2021-2022学年湖南省永州市某校高三（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省永州市某校高三（下）月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设i是虚数单位，若复数z=a−52+i(a∈R)是纯虚数，则a的值为（ ）
A.1B.−1C.2D.−2

2. 已知集合A=x|−20的一条渐近线为l，若双曲线的右焦点F到l的距离是其右顶点A到l的距离的两倍，则该双曲线的离心率是（ ）
A.233B.2C.23D.10

4. 已知随机变量X，Y分别满足，X∼B8,p,Y∼Nμ,σ2，且期望EX=EY，又PY≥3=12，则p=（ ）
A.14B.13C.38D.12

5. 如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1各边中点得到一个新的△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC, △A1B1C1,△A2B2C2，…，这一系列所有三角形的面积和趋向于一个常数．已知A0,0,B5,0,C1,3，则这个常数是（ ）

A.103B.5C.10D.15

6. 如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1，以D为坐标原点，DA→,DC→，DD1→的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则DB1→=2,3,4，又E，F分别是棱AB，CC1的中点，那么三棱锥B1−A1EF的体积为（ ）

A.4B.6C.8D.12

7. 函数fx=sin2x+φ|φ|0C.a+b+c>0D.8a+2b+c>0
二、多选题

已知a→=1,2，b→=m,−1，则下列结论正确的是（ ）
A.若a→//b→，则m=12
B.若a→⊥b→，则m=2
C.若|a→|=|b→|，则m=2
D.若m=−3，则a→，b→的夹角为3π4

已知1+xn=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxnn∈N*，则下列结论正确的是（ ）
A.a0=an
B.当a3=10时，n=5
C.若1+xnn∈N*的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于12或13
D.当n=4时，a12+a24+a38+a416=6516

已知函数fx=x|x−a|，其中a为实数，则（ ）
A.函数fx有两个不同零点0和a
B.若对于任意两个不同的实数x1,x2都有fx2−fx1x2−x1>0，则a=0
C.若fx在0,1上单调递增，则a≤0或a≥2
D.若fx=1有三个不同的实数根，则a>2

如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且AE:EB=AH:HD=m,CF:FB=CG:GD=n，AC⊥BD,AC=4,BD=6.则下列结论正确的是（ ）

A.E，F，G，H一定共面
B.若直线EF与GH有交点，则交点一定在直线AC上
C.AC//平面EFGH
D.当m=n时，四边形EFGH的面积有最大值6
三、填空题

tan67.5∘×1−tan222.5∘=

一个盒子里装有除颜色外完全相同的6个小球，盒子中有编号分别为1、2、3、4的红球4个，编号分别为4、5的白球2个，从盒子中任取3个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）．则在取出的3个小球中，小球编号最大值为4的概率是________.

函数fx=ax+bxa>0,b>0,a≠1,b≠1是偶函数，则fa+b,fab与f2三者间的大小关系是________.

已知A、B分别是椭圆x22+y2=1的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，|PA|=λ|PB|且满足∠PBA=2∠PAB，则λ=________.
四、解答题

某大型商场为了了解客户对于在其商场销售的某品牌电视机的五种型号的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
满意率是指：某品牌电视机型号的回访客户中，满意人数与总人数的比值．
假设客户是否满意互相独立，且每种型号电视机客户对于此型号电视机满意的概率与表格中该电视机型号的满意率相等．
(1)从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；

(2)从65E3F型号、65E3G型号电视机的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X，求X的分布列和期望．

已知数列an的每一项都为正数，a1=3，它的前n项和为Sn，且an,2Sn,an+1n∈N*成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；

(2)求S2n并证明：1S2+1S4+1S6+⋯+1S2n0，过点C0,2作直线l交抛物线E于点A、B（其中点A在第一象限），OA→⋅OB→=−4且AC→=λCB→λ>0.
(1)求抛物线E的方程；

(2)当λ=2时，过点A、B的圆与抛物线E在点A处有共同的切线，求该圆的方程．

已知函数fx=e2ax+b−x−1a，其中a，b是实数且a≠0.
(1)当a=12时，讨论函数fx在0,+∞上的极值情况；

(2)若函数fx≥0对一切x∈−1a,+∞恒成立，求ba的最小值．
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省永州市某校高三（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的混合运算
虚数单位i及其性质
【解析】
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】
z=a−52+i=a−(2−i)=a−2+i是纯虚数，
则a−2＝0，所以a＝2，
故选C
2.
【答案】
D
【考点】
集合的包含关系判断及应用
集合关系中的参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵A=x|−20,D正确．
故选D．
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
若a//b
，则1×−1−2m=0
得m=−12，A
错误；
若a⊥_b，则m−2=0，得m=2,，B正确；
若|a|=|b|，则m2+1=5，得m=2或m=−2，C错误；
若m=−3，则b=−3,−1，设a，b的夹角为θ,csθ=a⋅b|a||b|=−3+−25×10=−22
又θ∈0,π，所以θ=3π4，D正确．
【答案】
A,B,D
【考点】
二项式系数的性质
数列的求和
数学归纳法
数列的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
a0=an=1，A正确；
x3 的系数a3=Cn3，则Cn3=10，所以n=5，B正确；
当n=4时，1+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4
令x=12，则1+124=a0+a12+a24+a38+a416，又a0=1
若1+xnn∈N*的展开式中第7
项的二项式系数最大，当n
为偶数则n
等于12
，当n
为奇数则n
等于11
或13
,C
错误．所以a12+a24+a38+a416=6516， D正确.
【答案】
B,C,D
【考点】
函数的最值及其几何意义
由函数零点求参数取值范围问题
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
当a=0时，fx=x|x|只有一个零点，A错误；
若fx2−fx1x2−x1>0恒成立，则fx在定义域R上是单调递增函数，结合图象知a=0，B正确；
fx=x|x−a|=xx−a,x≥a,−xx−a,x0，且fa2>1，所以a>2，D正确．
【答案】
A,B,D
【考点】
直线与平面平行的判定
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为AE:EB=AH:HD，所以EH//BD
又CF:FB=CG:GD，所以FG//BD
所以EH//FG，所以E，F，G，H四点共面．A正确；
因为EHBD=AEAE+EB=mm+1，所以EH=mm+1BD，同理可得FG=nn+1BD
当m≠n时，EH≠FG，又EH//FG，所以四边形EFGH为梯形，
所以直线EF与GH有交点，知交点在平面ABC内，又在平面ADC内，
而平面ABC∩面ADC=AC，所以直线EF与GH的交点在直线AC上，B正确；C错误；
因为EH=mm+1BD FG=nn+1BD及m=n得EH=FG，四边形EFGH为平行四边形．
又AC⊥BD，所以EF⊥EH，所以平行四边形EFGH为矩形．
设EFAC=BEAB=x，因为EF//AC，所以EF=4x，
因为EH//BD，所以AEAB=EHBD=1−x，所以EH=61−x
所以矩形EFGH的面积y=24x1−x0fab
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
fa+b>f2>fab
【答案】
303
【考点】
椭圆的定义和性质
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知A−2,0,B2,0，
设Px0,y0，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2，
则 k1k2=y0x0+2⋅y0x0−2=y02x02−2=1−x022x02−2=−12，
由正弦定理得λ=|PA||PB|=sin∠PBAsin∠PAB=2cs∠PAB，
由∠PBA=2∠PAB得tan∠PBA=tan2∠PAB=2tan∠PAB1−tan2∠PAB，
所以−k2=2k11−k12，又k1k2=−12，从而k12=15，即tan2∠PAB=15,
因此cs∠PAB=306，所以λ=303.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意知，样本中的回访客户的总数是700+150+200+600+350=2000，
满意的客户人数700×0.5+150×0.3+200×0.6+600×0.3+350×0.2=765，
故所求概率为7652000=153400.
（2）X=0,1,2.
设事件A为“从65E3F型号电视机的所有客户中随机抽取的人满意”，
事件B为“从65E3G型号电视机的所有客户中随机抽取的人满意”，
且A、B为独立事件．
根据题意，PA估计为0.5，PB估计为0.3，
则P(X=0)=P(AB)=(1−P(A))(1−P(B))=0.5×0.7=0.35；
PX=1=PAB+AB=PAB+PAB=0.5×0.7+0.5×0.3=0.5，PX=2=PAB=PAPB=0.5×0.3=0.15，
X的分布列为
X的期望EX=0×0.35+1×0.5+2×0.15=0.8 ．
【考点】
离散型随机变量及其分布列
概率的应用
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意知，样本中的回访客户的总数是700+150+200+600+350=2000，
满意的客户人数700×0.5+150×0.3+200×0.6+600×0.3+350×0.2=765，
故所求概率为7652000=153400.
（2）X=0,1,2.
设事件A为“从65E3F型号电视机的所有客户中随机抽取的人满意”，
事件B为“从65E3G型号电视机的所有客户中随机抽取的人满意”，
且A、B为独立事件．
根据题意，PA估计为0.5，PB估计为0.3，
则P(X=0)=P(AB)=(1−P(A))(1−P(B))=0.5×0.7=0.35；
PX=1=PAB+AB=PAB+PAB=0.5×0.7+0.5×0.3=0.5，PX=2=PAB=PAPB=0.5×0.3=0.15，
X的分布列为
X的期望EX=0×0.35+1×0.5+2×0.15=0.8 ．
【答案】
证明：（1）由an,2Sn,an+1n∈N*成等比数列得anan+1=2Sn ①，
所以an+1an+2=2Sn+1 ②，
由②减去①得an+1an+2−an=2an+1,
又an+1不为零，所以an+2−an=2．
所以数列a1,a3,a5，…，a2n−1成等差数列，首项为a1=3，公差为2，
所以a2n−1=3+2n−1=2n+1，
又a1a2=2S1,a1=3得a2=2,
数列a2,a4,a6，…，a2n成等差数列，首项为a2=2，公差为2，所以a2n=2n，
故数列an的通项公式为an=n+2,n为奇数，n,n为偶数．
（2）S2n=a1+a2+a3+a4+ ⋯+a2n−1+a2n
=(a1+a3+⋯+a2n−1)+(a2+a4+⋯+a2n)
=n23+2n+1+n22+2n
=n2n+3．
1S2n=1n2n+30，所以x1=4,x2=−2,k=12，
所以线段AB的中点坐标为1,52，A的坐标为4,4，
线段AB的垂直平分线方程为y−52=−2x−1即y=−2x+92．
y=14x2求导得y′=12x，
抛物线E在点A处的切线斜率为2，
过点A且与切线垂直的直线方程为y−4=−12x−4即y=−12x+6，
由y=−2x+92及y=−12x+6得圆心坐标为−1,132，
圆的半径为−1−42+132−42=1254，
所以所求的圆方程为x+12+y−1322=1254．
【答案】
解：（1）当a=12时，fx=ex+b−x−2,f′x=ex+b−1，
易知f′x=ex+b−1在R上单调递增，
令f′x=0，则x=−b，
当b≥0时−b≤0,f′x>0对x∈0,+∞恒成立，所以函数fx在0,+∞上单调递增，所以fx没有极值．
当b0，知0