人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试单元测试课时练习

人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》单元测试卷

考试范围：第十七章； 考试时间：100分钟；总分120分，

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边长，则下列四个说法：：；；其中正确的是
    

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，为中线，为的中点，为的中点，连结若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

3. 如图，在矩形中，，，点为平面内一动点，且，连接，点为的中点，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

4. 在中，，若，，则的面积是

A.  B.  C.  D.

5. 图甲是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形如图演化而成的．如图乙中的，按此规律，在线段，，，，中，长度为整数的线段有条．

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，为的中点，，垂足为过点作 交的延长线于点，连接，现有如下结论：平分；；；；其中正确的结论有   

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 如图，在边长为的等边中，为的中点，射线，，分别为线段与射线上的点，连结，若，则的最小值为   

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，平分，连接，作则下列结论中：是等腰直角三角形正确的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 如图，一个长方体的长宽高分别是米、米、米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点到点所经过的最短路线长为       

A.   B.   C.  D. 以上都不对

10. 已知、、为的三边，且满足，则是

A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形

11. 如图，正方形四边相等、四内角相等中，，点、是正方形内的两点，且，，则的平方为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，点是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；点与的距离为；；；其中正确的结论是

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若，，是直角三角形的三条边长，斜边上的高长是，给出下列结论：以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形；以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形．其中所有正确结论的序号为          ．
14. 的周长是，边长分别为，，，且，，则 ______ ．
15. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形已知为较长直角边，，则正方形的面积为______．

16. 在中，，，点是边上一点，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，连接，如果是以为直角边的等腰直角三角形，那么的长为________．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 如图，等腰三角形中，，边上的高为，且的周长为，求腰长．
    
     

18. 观察猜想
    如图点、、在同一条直线上，，且，，则、、之间的数量关系为______；
    问题解决
    如图，在中，，，，以为直角边向外作等腰，连结，求的长；
    拓展延伸
    如图，在四边形中，，，，，请直接写出的长．

19. 如图，已知、、在同一条直线上，且，
    求证：≌；
    若设，，，试利用这个图形验证勾股定理．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，有线段、点、、、都在小正方形的顶点上．
    在方格纸中画出钝角，为最长边，且的面积为．
    在方格纸中画出等腰直角且的面积为，连接，直接写出线段的长．
     

21. 如图，长方形的顶点、、都在坐标轴上，点的坐标为，为的中点．
    试求点的坐标和的周长；
    若是上的一个动点，它以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向匀速运动，设运动时间为秒．
    若的面积等于的面积的一半，试求的值；
    是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，试说明理由．

22. 如图，已知，，，，求图中阴影部分的面积．
    
     

23. 已知等腰三角形的底边长，是上的一点，且，．

求证：；

求的面积．






 

24. 如图，是的中线，是的高，是的中线，且，，．
    是直角吗？请说明理由．
    求的长．
    
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：

为直角三角形，
根据勾股定理：，
故本选项正确；
由图可知，，
故本选项正确；
由可得，
故本选项正确；
，
整理得，，
，
故本选项错误；
正确结论有．
故选B．
根据直角三角形面积的计算公式、完全平方公式及勾股定理解答．
本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：连接，

是边上的中线，点为的中点，
为的中位线，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
为的中点，，
，
，
，
，
解得，
．
故选：．
连接，利用中位线的性质可得，，由平行线的性质及等腰三角形的判定与性质可证明≌，进而可证得，结合中点的定义及直角三角形的性质可得，，利用勾股定理可求解的长，进而可求得的长．
本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用，解题的关键在于求出．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是动点的最值问题．
由题意可知为定值，故E的运动轨迹为以为圆心，为半径的，连接交于，由勾股定理求出，根据当运动到时和当运动到时，求出，设为的中点，同理可得的运动轨迹为：以为圆心，为半径的，连接交于，由图可知当运动到时，为最小值，即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知为定值，故E的运动轨迹为以为圆心，为半径的，
如图，连接交于，

，，
，
当运动到时，，
当运动到时，，
则，
设为的中点，同理可得的运动轨迹为：以为圆心，为半径的，连接交于，如图，

当运动到时，为最小值，
，
的最小值，
故选B．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了勾股定理有关知识，要求的面积，只需求出两条直角边的乘积，进而得到三角形的面积．

【解答】

解：，，
设，，，
即，，
，

，

，

，

，

则的面积为．

故选A．

5.【答案】
 

【解析】解：，
由勾股定理可得，
，
，
，
在线段，，，，中，完全平方数有，，，，
在线段，，，，中，长度为整数的线段有条，
故选：．
，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可得到结论．
本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到的规律是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
由，推出是的中线，如果是角平分线，则，显然，故错误；
易证是等腰直角三角形，故BF；
由≌，推出，由，推出，即。
在中，，易证；
由≌，推出，，由，即可推出；
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型。
【解答】
解：，
是的中线，
如果平分，则，显然，故错误；
是等腰直角三角形
，
，，
，，
是等腰直角三角形，故BF，故正确；
在和中

，
，
，
，
，故正确；
在中，，
，且，
，故正确；
，
，
，
，
，
，故正确；
故选B．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
取的中点，连接由≌，推出，欲求的最小值，只要求的最小值，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，作于，连接，易知，，，可得，由此即可解决问题．
【解答】
解：取的中点，连接．

是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
欲求的最小值，只要求的最小值，
作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，
作于，连接，易知，，，
，
的最小值为．
故答案为．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质．
过作垂直于延长线于，作于，证明，结合勾股定理即可一一判断．
【解答】
解：如图

过作垂直于延长线于，作于，
，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，故正确；
，故正确；
易得，且和都是等腰直角三角形，
，故正确；
，，
根据条件无法得到，
故AC与不一定相等
故错误，
正确的结论有个．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查平面的最短路径问题，关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视或正视和侧视，或俯视和侧视二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
【解答】
解：如图所示，

路径一：；
路径二：；
路径三：；
，
为最短路径．
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到、、的关系式是解题的关键．
移项并分解因式，然后解方程求出、、的关系，再确定出的形状即可得解．
【解答】
解：移项得，，
，
，
所以，或，
即或，
因此，等腰三角形或直角三角形．
故选C．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是勾股定理以及逆定理，全等三角形的判定及性质的有关知识．
关键是延长交于，再根据全等三角形的判定得出≌，得出，由，得出，同理得出，再根据勾股定理得出的平方．
【解答】
解：延长交于，如图：

，，，
，
是直角三角形，
同理可得是直角三角形，
在和中，

≌，
，
，
，
，
，
可得是直角三角形，
，
，
同理可得：，
在和中，

≌，
，，
，
同理可得：，
．
故选A．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等边三角形的性质，利用勾股定理的逆定理，判定勾股数、、所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论时，将绕点逆时针旋转，体现了结论结论解题思路的拓展应用．证明≌，又，所以可以由绕点逆时针旋转得到，故结论正确；由是等边三角形，可知结论正确；在中，三边长为，，，这是一组勾股数，故是直角三角形，进而求得，故结论正确；，故结论错误；如图，将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将转化为，计算可得结论正确．
【解答】
解：由题意可知，，，
又，，
≌，
又，
可以由绕点逆时针旋转得到，
故结论正确；
如图，连接，

，且，
是等边三角形，
．
故结论正确；
≌，．
在中，三边长为，，，这是一组勾股数，
是直角三角形，，
，
故结论正确；
，
故结论错误；
如图所示，将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点．

易知是边长为的等边三角形，是边长为、、的直角三角形，
则，
故结论正确．
综上所述，正确的结论为：．
故选B．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理，以及勾股定理的逆定理，同时，通过这一题目要学会，用反例的方法说明一个命题是错误的思考方法．由已知三边，根据勾股定理得出，然后根据三角形三边关系即任意一边长其他二边的差，其他二边的和，再推出小题中各个线段是否能组成三角形．
【解答】
解：直角三角形的三条边满足勾股定理，因而以，，的长为边的三条线段不能满足两边之和第三边，故不能组成一个三角形，故错误；
直角三角形的三边有中最大，而在，，三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有成立，即，即，又，则不等式成立，从而满足两边之和第三边，则以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；
，，这三个数中一定最大，，，又
，
根据勾股定理的逆定理即以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确；
若以，，的长为边的条线段能组成直角三角形，假设，，，
，
以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】解：的周长是，边长分别为，，，
，
，，
，
，
解得：．
故答案为：．
根据三角形周长得出，再利用已知将，分别用表示，进而得出答案．
此题主要考查了三角形的周长，将，用表示是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：设则正方形的面积
由题意可知，
，
，
，
正方形的面积为，
，
正方形的面积，
故答案为：
设则正方形的面积，由题意可知，由此即可解决问题．
本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

16.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
根据题意可知，需要分两种情况：，，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】
解：当时，如图，

此时，四边形是正方形，
则，
又是等腰直角三角形，
则，
所以；
当时，如图，

设，则，，
由折叠可知，，
由题意可知，，
，
又，
，
即是等腰直角三角形，
，，
，
，
解得，
．
故答案为：或．  

17.【答案】解：如图，在中，，为上的高，
．
故设，则由题意，得
，
解得，，
所以的长为．
 

【解析】如图，利用等腰三角形“三合一”的性质推知，结合勾股定理列出关于、的方程组，通过方程组可以求得的值．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质．此题是借助于二元一次方程组来求得边的长度．
 

18.【答案】解：；
问题解决
如图，过作，交的延长线于，

由同理得：≌，
，，
中，，
由勾股定理得：；
；
拓展延伸
如图，过作于，作于，
同理得：≌，
，，
设，，
则，解得：，
，，
由勾股定理得：．
 

【解析】

解：观察猜想
结论：，理由是：
如图，，，
，
，
，，
≌，
，，
；
见答案；
见答案；
【分析】
观察猜想：证明≌，可得结论：；
问题解决：作辅助线，同理证明：≌，可得，，最后利用勾股定理求的长；
拓展延伸：同理证明三角形全等，设，，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．
本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、勾股定理，解决本题的关键是证明：≌，并运用了类比的思想依次解决问题．  

19.【答案】解：，，
，
，
≌；

≌，
，，
、、在同一条直线上，且，
四边形是直角梯形，
，
又，
，
即．
 

【解析】依据即可判定≌；
根据≌，可得，，再根据四边形的面积的两种不同表示方式，即可得到．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
 

20.【答案】解：如图所示：

如图所示：
．
 

【解析】根据题意画出为最长边，且面积为的图形即可；
根据题意可以画出相应的图形，再根据勾股定理求出线段的长即可．
本题考查作图、勾股定理、三角形的面积、等腰直角三角形的性质，解题的关键是画出相应的图形，找出所求问题需要的条件．
 

21.【答案】解：四边形是长方形，点的坐标为，为的中点，
点的坐标为，
由勾股定理求得，
所以的周长为；
的面积等于的面积的一半，
，
当点在原点右侧时，，则，
，
当点在原点左侧时，，则，
，
当或时，的面积等于的面积的一半；
当时，点与点重合，不合题意，
 当时，，
当点在原点右侧时，，则，
，
当点在原点左侧时，，则，
，
当时，如图，作于，于，
，，
，
，，
∽，
，
解得，，则，
，
当、、时，是等腰三角形．
 

【解析】根据进行的性质确定点的坐标，根据勾股定理求出的长，求出的周长；
根据高相等的两个三角形的面积之比等于底的比求出的长即可；
分、和三种情况，结合图形、运用相似三角形的判定和性质解答即可．
本题考查的是矩形的性质、坐标与图形的关系以及等腰三角形的判定定理，灵活运用数形结合思想是解题的关键，注意相似三角形的判定和性质的应用．
 

22.【答案】解：在中，，，，，
，
取正值．
在中，，．
，
为直角三角形，．



答：图中阴影部分的面积为．
 

【解析】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形．先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，再根据即可得出结论．
 

23.【答案】证明：，
，
是直角三角形，
；
解：设，则，
，
，
在中：，
，
解得，
，
的面积．
 

【解析】首先根据、、长可利用勾股定理逆定理证明；
设，则，在中，利用勾股定理列出方程求解即可得到，进一步得到，再利用和边上的高列式计算即可得解．
本题考查了勾股定理逆定理，勾股定理的应用，熟记两个定理并判断出是直角三角形，然后求出的长是解题的关键．
 

24.【答案】解：是直角．
是的高，
，
在中，，
，
同理：，
，
，
，
是直角三角形，
是直角；

是的中线，，
垂直平分，
，
在中，，
点是边的中点，
．
 

【解析】利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，即可得出是直角；
根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．
本题主要考查了直角三角形的性质与判定，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键．