−1n+2，
∴ Tn=1211−13+12−14+⋯+1n−1−1n+1+1n+2
=1211+12−1n+1−1n+2=34−121n+1+1n+20,
解得−12