2021-2022学年湖南省郴州市某校高一（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省郴州市某校高一（下）月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若集合A={−1,−14,0,1,4}，B={y|y=4x}，则A∩B=（ ）
A.1,4B.0,1,4
C.−14,0,1,4D.{−1, −14,0,1,4}

2. “|a→|=|b→|”是“a→=b→”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3. 已知AB→=12,5，BC→=2,m，且A，B，C三点共线，则m=（ ）
A.10B.15C.20D.25

4. 下列各式的结果一定为零向量的是（ ）
A.CA→+AB→−BC→B.MB→+NM→−NB→
C.CA→−BA→−DC→+BD→D.BO→+CO→+OA→+OC→

5. 已知a>0,b>0且2a+5b=10，则ab的最大值为（ ）
A.2B.5C.32D.52

6. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=π3，E为BC的中点，若AF→=λAB→，且AE⊥DF，则λ=（ ）

A.45B.35C.34D.12

7. 某生态公园有一块圆心角为π3的扇形土地，打算种植花草供游人欣赏，如图所示，其半径OA=100米．若要在弧AB⌢上找一点C，沿线段AC和BC铺设一条观光道路，则四边形OACB面积的最大值为（ ）

A.2500平方米B.25003平方米
C.5000平方米D.50003平方米

8. 已知函数fx=3x−2+3−x+2+acsπx只有一个零点，则a=（ ）
A.0B.1C.−1D.−2
二、多选题

在△ABC中，AC=23，BC=2，A=π6，则C的值可能为（ ）
A.π6B.π3C.π2D.2π3

已知a→，b→，c→均为非零向量，下列命题错误的是（ ）
A.∃λ∈R，λa→+b→=a→⋅b→
B.a→⋅b→⋅c→=a→⋅b→⋅c→可能成立
C.若a→⋅b→=b→⋅c→，则a→=c→
D.若a→⋅b→=1，则|a→|=1或|b→|=1

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB+sinC=2sinA（ ）
A.若A=π3,c=1，则a=1
B.若A=π3,c=1，则△ABC的面积为π
C.若b=2，则A的最大值为π3
D.若b=2，则△ABC周长的取值范围为4,12

已知函数fx=ln1+sinx1−sinx，则（ ）
A.fx的最小正周期为πB.fx的图象关于直线x=π2对称
C.fx在π2,3π2上单调递减D.fx的值域为R
三、填空题

在△ABC中，已知AC=2，AB=3，A=45∘，则BC=_________.

已知向量a→，b→的夹角为π6，且|a→|=|a→−b→|，则向量a→与a→−b→的夹角为________.

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c−bcsA=acsB，a=2，则△ABC外接圆的面积为________.

飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为酒吧常见的日常休闲活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖ABCDEFGH，该十字飞镖由四个全等的三角形和一个正方形组成．在△ABC中，AB=13,AC=5,BC=4，边DE上有4个不同的点P1,P2,P3,P4，且P1P2=P2P3=P3P4=2EP1=2DP4．记ai=BC→⋅BPi→i=1,2,3,4，则a1+a2+a3+a4=________.

四、解答题

如图，在△ABC中，AC→=3AE→,BC→=3BD→.

(1)设BE→=xAB→+yAC→，求x+y的值；

(2)若AD→=a→,BE→=b→，试用a→，b→表示AB→.

在①bc=a+cb，②bc=sinBcsC两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________，a=4 ，B=π2，若在边AC上存在点D，使得AD→=34AC→，求BD的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

已知函数fx=2ax2+4x+2
(1)当a=1时，求fx的值域；

(2)若fx有最大值16，求a的值．

如图，在海岸边A点的观测站发现南偏西30∘方向上，距离A点20海里的C处有一艘走私船，立刻通知了停在A的正东方向上，且距离A点103−1海里的B 处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从C处沿南偏东15∘方向逃窜．

(1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？

(2)缉私艇至少需要多长时间追上走私船？

如图，在△ABC中，AB=8,AC=BC=5.

(1)若点D为线段AB上一动点，求BD→⋅CD→的最小值；

(2)若点E满足AE→=12AC→+16AB→，直线AE与BC交于点F，求|CF→||CB→|的值．

已知函数fx=43sin22x+4sin2xcs2x−23−2cs4x+π6
(1)求fx的值域；

(2)讨论函数gx=13fx+|fx|−a2−1在0,19π24上的零点个数．
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省郴州市某校高一（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为B=0,+∞，所以A∩B=1,4
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
“|a→|=|b→|”，则向量a→，b→的方向不一定相同；若a→=b→，则|a→|=|b→|．故“|a→|=|b→|“是a→=b→的必要不充分条件．
3.
【答案】
C
【考点】
向量的共线定理
平面向量共线（平行）的坐标表示
三点共线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为A，B，C三点共线，所以2×5−12m=0，解得m=20.
4.
【答案】
B
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：CA→+AB→−BC→=2CB→，不一定为零向量；
MB→+NM→−NB→=0→；
CA→−BA→−DC→+BD→=2CD→，不一定为零向量；
BO→+CO→+OA→+OC→=BA→，不一定为零向量．
5.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为2a+5b=10≥22a⋅5b，所以ab≤52，当且仅当2a=5b=5时，等号成立．
6.
【答案】
A
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设菱形ABCD的边长为a．因为AE⊥DF，所以AE→⋅DF→=AB→+12AD→⋅DA→+λAB→
=−AB→⋅AD→+λ|AB→|2−12|AD→|2+12λAB→⋅AD→=−a22+λa2−a22+λa24=0．解得λ=45.
7.
【答案】
C
【考点】
函数模型的选择与应用
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：S四边形OACB=S△OAC+S△OCB=12OA2⋅sin∠AOC+12OA2⋅sin∠BOC
=12OA2⋅sin∠AOC+sinπ3−∠AOC
=5000sin∠AOC+π3≤5000，当∠AOC=π6时，等号成立．
8.
【答案】
D
【考点】
函数的零点
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令函数gx=fx+2=3x+3−x+acsπx．因为gx=g−x，所以gx为偶函数，即fx+2为偶函数，所以函数fx的图象关于直线x=2对称．若fx只有一个零点，则f2=2+a=0，解得a=−2.
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由正弦定理可得BCsinA=ACsinB，解得sinB=32，所以B=π3或B=2π3，故C=π6或C=π2.
【答案】
A,C,D
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
λa→+b→仍是向量，a→⋅b→不是向量，A错误．
若a→⋅b→=b→⋅c→=0，则a→⋅b→⋅c→=a→⋅b→⋅c→，B正确．
若b→=1,0，a→=3,2，c→=3,3，则a→⋅b→=b→⋅c→=3，但a→≠c→，C错误．
若a→⋅b→=1，则|a→|，|b→|均可能大于1，D错误．
【答案】
A,C,D
【考点】
正弦定理
余弦定理
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为sinB+sinC=2sinA，所以b+c=2a，若c=1，则b=2a−1，csA=b2+c2−a22bc=3a2−4a+24a−2=12，解得a=1，
△ABC的面积S=12bcsinA=34，A正确，B错误．
若b=2，则c=2a−2，csA=b2+c2−a22bc=3a2−8a+88a−8=38a−1+1a−1+2−1≥382a−1⋅1a−1+2−1=12，
当且仅当a=2时，等号成立，所以A的最大值为π3，C正确．
若b=2，则根据三边关系可得a+c>ba+b>c即a+2a−2>2a+2>2a−2解得43