2021-2022学年广西省桂林市某校高二（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年广西省桂林市某校高二（下）月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 抛物线y2=2x的准线方程为（ ）
A.x=1B.x=−1C.x=12D.x=−12

2. 设等差数列an的公差为d，且a2=3, a5=15，则d=（ ）
A.12B.4C.6D.8

3. 设命题p:∀x∈R,x3≥0，则¬p为（ ）
A.∀x∈R,x3<0B.∃x∉R,x3<0C.∃x∈R,x3≥0D.∃x∈R,x3<0

4. 双曲线x2−y23=1的渐近线方程为（ ）
A.y=±3xB.y=±3xC.y=±33xD.y=±13x

5. 设a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，若A=π3，B=π4，a＝32，则b＝（ ）
A.23B.2C.3D.33

6. 下列数列是递增数列的是（ ）
A.1−2nB.1+2nnC.5⋅32n−1D.n+13n−2

7. 已知a>0,b>0，且2a+b=1，则ab的最大值为（ ）
A.29B.18C.14D.12

8. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2bcsA，则△ABC一定是（ ）
A.等边三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

9. 已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1，则a6=（ ）
A.32B.62C.63D.64

10. 方程x2+3y2−3x−4=0表示的曲线是（ ）
A.一个椭圆和一条直线B.一个椭圆和一条射线
C.一条射线D.一个椭圆

11. 如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小张在D处观测，测得A，B分别在D处的北偏西30∘、北偏东30∘方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60∘方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）海里．

A.53B.51+3C.103D.10

12. 设双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点为F1，已知点A，B分别在C的左、右两支上，且关于原点O对称，，直线AF1与C的左支相交于另一点M，若|MF1|=|BF1|，且BF1→⋅AM→=0，则C的离心率为( )
A.10B.52C.5D.102
二、填空题

若x，y满足约束条件x+y≥1,x−y≥−1,x≤2, 则z=2x+y的最大值为________.

设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S9＝45，则a5＝________．

若命题“∀x∈1,+∞，不等式x+4x−1≥a恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是________.

在△ABC中，∠ABC＝150∘，D是线段AC上的点，∠DBC＝30∘，若△ABC的面积为3，当BD取到最大值时，AC＝________．
三、解答题

设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
(1)求{an}的公比；

(2)求{an}的通项公式及前n项和Sn.

已知p：关于x的方程4x2−2ax+2a+5=0的解集至多有一个实数集，q：1−m≤a≤1+m，(m>0).
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点M(3, m)到焦点F 的距离为5．
(1)求C的方程；

(2)过点N1,2的直线 l 交C于A，B两点，且N为线段AB的中点，求直线 l 的方程．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcsA+(2c+a)csB＝0．
（1）求B；

（2）若b＝4，△ABC的面积为3，求a+c ．

已知数列{an}中，a1=1，an+1=anan+3 ．
(1)证明{1an+12}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=(3n−1)⋅n2n⋅an，记数列{bn}的前n项和为Tn，求使k＞Tn恒成立的最小的整数k．

设椭圆C: x2a2+y2b2=1a>b>0 的左，右焦点分别为F1,F2，其离心率为22，且点 2,2 在C上.
(1)求C的方程；

(2)O为坐标原点，P为C上任意一点，若M为 OF2 的中点，过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数λ，使得 λ|OP|2=|MA|⋅|MB|？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
参考答案与试题解析
2021-2022学年广西省桂林市某校高二（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
2.
【答案】
B
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
3.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
4.
【答案】
A
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
本题主要考查双曲线的渐近线方程.
【解答】
解：由双曲线的方程x2−y23=1，
可得a=1，b=3，
故渐近线方程为y=±3x.
故选A.
5.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知利用正弦定理即可求解b的值．
【解答】
∵ A=π3，B=π4，a＝32，
∴ 由正弦定理asinA=bsinB，可得3232=b22，
∴ 解得b＝23．
6.
【答案】
C
【考点】
数列的函数特性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
7.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
8.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
三角形的形状判断
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
9.
【答案】
C
【考点】
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
10.
【答案】
A
【考点】
曲线与方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
11.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
解三角形的实际应用
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
12.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵BF1→⋅AM→=0，
∴BF1⊥AM，
又A，B关于原点对称，则四边形AF1BF2为矩形，
如图所示，
则BF1=AF2=2a+AF1=MF1，
在Rt△AF1F2中，
2AF12+4a2+4aAF1=4c2，①
在Rt△AMF2中，
MF2=2a+BF1=2a+2a+AF1，
(AF1+2a)2+(2a+2AF1)2=(4a+AF1)2，
化简可得AF12+aAF1=2a2，
解得AF1=−a+3a2=a，代入①式，
∴10a2=4c2，则104=e2，解得e=102.
故选D.
二、填空题
【答案】
7
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
7
【答案】
5
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的性质
【解析】
由等差数列的求和公式和性质可得S9＝9a5＝45，解方程可得．
【解答】
由等差数列的求和公式和性质可得：
S9=9(a1+a9)2=9×2a52=9a5＝45，
∴ a5＝5
【答案】
(−∞,5]
【考点】
命题的真假判断与应用
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(−∞,5]
【答案】
27
【考点】
余弦定理
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由题意利用三角形的面积公式可求ac＝43，设BD＝x，由S△BCD+S△ABD=14ax+34cx=3，可得：x=43a+3c，利用基本不等式可求BD取到最大值时a=3c，解得a，c的值，由余弦定理可得AC的值．
【解答】
∵ 由题意可得：S△ABC=12acsin150∘=14ac=3，
∴ 解得：ac＝43，
设BD＝x，则：S△BCD+S△ABD=14ax+34cx=3，可得：x=43a+3c，当且仅当a=3c时x取得最大值，
∴ a＝23，c＝2，
∴ 由余弦定理可得：AC2＝AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC＝22+(23)2−2×2×23×(−32)＝28，
∴ 解得：AC＝27．
三、解答题
【答案】
解：(1)由题意可知：2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2.
因为a1≠0，故q2+q−2=0，
解得q=−2或q=1（舍）.
(2)an=a1⋅qn−1=−2n−1
Sn=a1⋅1−qn1−q=1−−2n1+2=13−−2n3
【考点】
等差中项
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
(1)根据等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q；
【解答】
解：(1)由题意可知：2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2.
因为a1≠0，故q2+q−2=0，
解得q=−2或q=1（舍）.
(2)an=a1⋅qn−1=−2n−1
Sn=a1⋅1−qn1−q=1−−2n1+2=13−−2n3
【答案】
解：(1)∵ 命题p为真命题，
∴ 方程4x2−2ax+2a+5=0至多有一个实数解，
∴ Δ=−2a2−4×4×2a+5≤0，
解得：−2≤a≤10.
∴ 实数a的取值范围是−2≤a≤10.
(2)设p=a|−2≤a≤10，q=a|1−m≤a≤1+m,m>0.
由题意得p⫋q，
所以m>0,1−m<−2,1+m≥10或m>0,1−m≤−2,1+m>10,
解得m≥9.
∴ 实数m的取值范围是m≥9.
【考点】
命题的真假判断与应用
一元二次方程的根的分布与系数的关系
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
根据给出的命题写出集合之间的关系，并求出m的范围.
【解答】
解：(1)∵ 命题p为真命题，
∴ 方程4x2−2ax+2a+5=0至多有一个实数解，
∴ Δ=−2a2−4×4×2a+5≤0，
解得：−2≤a≤10.
∴ 实数a的取值范围是−2≤a≤10.
(2)设p=a|−2≤a≤10，q=a|1−m≤a≤1+m,m>0.
由题意得p⫋q，
所以m>0,1−m<−2,1+m≥10或m>0,1−m≤−2,1+m>10,
解得m≥9.
∴ 实数m的取值范围是m≥9.
【答案】
解：(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2，
由抛物线的定义可知3+p2=5，解得p=4，
∴ C的方程为y2=8x.
（2）设Ax1,y1 ,Bx2,y2，
则y12=8x1y22=8x2，两式作差得y1+y2y1−y2=8x1−x2
∴ 直线l的斜率k=y1−y2x1−x2=8y1+y2，
∵ P1,2为AB的中点，
∴ y1+y2=4， k=2，
∴ 直线l的方程为y−2=2x−1，
即2x−y=0 （经检验，所求直线符合条件）．
【考点】
抛物线的标准方程
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；
（2）利用点差法求出直线l的斜率，即可求直线l的方程．
【解答】
解：(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2，
由抛物线的定义可知3+p2=5，解得p=4，
∴ C的方程为y2=8x.
（2）设Ax1,y1 ,Bx2,y2，
则y12=8x1y22=8x2，两式作差得y1+y2y1−y2=8x1−x2
∴ 直线l的斜率k=y1−y2x1−x2=8y1+y2，
∵ P1,2为AB的中点，
∴ y1+y2=4， k=2，
∴ 直线l的方程为y−2=2x−1，
即2x−y=0 （经检验，所求直线符合条件）．
【答案】
∵ bcsA+(2c+a)csB＝0，
∴ sinBcsA+(2sinC+sinA)csB＝0，化为sin(A+B)+2sinCcsB＝0，
∴ sinC+2sinCcsB＝0，∵ sinC≠0，∴ csB=−12，
∵ B∈(0, π)，∴ B=2π3．
由余弦定理可得：42＝a2+c2−2accs2π3，可得a2+c2+ac＝16．
由S=12acsin2π3=3，可得ac＝4．
∴ (a+c)2＝16+ac＝20，
解得a+c＝25．
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
（1）利用正弦定理、和差公式化简即可得出．
（2）利用余弦定理、三角形面积计算公式即可得出．
【解答】
∵ bcsA+(2c+a)csB＝0，
∴ sinBcsA+(2sinC+sinA)csB＝0，化为sin(A+B)+2sinCcsB＝0，
∴ sinC+2sinCcsB＝0，∵ sinC≠0，∴ csB=−12，
∵ B∈(0, π)，∴ B=2π3．
由余弦定理可得：42＝a2+c2−2accs2π3，可得a2+c2+ac＝16．
由S=12acsin2π3=3，可得ac＝4．
∴ (a+c)2＝16+ac＝20，
解得a+c＝25．
【答案】
(1)证明：由an+1=anan+3 ，
得1an+1=an+3an=3an+1，
∴ 1an+1+12=3(1an+12)，
∴ 数列{1an+12}是以3为公比以1a1+12=32为首项的等比数列，
∴ an=23n−1.
(2)解：由(1)知，bn=(3n−1)⋅n2n⋅23n−1=n⋅(12)n−1，
Tn=1×1+2×(12)1+3×(12)2+…+n⋅(12)n−1，
12Tn=1×12+2×(12)2+…+(n−1)(12)n−1+n(12)n，
两式相减得，
12Tn=1+12+122+…+12n−1−n2n
=1−(12)n1−12−n2n=2−n+22n，
∴ Tn=4−n+22n−1＜4．
所以k≥4，所以使k>Tn恒成立的最小的整数k为4.
【考点】
等比关系的确定
数列的求和
数列的函数特性
【解析】
（1）把题目给出的数列递推式取倒数，即可证明数列{1an+12}是等比数列，由等比数列的通项公式求得1an+12，则数列{an}的通项an的通项可求；
【解答】
(1)证明：由an+1=anan+3 ，
得1an+1=an+3an=3an+1，
∴ 1an+1+12=3(1an+12)，
∴ 数列{1an+12}是以3为公比以1a1+12=32为首项的等比数列，
∴ an=23n−1.
(2)解：由(1)知，bn=(3n−1)⋅n2n⋅23n−1=n⋅(12)n−1，
Tn=1×1+2×(12)1+3×(12)2+…+n⋅(12)n−1，
12Tn=1×12+2×(12)2+…+(n−1)(12)n−1+n(12)n，
两式相减得，
12Tn=1+12+122+…+12n−1−n2n
=1−(12)n1−12−n2n=2−n+22n，
∴ Tn=4−n+22n−1＜4．
所以k≥4，所以使k>Tn恒成立的最小的整数k为4.
【答案】
解：(1)由已知可得4a2+2b2=1,ca=22,a2=b2+c2，
解得a=22,b=c=2,
∴ 椭圆C的标准方程为 x28+y24=1.
(2)当直线的斜率不存在时， |OP|=2, |MA|=|MB|=142，
∴ |MA||MB|=72=4λ⇒λ=78；
当斜率存在时，设直线l的方程为 y=k(x−1)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立直线l与椭圆方程y=k(x−1)，x28+y24=1，
消去y，得 (2k2+1)x2−4k2x+2k2−8=0，
∴ x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2−82k2+1.
∵ OP//l， 设直线OP的方程为 y=kx，
联立直线OP与椭圆方程y=kx，x28+y24=1，
消去y，得 (2k2+1)x2=8 ，解得x2=82k2+1.
∴|OP|2=x2+y2=(1+k2)82k2+1，
∴|MA|=(x1−1)2+y12=1+k2|x1−1|，
同理 |MB|=1+k2|x2−1|，
∴|MA|⋅|MB|=(1+k2)|(x1−1)(x2−1)|，
∵ (1−x1)⋅(x2−1)=−[x1x2−(x1+x2)+1]=72k2+1，
∴|MA|⋅|MB|=(1+k2)72k2+1 ，
故 λ=|MA|⋅|MB||OP|2=78 ，
综上可得，存在λ=78 满足条件.
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知可得4a2+2b2=1,ca=22,a2=b2+c2，
解得a=22,b=c=2,
∴ 椭圆C的标准方程为 x28+y24=1.
(2)当直线的斜率不存在时， |OP|=2, |MA|=|MB|=142，
∴ |MA||MB|=72=4λ⇒λ=78；
当斜率存在时，设直线l的方程为 y=k(x−1)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立直线l与椭圆方程y=k(x−1)，x28+y24=1，
消去y，得 (2k2+1)x2−4k2x+2k2−8=0，
∴ x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2−82k2+1.
∵ OP//l， 设直线OP的方程为 y=kx，
联立直线OP与椭圆方程y=kx，x28+y24=1，
消去y，得 (2k2+1)x2=8 ，解得x2=82k2+1.
∴|OP|2=x2+y2=(1+k2)82k2+1，
∴|MA|=(x1−1)2+y12=1+k2|x1−1|，
同理 |MB|=1+k2|x2−1|，
∴|MA|⋅|MB|=(1+k2)|(x1−1)(x2−1)|，
∵ (1−x1)⋅(x2−1)=−[x1x2−(x1+x2)+1]=72k2+1，
∴|MA|⋅|MB|=(1+k2)72k2+1 ，
故 λ=|MA|⋅|MB||OP|2=78 ，
综上可得，存在λ=78 满足条件.