2022年陕西省西安市周至县高考数学三模试卷（理科）（含答案解析）

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2022年陕西省西安市周至县高考数学三模试卷（理科） 设集合，，则A.  B.  C.  D. 已知复数z满足，则A.  B.  C.  D. 已知向量，，，若A，C，D三点共线，则A. 2 B.  C.  D. 函数的图象大致是A.  B.
C.  D. 从一批零件中抽取80个，测量其直径单位：，将所得数据分为9组：…，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为
 
A. 10 B. 18 C. 20 D. 36一个直角三角形的两条直角边长分别为2和，将该三角形绕其斜边旋转一周得到的几何体的表面积为A.  B.  C.  D. 设函数为常数，则“”是“为偶函数”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件在展开式中，下列说法错误的是A. 常数项为 B. 第5项的系数最大
C. 第4项的二项式系数最大 D. 所有项的系数和为12022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式，其中为火箭的速度增量，为喷流相对于火箭的速度，和分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭达到5公里/秒从100提高到600，则速度增量增加的百分比约为
参考数据：，，A.  B.  C.  D. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为A. 132 B. 133 C. 134 D. 135若对任意的，，且，都有成立，则实数m的最小值是A. 1 B. e C.  D. 在等差数列中，，设数列的前n项和为，则______.双曲线渐近线的斜率为k，且，则m的取值范围是______.若函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的一个可能的值为______；如图，在正方体中，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，则下列正确说法的序号是______.
①存在点F使得平面；
②存在点F使得平面；
③对于任意的点F，都有；
④对于任意的点F三棱锥的体积均不变．在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投第一次，若一方命中且另一方未命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局，已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响．
求1局投篮比赛，甲、乙平局的概率；
求1局投篮比赛，甲获胜的概率；
设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X，求X的数学期望






 如图①，在梯形ABCD中，四边形ABCE是边长为2的正方形，O是AC与BE的交点将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图②．
求证：平面PBE；
求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．







 已知椭圆的离心率为，且短轴长等于双曲线：的实轴长．
求椭圆C的标准方程；
若A、B为椭圆C上关于原点O对称的两点，在圆D：上存在点P，使得为等边三角形，求直线AB的方程．






 已知函数，
求函数的单调区间和最值；
求证：当时；当时，；
若存在，使得，证明






 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：为参数，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为：
求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
若直线l与曲线C交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．






 已知函数
求不等式的解集；
若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围．







答案和解析 1.【答案】A
 【解析】解：集合，，

故选：
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】B
 【解析】解：，
，

故选：
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 3.【答案】A
 【解析】解：，，
，
若A，C，D三点共线，
则，又，
，解得，
故选：
根据向量的坐标运算求出，根据，得到关于m的方程，解出即可．
本题考查了向量的坐标运算，考查转化思想，是基础题．
 4.【答案】C
 【解析】解：因为，
所以定义域为，
，
所以为奇函数，排除B；
令，得或，即只有2个零点，排除A；
当时，，所以，排除
故选：
选求出定义域，再判断奇偶性和零点个数，最后判断函数在上的正负即可．
本题考查了函数的奇偶性、零点个数，属于基础题．
 5.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．
根据频率分布直方图求出直径落在区间的频率，再乘以样本的个数即可．【解答】解：直径落在区间的频率为，
则被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为个，
故选：  6.【答案】A
 【解析】解：如图所示，

在直角中，，
可得，可得，
即旋转体的底面圆的半径为，
所以该旋转体的表面积为：
，
故选：
根据题意，结合圆锥的侧面积公式，准确运算，即可求解．
本题考查了几何体的表面积的计算，属于基础题．
 7.【答案】B
 【解析】解：当，时，，为奇函数，即充分性不成立；
当为偶函数时，对任意的x恒成立，
所以，即，
得对任意的x恒成立，
从而，即，即必要性成立；
从而“”是“为偶函数“的必要不充分条件．
故选：
根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断．
本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
 8.【答案】B
 【解析】解：选项A：展开式的常数项为，故A正确，
选项B：展开式的通项公式为，
则，，
因为，所以第5项系数最大错误，故B错误，
选项C：因为，则展开式的第4项的二项式系数最大，故C正确，
选项D：令，则展开式的各项系数和为，故D正确，
故选：
选项A：根据二项式定理求出展开式的常数项，由此即可判断；选项B：求出展开式的第5项与第3项，比较即可判断；选项C：根据n的值以及二项式系数的性质即可判断；选项D：令，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 9.【答案】D
 【解析】解：速度增量增加的百分比，
故选：
根据题中的条件，列出关系式，即可解出．
本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
 10.【答案】C
 【解析】解：被3除余2且被5除余4的数构成首项为14，公差为15的等差数列，记为，
则，
令，解得
到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为
故选：
根据“被3除余2且被5除余4的数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n项和公式，可得结果．
本题考查数列的项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 11.【答案】D
 【解析】解：由，，且，可得，
则等价于，
即，所以，
故，
令，则，
因为，所以在上为单调递减函数，
又由，解得，所以，
所以实数m的最小值为
故选：
根据题意转化为，令，得出在上为单调递减函数，结合，求得，即可求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想，属中档题．
 12.【答案】143
 【解析】解：因为等差数列中，，
所以，
则
故答案为：
由已知结合等差数列的性质可求，然后结合求和公式可求．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
 13.【答案】
 【解析】解：双曲线渐近线的斜率为k，且，
可得，可得
故答案为：
利用双曲线的渐近线的斜率为k，且，列出不等式求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
 14.【答案】答案不唯一
 【解析】解：函数的图象向右平移个单位后，可得函数的图象，
再根据所得函数的图象与函数的图象重合，
，，
当时，
故答案为：答案不唯一
先根据图象变换得到平移后的函数，利用函数的图象与的图象重合，进而可确定答案．
本题主要考查了函数的图象变换和诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 15.【答案】①③④
 【解析】解：对于①，当F为的中点时，则E也为的中点，
，平面，
平面，平面，故①为真命题；
对于②，因为平面，由正方体性质知与相交于一点，
所以平面不可能，故②为假命题；
对于③，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，平面，
又因为平面ABCD，平面ABCD，，又四边形ABCD为正方形，，
又，平面，，故③是真命题；
对于④，平面，所以点F到平面的距离为定值，
三棱锥的体积为定值，故④是真命题．
故答案为：①③④．
对于①，根据线面平行的判定判断即可；对于②，可知与平面一定相交，从而可知不正确；对于③，由线面垂直的性质可判断；对于④，由体积公式可判断．
本题主要考查线面平行的判定，锥体体积的计算等知识，属于中档题．
 16.【答案】解：设事件A表示“甲命中”，事件B表示乙命中．
则，，
局投篮比赛，甲、乙平局的概率为：
局投篮比赛，甲获胜的概率为：
③易知随机变量，1，2，…10，
由的结果，易得
随机变量X服从二项分布，田

 【解析】设事件A表示“甲命中”，事件B表示乙命中．计算概率即可．
甲获胜的概率为即为甲赢乙输，计算即可．
本题主要考查随机变量及分布列，属于基础题．
 17.【答案】解：证明：在图①中四边形ABCE为正方形，
由折叠的特性知，在图②中，，
又平面平面BCDE，平面平面，
又平面BCDE，平面
由易知，OB，OC，OP两两垂直．
如图，以O为原点，以OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴、建立空间直角坐标系，

则，，，
，，
设平直PCD的法向量为，
则，
令，则，
平面PCD的一个法向量为

设直线PB与平面PCD所成角为，

故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为
 【解析】利用线面垂直的判定定理证明即可；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值．
本题主要考查线面垂直的证明，线面角的计算，空间向量及其应用，属于中等题．
 18.【答案】解：依题意有，解得，
椭圆C的标准方程为
点P在圆D：上，
，
又为等边三角形，且O为线段AB的中点，
，，
①当直线AB的斜率不存在时，A，B为椭圆C的上下顶点，
，不符合题意；
②当直线AB的斜率存在时，设，直线AB的方程为，
联立
解得，，
，解得，
直线AB的方程为：
 【解析】根据题意直接列方程组求解即可；
根据题意可得，设直线AB的方程代入求解，注意讨论斜率是否存在．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 19.【答案】解：，
当时，，函数的单调递增区间为；
当时，，函数的单调递减区间为
函数的最大值为，无最小值．
证明：设，
则
，当且仅当时等号成立．
函数单调递增，又，
当时，，即；
当时，，即
证明：当时，；当时，，
令，则
又二次函数的图像开口向下，最大值为，
存在，使得
结合的结论易知
函数的图像关于直线对称，


 【解析】求出导函数，判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．
化简函数的解析式，构造函数，利用函数的单调性，转化求解即可．
说明当时，；当时，，令，求出m的范围，结合二次函数的性质以及第二问的结果，推出结果即可．
本题考查函数导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．
 20.【答案】解：直线l的参数方程为：为参数，
直线l的普通方程为
曲线C的极坐标方程为，
根据，可得曲线C的直角坐标方程为
联立，解得或
，
AB的中点坐标为
以AB为直径的圆的直角坐标方程为，
即
根据，
可得以AB为直径的圆的极坐标方程为
 【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用方程组的解法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 21.【答案】解：，
不等式等价于，
或，
不等式的解集为
由易知，
关于x的不等式的解集为R等价于，
，解得，
实数a的取值范围为
 【解析】通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
根据的最小值，得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数最值以及转化思想，是中档题．