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2021-2022学年湖南省郴州市某校高三（下）3月联考数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖南省郴州市某校高三（下）3月联考数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设i是虚数单位，若复数z=a−52+i(a∈R)是纯虚数，则a的值为（ ）
A.2B.−1C.1D.−2
2. 已知集合A=x|−2A.(0,2]B.0,1C.[2,+∞）D.[1,+∞）
3. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线为l，若双曲线的右焦点F到l的距离是其右顶点A到l的距离的两倍，则该双曲线的离心率是（ ）
A.23B.10C.2D.233
4. 已知随机变量X，Y分别满足，X∼B8,p,Y∼Nμ,σ2，且期望EX=EY，又PY≥3=12，则p=（ ）
A.14B.13C.12D.38
5. 如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1各边中点得到一个新的△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC, △A1B1C1,△A2B2C2，…，这一系列所有三角形的面积和趋向于一个常数．已知A0,0,B5,0,C1,3，则这个常数是（ ）
A.15B.10C.5D.103
6. 如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1，以D为坐标原点，DA→,DC→，DD1→的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则DB1→=2,3,4，又E，F分别是棱AB，CC1的中点，那么三棱锥B1−A1EF的体积为（ ）
A.12B.8C.6D.4
7. 函数fx=sin2x+φ|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后关于直线x=π4对称，则函数fx在区间0,π2上的最小值为（ ）
A.−12B.−32C.32D.12
8. 若关于x的不等式aex+bx+c<0的解集为−1,1，则（ ）
A.b>0B.a+c>0C.a+b+c>0D.8a+2b+c>0
二、多选题
已知a→=1,2，b→=m,−1，则下列结论正确的是（ ）
A.若a→⊥b→，则m=2
B.若a→//b→，则m=12
C.若|a→|=|b→|，则m=2
D.若m=−3，则a→，b→的夹角为3π4
已知1+xn=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxnn∈N*，则下列结论正确的是（ ）
A.a0=an
B.当a3=10时，n=5
C.当n=4时，a12+a24+a38+a416=6516
D.若1+xnn∈N*的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于12或13
已知函数fx=x|x−a|，其中a为实数，则（ ）
A.函数fx有两个不同零点0和a
B.若对于任意两个不同的实数x1,x2都有fx2−fx1x2−x1>0，则a=0
C.若fx在0,1上单调递增，则a≤0或a≥2
D.若fx=1有三个不同的实数根，则a>2
如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且AE:EB=AH:HD=m,CF:FB=CG:GD=n，AC⊥BD,AC=4,BD=6.则下列结论正确的是（ ）
A.E，F，G，H一定共面
B.AC//平面EFGH
C.若直线EF与GH有交点，则交点一定在直线AC上
D.当m=n时，四边形EFGH的面积有最大值6
三、填空题
tan67.5∘×1−tan222.5∘=
一个盒子里装有除颜色外完全相同的6个小球，盒子中有编号分别为1、2、3、4的红球4个，编号分别为4、5的白球2个，从盒子中任取3个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）．则在取出的3个小球中，小球编号最大值为4的概率是________.
函数fx=ax+bxa>0,b>0,a≠1,b≠1是偶函数，则fa+b,fab与f2三者间的大小关系是________.
已知A、B分别是椭圆x22+y2=1的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，|PA|=λ|PB|且满足∠PBA=2∠PAB，则λ=________.
四、解答题
某大型商场为了了解客户对于在其商场销售的某品牌电视机的五种型号的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
满意率是指：某品牌电视机型号的回访客户中，满意人数与总人数的比值．
假设客户是否满意互相独立，且每种型号电视机客户对于此型号电视机满意的概率与表格中该电视机型号的满意率相等．
(1)从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；
(2)从65E3F型号、65E3G型号电视机的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X，求X的分布列和期望．
已知数列an的每一项都为正数，a1=3，它的前n项和为Sn，且an,2Sn,an+1n∈N*成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)求S2n并证明：1S2+1S4+1S6+⋯+1S2n
已知平面四边形ABCD，AB=3,BC=1,CD=2.
(1)若csB=−15,csD=35，求边AD的长；
(2)当∠BCD=120∘且AD⊥DC时，求sinA．
在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，O为AD的中点，DC//AB，DC⊥AD，PA=PD，PO=AB=2DC，BC=3CD.
(1)求证：平面PBC⊥平面POC；
(2)求平面PAB与平面PCB所成角的余弦值．
已知O为坐标原点，抛物线E:x2=2pyp>0，过点C0,2作直线l交抛物线E于点A、B（其中点A在第一象限），OA→⋅OB→=−4且AC→=λCB→λ>0.
(1)求抛物线E的方程；
(2)当λ=2时，过点A、B的圆与抛物线E在点A处有共同的切线，求该圆的方程．
已知函数fx=e2ax+b−x−1a，其中a，b是实数且a≠0.
(1)当a=12时，讨论函数fx在0,+∞上的极值情况；
(2)若函数fx≥0对一切x∈−1a,+∞恒成立，求ba的最小值．
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省郴州市某校高三（下）3月联考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的混合运算
虚数单位i及其性质
【解析】
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】
z=a−52+i=a−(2−i)=a−2+i是纯虚数，
则a−2＝0，所以a＝2，
故选A
2.
【答案】
C
【考点】
集合的包含关系判断及应用
集合关系中的参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵A=x|−2∴ B≠⌀
∴ m≥0且−m≤−2,m≥1,解得:m≥2．
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解: Aa,0,Fc,0 ,l:bx−ay=0
所以cbb2+a2=2×abb2+a2，所以c=2a
所以双曲线的离心率e=c2=2．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：Y∼Nμ,σ2且PY≥3=12，知μ=3，所以EX=EY=3
又X∼B8,p,EX=8p，所以p=38．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
数列的应用
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题△ABC,△A1B1C1,△A1B2C2，…的面积依次构成一个无穷等比数列，
首项为△ABC的面积152，公比为14，
前n个三角形的面积和为 1521−14n1−14=101−14n，
当n趋向于无穷大时，前n个三角形的面积和趋向于常数10．故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
空间中的点的坐标
【解析】
此题暂无解析
【解答】
依题长方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长分别为DA=2,DC=3,DD1=4
三棱锥B1−A1EF的体积为VB1−A1EF=VF−B1A1E=13S△B1A1E×AD=13×12×3×4×2=4．
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
三角函数的最值
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
函数fx=sin2x+φ|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象表达式为y=sin2x+π3+φ，
该函数的图象关于直线x=π4对称，
所以2×π4+π3+φ=kπ+π2k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ=−π3
所以fx=sin2x−π3
当x∈0,π2时，2x−π3∈−π3,2π3，
所以fx的最小值为−32
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
显然a>0，不等式可化为ex<−bax−ca
在同一直角坐标系中作出函数y=ex,y=−bax−ca的图象，
依题两图象的交点横坐标为−1，1，
则−ba>0,−ca>1，所以b<0,−c>a，AB错；
当x=1时，ae+b+c=0，而a+b+c当x=2时，ae2+2b+c>0，则8a+2b+c>ae2+2b+c>0,D正确．
故选D．
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
若a⊥_b，则m−2=0，得m=2,A正确；
若a//b，则1×−1−2m=0得m=−12，B错误；
若|a|=|b|，则m2+1=5，得m=2或m=−2，C错误；
若m=−3，则b=−3,−1，设a，b的夹角为θ,csθ=a⋅b|a||b|=−3+−25×10=−22
又θ∈0,π，所以θ=3π4，D正确．
【答案】
A,B,C
【考点】
二项式系数的性质
数列的求和
数学归纳法
数列的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
a0=an=1，A正确；
x3 的系数a3=Cn3，则Cn3=10，所以n=5，B正确；
当n=4时，1+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4
令x=12，则1+124=a0+a12+a24+a38+a416，又a0=1
所以a12+a24+a38+a416=6516，C正确．
若1+xnn∈N*的展开式中第7项的二项式系数最大，当n为偶数则n等于12，当n为奇数则n等于11或13, D错误.
【答案】
B,C,D
【考点】
函数的最值及其几何意义
由函数零点求参数取值范围问题
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
当a=0时，fx=x|x|只有一个零点，A错误；
若fx2−fx1x2−x1>0恒成立，则fx在定义域R上是单调递增函数，结合图象知a=0，B正确；
fx=x|x−a|=xx−a,x≥a,−xx−a,x当a=0时，fx在R上单调递增，所以fx在0,1上单调递增；
当a<0时，fx在−∞,a和a2,+∞上单调递增，在a,a2上单调递减，
所以x∈0,1时，fx=xx−a单调递增；
当a>0时，fx在−∞,a2和a,+∞上单调递增，在a2,a上单调递减，
若fx在x∈0,1上单调递增，则a2≥1，所以a≥2
综上若fx在0,1上单调递增，则实数α的取值范围是−∞,0∪2,+∞，C正确；
fx=1有三个不同的实数根，则由C讨论结合图象知a>0，且fa2>1，所以a>2，D正确．
【答案】
A,C,D
【考点】
直线与平面平行的判定
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为AE:EB=AH:HD，所以EH//BD
又CF:FB=CG:GD，所以FG//BD
所以EH//FG，所以E，F，G，H四点共面．A正确；
因为EHBD=AEAE+EB=mm+1，所以EH=mm+1BD，同理可得FG=nn+1BD
当m≠n时，EH≠FG，又EH//FG，所以四边形EFGH为梯形，
所以直线EF与GH有交点，知交点在平面ABC内，又在平面ADC内，
而平面ABC∩面ADC=AC，所以直线EF与GH的交点在直线AC上，B错误；C正确；
因为EH=mm+1BD FG=nn+1BD及m=n得EH=FG，四边形EFGH为平行四边形．
又AC⊥BD，所以EF⊥EH，所以平行四边形EFGH为矩形．
设EFAC=BEAB=x，因为EF//AC，所以EF=4x，
因为EH//BD，所以AEAB=EHBD=1−x，所以EH=61−x
所以矩形EFGH的面积y=24x1−x0可求得fxmax=f12=6,D正确．
三、填空题
【答案】
2
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
tan67.5∘×1−tan222.5∘=sin67.5∘cs67.5∘×1−tan22.5∘=1−tan222.5∘tan22.5∘=2tan45∘=2
【答案】
920
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
基本事件总数为n=C63=20
若编号为4的球有且只有一个且为白球，有C32=3种取法；
若编号为4的球有且只有一个且为红球，有C32=3种取法；
若编号为4的球红球白球都取到，有C31=3种取法，
小球编号最大值为4的基本事件个数为9种，
所以，小球编号最大值为4的概率p=920
【答案】
fa+b>f2>fab
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
fa+b>f2>fab
【答案】
303
【考点】
椭圆的定义和性质
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知A−2,0,B2,0，
设Px0,y0，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2，
则 k1k2=y0x0+2⋅y0x0−2=y02x02−2=1−x022x02−2=−12，
由正弦定理得λ=|PA||PB|=sin∠PBAsin∠PAB=2cs∠PAB，
由∠PBA=2∠PAB得tan∠PBA=tan2∠PAB=2tan∠PAB1−tan2∠PAB，
所以−k2=2k11−k12，又k1k2=−12，从而k12=15，即tan2∠PAB=15,
因此cs∠PAB=306，所以λ=303.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意知，样本中的回访客户的总数是700+150+200+600+350=2000，
满意的客户人数700×0.5+150×0.3+200×0.6+600×0.3+350×0.2=765，
故所求概率为7652000=153400.
（2）X=0,1,2.
设事件A为“从65E3F型号电视机的所有客户中随机抽取的人满意”，
事件B为“从65E3G型号电视机的所有客户中随机抽取的人满意”，
且A、B为独立事件．
根据题意，PA估计为0.5，PB估计为0.3，
则P(X=0)=P(AB)=(1−P(A))(1−P(B))=0.5×0.7=0.35；
PX=1=PAB+AB=PAB+PAB=0.5×0.7+0.5×0.3=0.5，PX=2=PAB=PAPB=0.5×0.3=0.15，
X的分布列为
X的期望EX=0×0.35+1×0.5+2×0.15=0.8 ．
【考点】
离散型随机变量及其分布列
概率的应用
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意知，样本中的回访客户的总数是700+150+200+600+350=2000，
满意的客户人数700×0.5+150×0.3+200×0.6+600×0.3+350×0.2=765，
故所求概率为7652000=153400.
（2）X=0,1,2.
设事件A为“从65E3F型号电视机的所有客户中随机抽取的人满意”，
事件B为“从65E3G型号电视机的所有客户中随机抽取的人满意”，
且A、B为独立事件．
根据题意，PA估计为0.5，PB估计为0.3，
则P(X=0)=P(AB)=(1−P(A))(1−P(B))=0.5×0.7=0.35；
PX=1=PAB+AB=PAB+PAB=0.5×0.7+0.5×0.3=0.5，PX=2=PAB=PAPB=0.5×0.3=0.15，
X的分布列为
X的期望EX=0×0.35+1×0.5+2×0.15=0.8 ．
【答案】
证明：（1）由an,2Sn,an+1n∈N*成等比数列得anan+1=2Sn ①，
所以an+1an+2=2Sn+1 ②，
由②减去①得an+1an+2−an=2an+1,
又an+1不为零，所以an+2−an=2．
所以数列a1,a3,a5，…，a2n−1成等差数列，首项为a1=3，公差为2，
所以a2n−1=3+2n−1=2n+1，
又a1a2=2S1,a1=3得a2=2,
数列a2,a4,a6，…，a2n成等差数列，首项为a2=2，公差为2，所以a2n=2n，
故数列an的通项公式为an=n+2,n为奇数，n,n为偶数．
（2）S2n=a1+a2+a3+a4+ ⋯+a2n−1+a2n
=(a1+a3+⋯+a2n−1)+(a2+a4+⋯+a2n)
=n23+2n+1+n22+2n
=n2n+3．
1S2n=1n2n+3<1n2n+2=121n−1n+1 ，
所以1S2+1S4+1S6+⋯+1S2n
<1211−12+1212−13+1213−14+⋯+121n−1n+1=n2(1+n)，
即1S2+1S1+1S6+⋯+1S2n【考点】
数列递推式
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：（1）由an,2Sn,an+1n∈N*成等比数列得anan+1=2Sn ①，
所以an+1an+2=2Sn+1 ②，
由②减去①得an+1an+2−an=2an+1,
又an+1不为零，所以an+2−an=2．
所以数列a1,a3,a5，…，a2n−1成等差数列，首项为a1=3，公差为2，
所以a2n−1=3+2n−1=2n+1，
又a1a2=2S1,a1=3得a2=2,
数列a2,a4,a6，…，a2n成等差数列，首项为a2=2，公差为2，所以a2n=2n，
故数列an的通项公式为an=n+2,n为奇数，n,n为偶数．
（2）S2n=a1+a2+a3+a4+ ⋯+a2n−1+a2n
=(a1+a3+⋯+a2n−1)+(a2+a4+⋯+a2n)
=n23+2n+1+n22+2n
=n2n+3．
1S2n=1n2n+3<1n2n+2=121n−1n+1 ，
所以1S2+1S4+1S6+⋯+1S2n
<1211−12+1212−13+1213−14+⋯+121n−1n+1=n2(1+n)，
即1S2+1S1+1S6+⋯+1S2n【答案】
解：（1）连AC，
在△ABC中，由余弦定理有AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB
又AB=3,BC=1,csB=−15，所以AC2=9+1−2×3×1×−15=565，
在△ACD中，由余弦定理有AC2=DC2+AD2−2DC⋅AD⋅csD，
又CD=2,csD=35，所以4+AD2−2×2AD×35=565，
得AD=23或AD=−635（舍去），
所以边AD的长为23.
（2）连BD，在△BCD中，由余弦定理有BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cs∠BCD，又BC=1，CD=2,∠BCD=120∘
所以BD=7，
所以cs∠BDC=BD2+CD2−BC22BD⋅CD=527，
因为AD⊥DC，
所以sin∠ADB=cs∠CDB=527，
在△ABD中，
由正弦定理有ABsin∠ADB=DBsin∠BAD，
所以sin∠BAD=DBsin∠ADBAB=56，故sinA=56.
【考点】
余弦定理
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）连AC，
在△ABC中，由余弦定理有AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB
又AB=3,BC=1,csB=−15，所以AC2=9+1−2×3×1×−15=565，
在△ACD中，由余弦定理有AC2=DC2+AD2−2DC⋅AD⋅csD，
又CD=2,csD=35，所以4+AD2−2×2AD×35=565，
得AD=23或AD=−635（舍去），
所以边AD的长为23.
（2）连BD，在△BCD中，由余弦定理有BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cs∠BCD，又BC=1，CD=2,∠BCD=120∘
所以BD=7，
所以cs∠BDC=BD2+CD2−BC22BD⋅CD=527，
因为AD⊥DC，
所以sin∠ADB=cs∠CDB=527，
在△ABD中，
由正弦定理有ABsin∠ADB=DBsin∠BAD，
所以sin∠BAD=DBsin∠ADBAB=56，故sinA=56.
【答案】
证明：（1）连OB，
在三角形PAD中，PA=PD且O为AD的中点，
所以PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
又BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC ，
DC//AB,DC⊥AD，所以AB⊥AD，
在Rt△OAB中，OB2=OA2+AB2=OA2+4DC2，
在Rt△ODC中，OC2=OD2+DC2=OA2+DC2，
又BC=3CD，
所以OB2=OC2+BC2，
所以BC⊥OC，
又PO∩OC=O，所以BC⊥平面POC，
BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面POC.
(2)如图，以O为原点，OA、OP所在直线分别为x轴、z轴，过O且垂直于AD的直线为y轴建立空间直角坐标系．
设DC=2，则PO=AB=4,BC=23，
易求AD=22，
则A(2,0,0),B(2,4,0),C(−2,2,0),P(0,0,4）.
所以AB→=0,4,0,CB→=22,2,0,PB→=2,4,−4．
设平面PAB的一个法向量为n→=x1,y1,z1，
则n→⋅AB→=0,n→⋅PB→=0所以4y1=0,2x1+4y1−4z1=0
取x1=4，则y1=0,z1=2，所以n→=4,0,2．
设平面PCB的一个法向量为m→=x2,y2,z2，
则m→⋅CB→=0m→⋅PB→=0所以22x2+2y2=0,2x2+4y2−4z2=0
取x2=22，则y2=−4,z2=−3，所以m→=22,−4,−3．
所以cs⟨n→,m→⟩=n→⋅m→|n→||m→|=82+0−3218×33=53399，
即平面PAB与平面PCB所成角的余弦值为53399．
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：（1）连OB，
在三角形PAD中，PA=PD且O为AD的中点，
所以PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
又BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC ，
DC//AB,DC⊥AD，所以AB⊥AD，
在Rt△OAB中，OB2=OA2+AB2=OA2+4DC2，
在Rt△ODC中，OC2=OD2+DC2=OA2+DC2，
又BC=3CD，
所以OB2=OC2+BC2，
所以BC⊥OC，
又PO∩OC=O，所以BC⊥平面POC，
BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面POC.
(2)如图，以O为原点，OA、OP所在直线分别为x轴、
z轴，过O且垂直于AD的直线为y轴建立空间直角坐标系．
设DC=2，则PO=AB=4,BC=23，
易求AD=22，
则A(2,0,0),B(2,4,0),C(−2,2,0),P(0,0,4）.
所以AB→=0,4,0,CB→=22,2,0,PB→=2,4,−4．
设平面PAB的一个法向量为n→=x1,y1,z1，
则n→⋅AB→=0,n→⋅PB→=0所以4y1=0,2x1+4y1−4z1=0
取x1=4，则y1=0,z1=2，所以n→=4,0,2．
设平面PCB的一个法向量为m→=x2,y2,z2，
则m→⋅CB→=0m→⋅PB→=0所以22x2+2y2=0,2x2+4y2−4z2=0
取x2=22，则y2=−4,z2=−3，所以m→=22,−4,−3．
所以cs⟨n→,m→⟩=n→⋅m→|n→||m→|=82+0−3218×33=53399，
即平面PAB与平面PCB所成角的余弦值为53399．
【答案】
解：（1）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+2，
设直线l与抛物线的交点坐标为Ax1,y1,Bx2,y2x1>0，
A、B在抛物线上，则y1=x122p,y2=x222p，
由y=kx+2x2=2py
消y并整理成x2−2pkx−4p=0，
所以x1+x2=2pkx1x2=−4p,
又OA→⋅OB→=−4，则x1x2+y1y2=−4，
所以x1x2+x122p⋅x222p=−4，
所以−4p+4=−4,p=2，
所以抛物线E的方程为x2=4y．
（2）由y=kx+2x2=4y'消y并整理成x2−4kx−8=0，
所以x1+x2=4k,x1x2=−8,
当λ=2时，AC→=2CB→知x1=−2x2，
又x1>0，所以x1=4,x2=−2,k=12，
所以线段AB的中点坐标为1,52，A的坐标为4,4，
线段AB的垂直平分线方程为y−52=−2x−1即y=−2x+92．
y=14x2求导得y′=12x，
抛物线E在点A处的切线斜率为2，
过点A且与切线垂直的直线方程为y−4=−12x−4即y=−12x+6，
由y=−2x+92及y=−12x+6得圆心坐标为−1,132，
圆的半径为−1−42+132−42=1254，
所以所求的圆方程为x+12+y−1322=1254．
【考点】
抛物线的标准方程
圆锥曲线的综合问题
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+2，
设直线l与抛物线的交点坐标为Ax1,y1,Bx2,y2x1>0，
A、B在抛物线上，则y1=x122p,y2=x222p，
由y=kx+2x2=2py
消y并整理成x2−2pkx−4p=0，
所以x1+x2=2pkx1x2=−4p,
又OA→⋅OB→=−4，则x1x2+y1y2=−4，
所以x1x2+x122p⋅x222p=−4，
所以−4p+4=−4,p=2，
所以抛物线E的方程为x2=4y．
（2）由y=kx+2x2=4y'消y并整理成x2−4kx−8=0，
所以x1+x2=4k,x1x2=−8,
当λ=2时，AC→=2CB→知x1=−2x2，
又x1>0，所以x1=4,x2=−2,k=12，
所以线段AB的中点坐标为1,52，A的坐标为4,4，
线段AB的垂直平分线方程为y−52=−2x−1即y=−2x+92．
y=14x2求导得y′=12x，
抛物线E在点A处的切线斜率为2，
过点A且与切线垂直的直线方程为y−4=−12x−4即y=−12x+6，
由y=−2x+92及y=−12x+6得圆心坐标为−1,132，
圆的半径为−1−42+132−42=1254，
所以所求的圆方程为x+12+y−1322=1254．
【答案】
解：（1）当a=12时，fx=ex+b−x−2,f′x=ex+b−1，
易知f′x=ex+b−1在R上单调递增，
令f′x=0，则x=−b，
当b≥0时−b≤0,f′x>0对x∈0,+∞恒成立，所以函数fx在0,+∞上单调递增，所以fx没有极值．
当b<0时，−b>0，知00，函数fx单调递增，所以函数fx在0,+∞上有极小值且极小值为f−b=b−1，没有极大值．
综上，当b≥0时函数fx在0,+∞没有极值，
当b<0时函数fx在0,+∞上有极小值无极大值．
（2）fx=e2ax+b−x−1a求导得f′x=2ae2ax+b−1，
所以f′′x=4a2e2ax+b>0a≠0
所以f′x=2ae2ax+b−1在R上单调递增，
所以当a<0时f′x<0，所以fx在x∈−1a,+∞上单调递减，
而eb−2a>−1a且f(eb−2a)=e2a(eb−2a)+b−eb−2a−1a所以a<0时不满足fx≥0恒成立．
当a>0时，若f′x=0得e2ax+b=12a，即x=−b+ln2a2a,
∴ x<−b+ln2a2a时，f′x<0，即fx单调递减，
当x>−b+ln2a2a时，f′x>0，即fx单调递增．
令ba=k即a=bk,
则：①当−1a≥−b+ln2a2a，即b+ln2a≥2时，fx在−1a,+∞上单调递增，
所以fx>f−1a=eb−2+1a−1a=eb−2>0恒成立，
所以b+ln2a≥2即a≥e2−b2时fx≥0在x∈−1a,+∞时恒成立，
那么ba最小时，直线a=bk与曲线gb=e2−b2相切，
设切点坐标为b0,a0，而g′b=−e2−b2,
∴ g′b0=1k时，−b0e2−b02=e2−b02，
有b0=−1,a0=e32，则b0a0=−2e3，
所以a≥e2−b2时，ba的最小值为−2e3．
②当−1a<−b+ln2a2a，即b+ln2a<2时，fx在(−1a,−b+ln(2a)2a)上单调递减，在（−b+ln(2a)2a．+∞）上单调递增，
所以fx在x=−b+ln2a2a时取到最小值，
若fx≥0在x∈−1a,+∞时恒成立，
则f(x)min=f(−b+ln2a2a）=1+b+ln2a2a−1a≥0，得b+ln2a≥1,
所以e1−b2≤a设切点坐标为b0,a0，而g′b=−e1−b2，
∴ g′b0=1k时，−b0e1−b02=e1−b02，有b0=−1,a0=e22，则b0a0=−2e2；
所以e1−b2≤a−2e2<−2e3，综上，ba的最小值为−2e2．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）当a=12时，fx=ex+b−x−2,f′x=ex+b−1，
易知f′x=ex+b−1在R上单调递增，
令f′x=0，则x=−b，
当b≥0时−b≤0,f′x>0对x∈0,+∞恒成立，所以函数fx在0,+∞上单调递增，所以fx没有极值．
当b<0时，−b>0，知00，函数fx单调递增，所以函数fx在0,+∞上有极小值且极小值为f−b=b−1，没有极大值．
综上，当b≥0时函数fx在0,+∞没有极值，
当b<0时函数fx在0,+∞上有极小值无极大值．
（2）fx=e2ax+b−x−1a求导得f′x=2ae2ax+b−1，
所以f′′x=4a2e2ax+b>0a≠0
所以f′x=2ae2ax+b−1在R上单调递增，
所以当a<0时f′x<0，所以fx在x∈−1a,+∞上单调递减，
而eb−2a>−1a且f(eb−2a)=e2a(eb−2a)+b−eb−2a−1a所以a<0时不满足fx≥0恒成立．
当a>0时，若f′x=0得e2ax+b=12a，即x=−b+ln2a2a,
∴ x<−b+ln2a2a时，f′x<0，即fx单调递减，
当x>−b+ln2a2a时，f′x>0，即fx单调递增．
令ba=k即a=bk,
则：①当−1a≥−b+ln2a2a，即b+ln2a≥2时，fx在−1a,+∞上单调递增，
所以fx>f−1a=eb−2+1a−1a=eb−2>0恒成立，
所以b+ln2a≥2即a≥e2−b2时fx≥0在x∈−1a,+∞时恒成立，
那么ba最小时，直线a=bk与曲线gb=e2−b2相切，
设切点坐标为b0,a0，而g′b=−e2−b2,
∴ g′b0=1k时，−b0e2−b02=e2−b02，
有b0=−1,a0=e32，则b0a0=−2e3，
所以a≥e2−b2时，ba的最小值为−2e3．
②当−1a<−b+ln2a2a，即b+ln2a<2时，fx在(−1a,−b+ln(2a)2a)上单调递减，在（−b+ln(2a)2a．+∞）上单调递增，
所以fx在x=−b+ln2a2a时取到最小值，
若fx≥0在x∈−1a,+∞时恒成立，
则f(x)min=f(−b+ln2a2a）=1+b+ln2a2a−1a≥0，得b+ln2a≥1,
所以e1−b2≤a设切点坐标为b0,a0，而g′b=−e1−b2，
∴ g′b0=1k时，−b0e1−b02=e1−b02，有b0=−1,a0=e22，则b0a0=−2e2；
所以e1−b2≤a−2e2<−2e3，综上，ba的最小值为−2e2．
1. 设i是虚数单位，若复数z=a−52+i(a∈R)是纯虚数，则a的值为（ ）
A.2B.−1C.1D.−2
2. 已知集合A=x|−2
3. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线为l，若双曲线的右焦点F到l的距离是其右顶点A到l的距离的两倍，则该双曲线的离心率是（ ）
A.23B.10C.2D.233
4. 已知随机变量X，Y分别满足，X∼B8,p,Y∼Nμ,σ2，且期望EX=EY，又PY≥3=12，则p=（ ）
A.14B.13C.12D.38
5. 如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1各边中点得到一个新的△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC, △A1B1C1,△A2B2C2，…，这一系列所有三角形的面积和趋向于一个常数．已知A0,0,B5,0,C1,3，则这个常数是（ ）
A.15B.10C.5D.103
6. 如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1，以D为坐标原点，DA→,DC→，DD1→的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则DB1→=2,3,4，又E，F分别是棱AB，CC1的中点，那么三棱锥B1−A1EF的体积为（ ）
A.12B.8C.6D.4
7. 函数fx=sin2x+φ|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后关于直线x=π4对称，则函数fx在区间0,π2上的最小值为（ ）
A.−12B.−32C.32D.12
8. 若关于x的不等式aex+bx+c<0的解集为−1,1，则（ ）
A.b>0B.a+c>0C.a+b+c>0D.8a+2b+c>0
二、多选题
已知a→=1,2，b→=m,−1，则下列结论正确的是（ ）
A.若a→⊥b→，则m=2
B.若a→//b→，则m=12
C.若|a→|=|b→|，则m=2
D.若m=−3，则a→，b→的夹角为3π4
已知1+xn=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxnn∈N*，则下列结论正确的是（ ）
A.a0=an
B.当a3=10时，n=5
C.当n=4时，a12+a24+a38+a416=6516
D.若1+xnn∈N*的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于12或13
已知函数fx=x|x−a|，其中a为实数，则（ ）
A.函数fx有两个不同零点0和a
B.若对于任意两个不同的实数x1,x2都有fx2−fx1x2−x1>0，则a=0
C.若fx在0,1上单调递增，则a≤0或a≥2
D.若fx=1有三个不同的实数根，则a>2
如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且AE:EB=AH:HD=m,CF:FB=CG:GD=n，AC⊥BD,AC=4,BD=6.则下列结论正确的是（ ）
A.E，F，G，H一定共面
B.AC//平面EFGH
C.若直线EF与GH有交点，则交点一定在直线AC上
D.当m=n时，四边形EFGH的面积有最大值6
三、填空题
tan67.5∘×1−tan222.5∘=
一个盒子里装有除颜色外完全相同的6个小球，盒子中有编号分别为1、2、3、4的红球4个，编号分别为4、5的白球2个，从盒子中任取3个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）．则在取出的3个小球中，小球编号最大值为4的概率是________.
函数fx=ax+bxa>0,b>0,a≠1,b≠1是偶函数，则fa+b,fab与f2三者间的大小关系是________.
已知A、B分别是椭圆x22+y2=1的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，|PA|=λ|PB|且满足∠PBA=2∠PAB，则λ=________.
四、解答题
某大型商场为了了解客户对于在其商场销售的某品牌电视机的五种型号的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
满意率是指：某品牌电视机型号的回访客户中，满意人数与总人数的比值．
假设客户是否满意互相独立，且每种型号电视机客户对于此型号电视机满意的概率与表格中该电视机型号的满意率相等．
(1)从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；
(2)从65E3F型号、65E3G型号电视机的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X，求X的分布列和期望．
已知数列an的每一项都为正数，a1=3，它的前n项和为Sn，且an,2Sn,an+1n∈N*成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)求S2n并证明：1S2+1S4+1S6+⋯+1S2n
已知平面四边形ABCD，AB=3,BC=1,CD=2.
(1)若csB=−15,csD=35，求边AD的长；
(2)当∠BCD=120∘且AD⊥DC时，求sinA．
在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，O为AD的中点，DC//AB，DC⊥AD，PA=PD，PO=AB=2DC，BC=3CD.
(1)求证：平面PBC⊥平面POC；
(2)求平面PAB与平面PCB所成角的余弦值．
已知O为坐标原点，抛物线E:x2=2pyp>0，过点C0,2作直线l交抛物线E于点A、B（其中点A在第一象限），OA→⋅OB→=−4且AC→=λCB→λ>0.
(1)求抛物线E的方程；
(2)当λ=2时，过点A、B的圆与抛物线E在点A处有共同的切线，求该圆的方程．
已知函数fx=e2ax+b−x−1a，其中a，b是实数且a≠0.
(1)当a=12时，讨论函数fx在0,+∞上的极值情况；
(2)若函数fx≥0对一切x∈−1a,+∞恒成立，求ba的最小值．
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省郴州市某校高三（下）3月联考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的混合运算
虚数单位i及其性质
【解析】
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】
z=a−52+i=a−(2−i)=a−2+i是纯虚数，
则a−2＝0，所以a＝2，
故选A
2.
【答案】
C
【考点】
集合的包含关系判断及应用
集合关系中的参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵A=x|−2
∴ m≥0且−m≤−2,m≥1,解得:m≥2．
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解: Aa,0,Fc,0 ,l:bx−ay=0
所以cbb2+a2=2×abb2+a2，所以c=2a
所以双曲线的离心率e=c2=2．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：Y∼Nμ,σ2且PY≥3=12，知μ=3，所以EX=EY=3
又X∼B8,p,EX=8p，所以p=38．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
数列的应用
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题△ABC,△A1B1C1,△A1B2C2，…的面积依次构成一个无穷等比数列，
首项为△ABC的面积152，公比为14，
前n个三角形的面积和为 1521−14n1−14=101−14n，
当n趋向于无穷大时，前n个三角形的面积和趋向于常数10．故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
空间中的点的坐标
【解析】
此题暂无解析
【解答】
依题长方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长分别为DA=2,DC=3,DD1=4
三棱锥B1−A1EF的体积为VB1−A1EF=VF−B1A1E=13S△B1A1E×AD=13×12×3×4×2=4．
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
三角函数的最值
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
函数fx=sin2x+φ|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象表达式为y=sin2x+π3+φ，
该函数的图象关于直线x=π4对称，
所以2×π4+π3+φ=kπ+π2k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ=−π3
所以fx=sin2x−π3
当x∈0,π2时，2x−π3∈−π3,2π3，
所以fx的最小值为−32
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
显然a>0，不等式可化为ex<−bax−ca
在同一直角坐标系中作出函数y=ex,y=−bax−ca的图象，
依题两图象的交点横坐标为−1，1，
则−ba>0,−ca>1，所以b<0,−c>a，AB错；
当x=1时，ae+b+c=0，而a+b+c
故选D．
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
若a⊥_b，则m−2=0，得m=2,A正确；
若a//b，则1×−1−2m=0得m=−12，B错误；
若|a|=|b|，则m2+1=5，得m=2或m=−2，C错误；
若m=−3，则b=−3,−1，设a，b的夹角为θ,csθ=a⋅b|a||b|=−3+−25×10=−22
又θ∈0,π，所以θ=3π4，D正确．
【答案】
A,B,C
【考点】
二项式系数的性质
数列的求和
数学归纳法
数列的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
a0=an=1，A正确；
x3 的系数a3=Cn3，则Cn3=10，所以n=5，B正确；
当n=4时，1+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4
令x=12，则1+124=a0+a12+a24+a38+a416，又a0=1
所以a12+a24+a38+a416=6516，C正确．
若1+xnn∈N*的展开式中第7项的二项式系数最大，当n为偶数则n等于12，当n为奇数则n等于11或13, D错误.
【答案】
B,C,D
【考点】
函数的最值及其几何意义
由函数零点求参数取值范围问题
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
当a=0时，fx=x|x|只有一个零点，A错误；
若fx2−fx1x2−x1>0恒成立，则fx在定义域R上是单调递增函数，结合图象知a=0，B正确；
fx=x|x−a|=xx−a,x≥a,−xx−a,x
当a<0时，fx在−∞,a和a2,+∞上单调递增，在a,a2上单调递减，
所以x∈0,1时，fx=xx−a单调递增；
当a>0时，fx在−∞,a2和a,+∞上单调递增，在a2,a上单调递减，
若fx在x∈0,1上单调递增，则a2≥1，所以a≥2
综上若fx在0,1上单调递增，则实数α的取值范围是−∞,0∪2,+∞，C正确；
fx=1有三个不同的实数根，则由C讨论结合图象知a>0，且fa2>1，所以a>2，D正确．
【答案】
A,C,D
【考点】
直线与平面平行的判定
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为AE:EB=AH:HD，所以EH//BD
又CF:FB=CG:GD，所以FG//BD
所以EH//FG，所以E，F，G，H四点共面．A正确；
因为EHBD=AEAE+EB=mm+1，所以EH=mm+1BD，同理可得FG=nn+1BD
当m≠n时，EH≠FG，又EH//FG，所以四边形EFGH为梯形，
所以直线EF与GH有交点，知交点在平面ABC内，又在平面ADC内，
而平面ABC∩面ADC=AC，所以直线EF与GH的交点在直线AC上，B错误；C正确；
因为EH=mm+1BD FG=nn+1BD及m=n得EH=FG，四边形EFGH为平行四边形．
又AC⊥BD，所以EF⊥EH，所以平行四边形EFGH为矩形．
设EFAC=BEAB=x，因为EF//AC，所以EF=4x，
因为EH//BD，所以AEAB=EHBD=1−x，所以EH=61−x
所以矩形EFGH的面积y=24x1−x0
三、填空题
【答案】
2
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
tan67.5∘×1−tan222.5∘=sin67.5∘cs67.5∘×1−tan22.5∘=1−tan222.5∘tan22.5∘=2tan45∘=2
【答案】
920
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
基本事件总数为n=C63=20
若编号为4的球有且只有一个且为白球，有C32=3种取法；
若编号为4的球有且只有一个且为红球，有C32=3种取法；
若编号为4的球红球白球都取到，有C31=3种取法，
小球编号最大值为4的基本事件个数为9种，
所以，小球编号最大值为4的概率p=920
【答案】
fa+b>f2>fab
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
fa+b>f2>fab
【答案】
303
【考点】
椭圆的定义和性质
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知A−2,0,B2,0，
设Px0,y0，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2，
则 k1k2=y0x0+2⋅y0x0−2=y02x02−2=1−x022x02−2=−12，
由正弦定理得λ=|PA||PB|=sin∠PBAsin∠PAB=2cs∠PAB，
由∠PBA=2∠PAB得tan∠PBA=tan2∠PAB=2tan∠PAB1−tan2∠PAB，
所以−k2=2k11−k12，又k1k2=−12，从而k12=15，即tan2∠PAB=15,
因此cs∠PAB=306，所以λ=303.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意知，样本中的回访客户的总数是700+150+200+600+350=2000，
满意的客户人数700×0.5+150×0.3+200×0.6+600×0.3+350×0.2=765，
故所求概率为7652000=153400.
（2）X=0,1,2.
设事件A为“从65E3F型号电视机的所有客户中随机抽取的人满意”，
事件B为“从65E3G型号电视机的所有客户中随机抽取的人满意”，
且A、B为独立事件．
根据题意，PA估计为0.5，PB估计为0.3，
则P(X=0)=P(AB)=(1−P(A))(1−P(B))=0.5×0.7=0.35；
PX=1=PAB+AB=PAB+PAB=0.5×0.7+0.5×0.3=0.5，PX=2=PAB=PAPB=0.5×0.3=0.15，
X的分布列为
X的期望EX=0×0.35+1×0.5+2×0.15=0.8 ．
【考点】
离散型随机变量及其分布列
概率的应用
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意知，样本中的回访客户的总数是700+150+200+600+350=2000，
满意的客户人数700×0.5+150×0.3+200×0.6+600×0.3+350×0.2=765，
故所求概率为7652000=153400.
（2）X=0,1,2.
设事件A为“从65E3F型号电视机的所有客户中随机抽取的人满意”，
事件B为“从65E3G型号电视机的所有客户中随机抽取的人满意”，
且A、B为独立事件．
根据题意，PA估计为0.5，PB估计为0.3，
则P(X=0)=P(AB)=(1−P(A))(1−P(B))=0.5×0.7=0.35；
PX=1=PAB+AB=PAB+PAB=0.5×0.7+0.5×0.3=0.5，PX=2=PAB=PAPB=0.5×0.3=0.15，
X的分布列为
X的期望EX=0×0.35+1×0.5+2×0.15=0.8 ．
【答案】
证明：（1）由an,2Sn,an+1n∈N*成等比数列得anan+1=2Sn ①，
所以an+1an+2=2Sn+1 ②，
由②减去①得an+1an+2−an=2an+1,
又an+1不为零，所以an+2−an=2．
所以数列a1,a3,a5，…，a2n−1成等差数列，首项为a1=3，公差为2，
所以a2n−1=3+2n−1=2n+1，
又a1a2=2S1,a1=3得a2=2,
数列a2,a4,a6，…，a2n成等差数列，首项为a2=2，公差为2，所以a2n=2n，
故数列an的通项公式为an=n+2,n为奇数，n,n为偶数．
（2）S2n=a1+a2+a3+a4+ ⋯+a2n−1+a2n
=(a1+a3+⋯+a2n−1)+(a2+a4+⋯+a2n)
=n23+2n+1+n22+2n
=n2n+3．
1S2n=1n2n+3<1n2n+2=121n−1n+1 ，
所以1S2+1S4+1S6+⋯+1S2n
<1211−12+1212−13+1213−14+⋯+121n−1n+1=n2(1+n)，
即1S2+1S1+1S6+⋯+1S2n
数列递推式
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：（1）由an,2Sn,an+1n∈N*成等比数列得anan+1=2Sn ①，
所以an+1an+2=2Sn+1 ②，
由②减去①得an+1an+2−an=2an+1,
又an+1不为零，所以an+2−an=2．
所以数列a1,a3,a5，…，a2n−1成等差数列，首项为a1=3，公差为2，
所以a2n−1=3+2n−1=2n+1，
又a1a2=2S1,a1=3得a2=2,
数列a2,a4,a6，…，a2n成等差数列，首项为a2=2，公差为2，所以a2n=2n，
故数列an的通项公式为an=n+2,n为奇数，n,n为偶数．
（2）S2n=a1+a2+a3+a4+ ⋯+a2n−1+a2n
=(a1+a3+⋯+a2n−1)+(a2+a4+⋯+a2n)
=n23+2n+1+n22+2n
=n2n+3．
1S2n=1n2n+3<1n2n+2=121n−1n+1 ，
所以1S2+1S4+1S6+⋯+1S2n
<1211−12+1212−13+1213−14+⋯+121n−1n+1=n2(1+n)，
即1S2+1S1+1S6+⋯+1S2n
解：（1）连AC，
在△ABC中，由余弦定理有AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB
又AB=3,BC=1,csB=−15，所以AC2=9+1−2×3×1×−15=565，
在△ACD中，由余弦定理有AC2=DC2+AD2−2DC⋅AD⋅csD，
又CD=2,csD=35，所以4+AD2−2×2AD×35=565，
得AD=23或AD=−635（舍去），
所以边AD的长为23.
（2）连BD，在△BCD中，由余弦定理有BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cs∠BCD，又BC=1，CD=2,∠BCD=120∘
所以BD=7，
所以cs∠BDC=BD2+CD2−BC22BD⋅CD=527，
因为AD⊥DC，
所以sin∠ADB=cs∠CDB=527，
在△ABD中，
由正弦定理有ABsin∠ADB=DBsin∠BAD，
所以sin∠BAD=DBsin∠ADBAB=56，故sinA=56.
【考点】
余弦定理
解三角形
【解析】
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【解答】
解：（1）连AC，
在△ABC中，由余弦定理有AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB
又AB=3,BC=1,csB=−15，所以AC2=9+1−2×3×1×−15=565，
在△ACD中，由余弦定理有AC2=DC2+AD2−2DC⋅AD⋅csD，
又CD=2,csD=35，所以4+AD2−2×2AD×35=565，
得AD=23或AD=−635（舍去），
所以边AD的长为23.
（2）连BD，在△BCD中，由余弦定理有BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cs∠BCD，又BC=1，CD=2,∠BCD=120∘
所以BD=7，
所以cs∠BDC=BD2+CD2−BC22BD⋅CD=527，
因为AD⊥DC，
所以sin∠ADB=cs∠CDB=527，
在△ABD中，
由正弦定理有ABsin∠ADB=DBsin∠BAD，
所以sin∠BAD=DBsin∠ADBAB=56，故sinA=56.
【答案】
证明：（1）连OB，
在三角形PAD中，PA=PD且O为AD的中点，
所以PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
又BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC ，
DC//AB,DC⊥AD，所以AB⊥AD，
在Rt△OAB中，OB2=OA2+AB2=OA2+4DC2，
在Rt△ODC中，OC2=OD2+DC2=OA2+DC2，
又BC=3CD，
所以OB2=OC2+BC2，
所以BC⊥OC，
又PO∩OC=O，所以BC⊥平面POC，
BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面POC.
(2)如图，以O为原点，OA、OP所在直线分别为x轴、z轴，过O且垂直于AD的直线为y轴建立空间直角坐标系．
设DC=2，则PO=AB=4,BC=23，
易求AD=22，
则A(2,0,0),B(2,4,0),C(−2,2,0),P(0,0,4）.
所以AB→=0,4,0,CB→=22,2,0,PB→=2,4,−4．
设平面PAB的一个法向量为n→=x1,y1,z1，
则n→⋅AB→=0,n→⋅PB→=0所以4y1=0,2x1+4y1−4z1=0
取x1=4，则y1=0,z1=2，所以n→=4,0,2．
设平面PCB的一个法向量为m→=x2,y2,z2，
则m→⋅CB→=0m→⋅PB→=0所以22x2+2y2=0,2x2+4y2−4z2=0
取x2=22，则y2=−4,z2=−3，所以m→=22,−4,−3．
所以cs⟨n→,m→⟩=n→⋅m→|n→||m→|=82+0−3218×33=53399，
即平面PAB与平面PCB所成角的余弦值为53399．
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
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【解答】
证明：（1）连OB，
在三角形PAD中，PA=PD且O为AD的中点，
所以PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
又BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC ，
DC//AB,DC⊥AD，所以AB⊥AD，
在Rt△OAB中，OB2=OA2+AB2=OA2+4DC2，
在Rt△ODC中，OC2=OD2+DC2=OA2+DC2，
又BC=3CD，
所以OB2=OC2+BC2，
所以BC⊥OC，
又PO∩OC=O，所以BC⊥平面POC，
BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面POC.
(2)如图，以O为原点，OA、OP所在直线分别为x轴、
z轴，过O且垂直于AD的直线为y轴建立空间直角坐标系．
设DC=2，则PO=AB=4,BC=23，
易求AD=22，
则A(2,0,0),B(2,4,0),C(−2,2,0),P(0,0,4）.
所以AB→=0,4,0,CB→=22,2,0,PB→=2,4,−4．
设平面PAB的一个法向量为n→=x1,y1,z1，
则n→⋅AB→=0,n→⋅PB→=0所以4y1=0,2x1+4y1−4z1=0
取x1=4，则y1=0,z1=2，所以n→=4,0,2．
设平面PCB的一个法向量为m→=x2,y2,z2，
则m→⋅CB→=0m→⋅PB→=0所以22x2+2y2=0,2x2+4y2−4z2=0
取x2=22，则y2=−4,z2=−3，所以m→=22,−4,−3．
所以cs⟨n→,m→⟩=n→⋅m→|n→||m→|=82+0−3218×33=53399，
即平面PAB与平面PCB所成角的余弦值为53399．
【答案】
解：（1）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+2，
设直线l与抛物线的交点坐标为Ax1,y1,Bx2,y2x1>0，
A、B在抛物线上，则y1=x122p,y2=x222p，
由y=kx+2x2=2py
消y并整理成x2−2pkx−4p=0，
所以x1+x2=2pkx1x2=−4p,
又OA→⋅OB→=−4，则x1x2+y1y2=−4，
所以x1x2+x122p⋅x222p=−4，
所以−4p+4=−4,p=2，
所以抛物线E的方程为x2=4y．
（2）由y=kx+2x2=4y'消y并整理成x2−4kx−8=0，
所以x1+x2=4k,x1x2=−8,
当λ=2时，AC→=2CB→知x1=−2x2，
又x1>0，所以x1=4,x2=−2,k=12，
所以线段AB的中点坐标为1,52，A的坐标为4,4，
线段AB的垂直平分线方程为y−52=−2x−1即y=−2x+92．
y=14x2求导得y′=12x，
抛物线E在点A处的切线斜率为2，
过点A且与切线垂直的直线方程为y−4=−12x−4即y=−12x+6，
由y=−2x+92及y=−12x+6得圆心坐标为−1,132，
圆的半径为−1−42+132−42=1254，
所以所求的圆方程为x+12+y−1322=1254．
【考点】
抛物线的标准方程
圆锥曲线的综合问题
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+2，
设直线l与抛物线的交点坐标为Ax1,y1,Bx2,y2x1>0，
A、B在抛物线上，则y1=x122p,y2=x222p，
由y=kx+2x2=2py
消y并整理成x2−2pkx−4p=0，
所以x1+x2=2pkx1x2=−4p,
又OA→⋅OB→=−4，则x1x2+y1y2=−4，
所以x1x2+x122p⋅x222p=−4，
所以−4p+4=−4,p=2，
所以抛物线E的方程为x2=4y．
（2）由y=kx+2x2=4y'消y并整理成x2−4kx−8=0，
所以x1+x2=4k,x1x2=−8,
当λ=2时，AC→=2CB→知x1=−2x2，
又x1>0，所以x1=4,x2=−2,k=12，
所以线段AB的中点坐标为1,52，A的坐标为4,4，
线段AB的垂直平分线方程为y−52=−2x−1即y=−2x+92．
y=14x2求导得y′=12x，
抛物线E在点A处的切线斜率为2，
过点A且与切线垂直的直线方程为y−4=−12x−4即y=−12x+6，
由y=−2x+92及y=−12x+6得圆心坐标为−1,132，
圆的半径为−1−42+132−42=1254，
所以所求的圆方程为x+12+y−1322=1254．
【答案】
解：（1）当a=12时，fx=ex+b−x−2,f′x=ex+b−1，
易知f′x=ex+b−1在R上单调递增，
令f′x=0，则x=−b，
当b≥0时−b≤0,f′x>0对x∈0,+∞恒成立，所以函数fx在0,+∞上单调递增，所以fx没有极值．
当b<0时，−b>0，知0
综上，当b≥0时函数fx在0,+∞没有极值，
当b<0时函数fx在0,+∞上有极小值无极大值．
（2）fx=e2ax+b−x−1a求导得f′x=2ae2ax+b−1，
所以f′′x=4a2e2ax+b>0a≠0
所以f′x=2ae2ax+b−1在R上单调递增，
所以当a<0时f′x<0，所以fx在x∈−1a,+∞上单调递减，
而eb−2a>−1a且f(eb−2a)=e2a(eb−2a)+b−eb−2a−1a
当a>0时，若f′x=0得e2ax+b=12a，即x=−b+ln2a2a,
∴ x<−b+ln2a2a时，f′x<0，即fx单调递减，
当x>−b+ln2a2a时，f′x>0，即fx单调递增．
令ba=k即a=bk,
则：①当−1a≥−b+ln2a2a，即b+ln2a≥2时，fx在−1a,+∞上单调递增，
所以fx>f−1a=eb−2+1a−1a=eb−2>0恒成立，
所以b+ln2a≥2即a≥e2−b2时fx≥0在x∈−1a,+∞时恒成立，
那么ba最小时，直线a=bk与曲线gb=e2−b2相切，
设切点坐标为b0,a0，而g′b=−e2−b2,
∴ g′b0=1k时，−b0e2−b02=e2−b02，
有b0=−1,a0=e32，则b0a0=−2e3，
所以a≥e2−b2时，ba的最小值为−2e3．
②当−1a<−b+ln2a2a，即b+ln2a<2时，fx在(−1a,−b+ln(2a)2a)上单调递减，在（−b+ln(2a)2a．+∞）上单调递增，
所以fx在x=−b+ln2a2a时取到最小值，
若fx≥0在x∈−1a,+∞时恒成立，
则f(x)min=f(−b+ln2a2a）=1+b+ln2a2a−1a≥0，得b+ln2a≥1,
所以e1−b2≤a
∴ g′b0=1k时，−b0e1−b02=e1−b02，有b0=−1,a0=e22，则b0a0=−2e2；
所以e1−b2≤a
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）当a=12时，fx=ex+b−x−2,f′x=ex+b−1，
易知f′x=ex+b−1在R上单调递增，
令f′x=0，则x=−b，
当b≥0时−b≤0,f′x>0对x∈0,+∞恒成立，所以函数fx在0,+∞上单调递增，所以fx没有极值．
当b<0时，−b>0，知0
综上，当b≥0时函数fx在0,+∞没有极值，
当b<0时函数fx在0,+∞上有极小值无极大值．
（2）fx=e2ax+b−x−1a求导得f′x=2ae2ax+b−1，
所以f′′x=4a2e2ax+b>0a≠0
所以f′x=2ae2ax+b−1在R上单调递增，
所以当a<0时f′x<0，所以fx在x∈−1a,+∞上单调递减，
而eb−2a>−1a且f(eb−2a)=e2a(eb−2a)+b−eb−2a−1a
当a>0时，若f′x=0得e2ax+b=12a，即x=−b+ln2a2a,
∴ x<−b+ln2a2a时，f′x<0，即fx单调递减，
当x>−b+ln2a2a时，f′x>0，即fx单调递增．
令ba=k即a=bk,
则：①当−1a≥−b+ln2a2a，即b+ln2a≥2时，fx在−1a,+∞上单调递增，
所以fx>f−1a=eb−2+1a−1a=eb−2>0恒成立，
所以b+ln2a≥2即a≥e2−b2时fx≥0在x∈−1a,+∞时恒成立，
那么ba最小时，直线a=bk与曲线gb=e2−b2相切，
设切点坐标为b0,a0，而g′b=−e2−b2,
∴ g′b0=1k时，−b0e2−b02=e2−b02，
有b0=−1,a0=e32，则b0a0=−2e3，
所以a≥e2−b2时，ba的最小值为−2e3．
②当−1a<−b+ln2a2a，即b+ln2a<2时，fx在(−1a,−b+ln(2a)2a)上单调递减，在（−b+ln(2a)2a．+∞）上单调递增，
所以fx在x=−b+ln2a2a时取到最小值，
若fx≥0在x∈−1a,+∞时恒成立，
则f(x)min=f(−b+ln2a2a）=1+b+ln2a2a−1a≥0，得b+ln2a≥1,
所以e1−b2≤a
∴ g′b0=1k时，−b0e1−b02=e1−b02，有b0=−1,a0=e22，则b0a0=−2e2；
所以e1−b2≤a
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