2022年中考数学复习训练题（含解析）----图形的旋转

这是一份2022年中考数学复习训练题（含解析）----图形的旋转，共65页。
2022年中考数学复习新题速递之图形的旋转（2022年5月）
一．选择题（共10小题）
1．（2022•徐州一模）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（3，5），则点B与点C的坐标分别为（　　）
A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5） B．（﹣5，3），（5，﹣3）
C．（﹣5，3），（3，﹣5） D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）
2．（2022•青龙县一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长可能是（　　）

A．3 B．4 C．7 D．11
3．（2022春•南京期中）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022•河北区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，若AF＝AD，则旋转角α的度数为（　　）

A．50° B．40° C．30° D．25°
5．（2022•乌海一模）如图，在△ABC中，∠CAB＝64°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠CAB'的度数为（　　）

A．10° B．12° C．14° D．52°
6．（2022•市南区一模）如图，以某网格线所在直线建立平面直角坐标系，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，已知点A（2，﹣1），点P的坐标为（　　）

A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）
7．（2022•乳山市一模）把一副三角板如图甲放置，其中∠A＝45°，∠D＝30°，∠ACB＝∠DEC＝90°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D′CE′（如图乙），此时AB与CD′交于点O，则线段AD′＝（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2022•石家庄一模）如图，将线段AB绕点A旋转，下列各点能够落到线段AB上的是（　　）

A．点C B．点D C．点E D．点F
9．（2022春•镇江月考）如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2022的坐标为（　　）
A．（4043，﹣1） B．（4043，1） C．（2022，﹣1） D．（2022，1）
10．（2022•遵义模拟）如图，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为（3，5），点C是⊙D上的任意一点，CA⊥CB，且CA、CB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（　　）

A．14 B．2﹣4 C．2+2 D．2+4
二．填空题（共10小题）
11．（2022春•汉寿县期中）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB＝3，AE＝5，∠D＝90°，则AC＝　 　．

12．（2022春•淮阴区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，以点C为旋转中心将△ABC顺时针旋转到△DEC，使点D恰好落在边AB上，则△ABC绕点C顺时针旋转的度数为 　 　．

13．（2022春•蜀山区校级期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，且CP＝1，BP＝，AP＝2，以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰Rt△DCP．
（1）线段AB的长度为 　 　；
（2）△APB的面积为 　 　．

14．（2022春•姜堰区期中）如图，铅笔放置在△ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向，把铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数后，笔尖方向变为点B到点A的方向，这种变化说明 　 　．

15．（2022春•武昌区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4，则BC的长度为 　 　．

16．（2022春•思明区校级月考）如图，小明准备用旋转知识设计一个风车，已知点A的坐标是（﹣3，2），为了补全风车，他需要找到A点关于原点O的对称点A′，则点A′的坐标是 　 　．

17．（2022•黄岛区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第三象限，点C的坐标是（﹣4，﹣3），先把△ABC向上平移四个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△A2B2C2，则点C2的坐标是 　 　．

18．（2022•沈河区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝AC，BE平分∠ABC．将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°），得到△AE'F′，连接CE'，BF'，当CE'∥AB时，α＝　 　．

19．（2022春•南岸区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到线段AD，连接BD，则线段BD的长为 　 　．

20．（2022•镇海区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，将边CD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE，连接CE，过点A作AF⊥CE交线段CE的延长线于点F，连接BF，若点M为线段BF中点，则点M与点C距离的最大值为 　 　．

三．解答题（共10小题）
21．（2022春•河源期中）如图1，已知Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝2，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），点C在DE上，点B在DF上．
（1）如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30°，DE交BC于点M，DF交AB于点N．求证：DM＝DN；
（2）如图3，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度（0＜α＜90），DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM＝DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论，不需要说明理由）


22．（2022•东莞市一模）如图1，正方形ADEF中，∠DAF＝90°，点B、C分别在边AD、AF上，且AB＝AC．
（1）如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，请判断线段BD与线段CF的位置、数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，当AB＝2，时，求∠CFA的正弦值．


23．（2022•高新区模拟）在△ABC中，AC＝BC＝5，tanA＝，点D，E分别是AB，AC边上的动点，连接DE，作△ADE关于DE对称的图形△A′DE．
（1）如图1，当点A′恰好与点C重合，求DE的长；
（2）如图2，当点A′落在BC的延长线上，且A′E⊥AB，求AD的长；
（3）如图3，若AE＝CE，连接A′B，F是A′B的中点，连接CF，在D点的运动过程中，求线段CF长度的最大值．

24．（2022•浑南区一模）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，AB＝5，BC＝6，在△ABC的外部以AB为边作等边△ABD，点E是线段AO所在直线上一动点（点E不与点A重合），将线段BE绕点B顺时针方向旋转60°得到线段BF，连接EF．
（1）求AO的长；
（2）如图2，当点E在线段AO上，且点F，E，C三点在同一条直线上时，求BF的长；
（3）连接DF，若△BDF的面积为3，请直接写出BF的长．

25．（2022春•云梦县期中）如图，在平面直角坐标系中，已知4（a，0），B（b，0），C（c，4），a，b满足（a+2）+＝0．平移线段AB得到线段CD，使点A与点C对应，点B与点D对应，连接AC，BD．
（1）求a，b的值，并直接写出点D的坐标；
（2）已知点P是射线AB（不与点A，B重合）上的点，连接PC，PD．
①是否存在点P，使三角形PCD的面积是三角形PBD的面积的2倍，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②设∠PCA＝α，∠PDB＝β，∠DPC＝θ．求α，β，θ满足的关系式．

26．（2022春•雁塔区校级期中）已知，∠MON＝90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB，连接OB，BP．
（1）如图1，当∠OAP＝45°时，试判断OB与AP的位置关系：　 　；
（2）如图2，当∠OAP＝60°时，OA＝2时，求线段OB的长度；
（3）如图3，当∠OAP＝α时，将线段OB绕点O顺时针旋转60°，得到线段OC，作CH⊥ON于点H．当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．


27．（2022春•铁岭期中）如图，∠AOB＝120°，OC是∠AOB的平分线，点E，M分别在射线OA，OC上，作射线ME，以M为中心，将射线ME逆时针旋转60°，交OB所在直线于点F．
（1）按要求画图，并完成证明．
过点M作MH∥OA，交射线OB于点H，求证：△OMH是等边三角形．
（2）当点F落在射线OB上，请猜想线段OE，OF，OM三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）当点F落在射线OB的反向延长线上，请直接写出线段OE，OF，OM三者之间的数量关系．


28．（2022•信阳一模）提出问题：在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．
如图1，三角板ABC和三角板DEF都是等腰直角三角形，∠C＝∠F，点M，N分别为DE，AB的中点．
如图2，将点F、点C重叠合并在一起，记作点C，点D，E分别落在边BC，AC上，连接AD，记AD的中点为点P，试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系．

探究交流：感恩小组发现，PM＝PN，PM⊥PN，并展示了如下的证明方法：
∵点P，N分别是AD，AB的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD
∵点P，M分别是AD，DE的中点，
∴PM∥AE，PM＝AE． （依据1）
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴BD＝AE，
∴PM＝PN．
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC．
∵PM∥AE，
∴∠DPM＝∠DAC．
∵∠BCA＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，（依据2）
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠CAD+∠ADC＝90°
∴PM⊥PN．
反思拓展：
（1）①上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是指什么？
②试判断图2中，MN与AB的位置关系，请直接回答，不必证明；
（2）“责任”小组在探究时，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图3的位置，发现△MPN是等腰直角三角形，请你给出证明；
（3）“坚持”小组的同学进行“固定变量”探究，令AC＝10，CD＝3时，把△CDE绕点C在平面内自由旋转，△MPN的面积是否发生变化，若不变，请直接写出△MPN的面积；若变化，△MPN的面积是否存在最大与最小？若存在，请直接写出△MPN面积的最大值与最小值．
29．（2022•沙坪坝区校级一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，连接AD，AD＝DC，点E为AC中点，连接BE交AD于点N，BN＝NE．
（1）如图1，若∠ANE＝90°，AE＝4，求DC的长；
（2）如图2，延长BA至点M，连接ME，AN＝ME，若∠ABC＝45°，求证：AM+NE＝AN；
（3）如图3，延长BA至点M，连接ME，ME＝3，∠ADC＝∠MEB＝90°，点N为AB中点，连接NE，将△BNE沿NE翻折得到△B′NE，点F，G分别为NE，EB′上的动点（不与端点重合），连接AF，FG，连接MG交直线AE于点H，当AF+FG取得最小值时，直接写出的值．


30．（2022春•香洲区校级期中）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且AD＝BD，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．
（1）若∠A＝30°，则∠ECO＝　 　度．
（2）如图a，连接OC请写出∠ECO和∠OAC的数量关系，并说明理由；
（3）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系？



2022年中考数学复习新题速递之图形的旋转（2022年5月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022•徐州一模）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（3，5），则点B与点C的坐标分别为（　　）
A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5） B．（﹣5，3），（5，﹣3）
C．（﹣5，3），（3，﹣5） D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）
【考点】中心对称；坐标与图形性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】根据中心对称的性质及点的位置判断各点坐标即可．
【解答】解：∵正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，且A点的坐标为（3，5），

∴C点的坐标为（﹣3，﹣5），B点的坐标为（﹣5，3），
故选：D．
【点评】本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称图形坐标点的特点是解题的关键．
2．（2022•青龙县一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长可能是（　　）

A．3 B．4 C．7 D．11
【考点】中心对称；两点间的距离．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据对称求出OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，再根据三角形的三边关系得出AB的取值范围即可．
【解答】C解析：∵点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，
∴OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，
∵BD﹣AD＜AB＜BD+AD，
∴5＜AB＜11，
故选：C．
【点评】本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的性质及三角形的三边关系是解题的关键．
3．（2022春•南京期中）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．（2022•河北区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，若AF＝AD，则旋转角α的度数为（　　）

A．50° B．40° C．30° D．25°
【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据旋转的性质得∠DCA＝α，CD＝CA，则∠CDA＝∠CAD＝（180°﹣α）＝90°﹣α，利用三角形外角的性质得∠DFA＝45°+α，AF＝AD，利用等腰三角形的性质得45°+α＝90°﹣α，即可得到α的值．
【解答】解：∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，
∴∠DCA＝α，CD＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠DFA＝45°+α，
∴90°﹣α＝45°+α，
解得α＝30°；
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质．
5．（2022•乌海一模）如图，在△ABC中，∠CAB＝64°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠CAB'的度数为（　　）

A．10° B．12° C．14° D．52°
【考点】旋转的性质；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】先根据平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB＝64°，再根据旋转的性质得AC＝AC′，∠C′AB′＝∠CAB＝64°，接着根据等腰三角形的性质有∠CC′A＝∠C′CA＝64°，于是根据三角形内角和可计算出∠CAC′＝52°，然后利用∠CAB′＝∠C′AB′﹣∠C′AC进行计算即可．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠C′CA＝∠CAB＝64°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，∠C′AB′＝∠CAB＝64°，
∴∠CC′A＝∠C′CA＝64°，
∴∠CAC′＝180°﹣64°﹣64°＝52°，
∴∠CAB′＝∠C′AB′﹣∠C′AC＝64°﹣52°＝12°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
6．（2022•市南区一模）如图，以某网格线所在直线建立平面直角坐标系，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，已知点A（2，﹣1），点P的坐标为（　　）

A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）
【考点】中心对称；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，即可发现这两个三角形中心对称，对称中心为点P．再根据点A的坐标即可得到直角坐标系的位置，进而得出点P的坐标．
【解答】解：如图所示，连接AD，CF，交点即为点P，

∵点A（2，﹣1），
∴点A在第四象限，距离x轴1个单位，距离y轴2个单位，如图所示，
∴点P的坐标为（1，﹣3）
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称与平面直角坐标系，解题时注意：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
7．（2022•乳山市一模）把一副三角板如图甲放置，其中∠A＝45°，∠D＝30°，∠ACB＝∠DEC＝90°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D′CE′（如图乙），此时AB与CD′交于点O，则线段AD′＝（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】旋转的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】由旋转的性质可得∠D'CE'＝60°，∠BCE'＝15°，可求∠COB＝90°，由等腰直角三角形的性质可求AO＝CO＝BO＝3cm，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，
∴∠DCE＝60°，∠B＝45°，
∵把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D'CE'，
∴∠D'CE'＝60°，∠BCE'＝15°，
∴∠OCB＝45°，
又∵∠B＝45°，
∴∠COB＝90°，
又∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AO＝CO＝BO＝3cm，
∴D'O＝4cm，
∴AD'＝＝5cm．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8．（2022•石家庄一模）如图，将线段AB绕点A旋转，下列各点能够落到线段AB上的是（　　）

A．点C B．点D C．点E D．点F
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】比较各点与A点组成的线段的长度，线段长度小于AB长度的点能够落到线段AB上．
【解答】解：将线段AB绕点A旋转，
∵AC＜AB，
∴线段AB经过点C，
∴能够落到线段AB上的是点C，
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是会运用旋转的性质解决问题，会比较线段的长短．
9．（2022春•镇江月考）如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2022的坐标为（　　）
A．（4043，﹣1） B．（4043，1） C．（2022，﹣1） D．（2022，1）
【考点】中心对称；坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【专题】规律型；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可找出点P1的坐标，结合旋转的性质即可找出点P2、P3、P4、P5、…、的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“P2n+1（4n+1，1），P2n+2（4n+3，﹣1）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：∵A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1＝90°，
∴P1（1，1）．
∵把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C1，
∴P2（3，﹣1）．
同理可得出：P3（5，1），P4（7，﹣1），P5（9，1），…，
∴P2n+1（4n+1，1），P2n+2（4n+3，﹣1）（n为自然数）．
∵2022＝2×1010+2，4×1010+3＝4043，
∴P2020（4043，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、坐标与图形变化中的旋转以及规律型中点的坐标，根据点的变化找出变化规律“P2n+1（4n+1，1），P2n+2（4n+3，﹣1）（n为自然数）”是解题的关键．
10．（2022•遵义模拟）如图，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为（3，5），点C是⊙D上的任意一点，CA⊥CB，且CA、CB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（　　）

A．14 B．2﹣4 C．2+2 D．2+4
【考点】关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，OC越大，AB越大．求OC最大值即可．
【解答】解：如图，连接OC，当OC经过圆心D时，OC最长，
过点D作DE⊥AB，垂足为E，
在Rt△ODE中，
OD＝＝＝，
∴OCmax＝OD+CD＝+2，
∵A，B关于原点O对称，CA⊥CB，
∴OC为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB＝2OC＝2（+2）＝2+4．
故选：D．

【点评】本题考查的是动点的最值问题，解题的关键是找到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．求得中线最大，才能求得斜边最大．
二．填空题（共10小题）
11．（2022春•汉寿县期中）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB＝3，AE＝5，∠D＝90°，则AC＝　2　．

【考点】中心对称．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】根据中心对称得出AC＝CD，DE＝AB＝3，根据勾股定理求出AD即可得出AC的长度．
【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC＝CD，DE＝AB＝3，
∵AE＝5，∠D＝90°，
∴AD＝＝4，
∴AC＝AD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的性质及勾股定理是解题的关键．
12．（2022春•淮阴区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，以点C为旋转中心将△ABC顺时针旋转到△DEC，使点D恰好落在边AB上，则△ABC绕点C顺时针旋转的度数为 　50°　．

【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由旋转的性质可得AC＝CD，∠ACD＝∠BCE，由等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADC＝65°，即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝25°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝65°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝∠ADC＝65°，
∴∠ACD＝50°＝∠BCE，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
13．（2022春•蜀山区校级期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，且CP＝1，BP＝，AP＝2，以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰Rt△DCP．
（1）线段AB的长度为 　　；
（2）△APB的面积为 　1　．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接AD，证明△ACD≌△BCP，得到AD＝PB＝，再证∠ADB＝90°，利用勾股定理求得AB；
（2）利用三角形的面积公式直接求得结果．
【解答】解：（1）如图，连接AD，

∵∠DCP＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCP，
在△ACD与△BCP中，
，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD＝PB＝，∠CAD＝∠CBP，
∵∠AED＝∠CEB，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵∠DCP＝90°，且DC＝PC＝1，
∴DP＝＝，
∴AB＝，
故答案为：；
（2），
故答案为：1．
【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识点，作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
14．（2022春•姜堰区期中）如图，铅笔放置在△ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向，把铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数后，笔尖方向变为点B到点A的方向，这种变化说明 　三角形内角和等于180°　．

【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答．
【解答】解：∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A+∠B+∠C，
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为180°，
∴这种变化说明三角形内角和等于180°．
故答案为：三角形内角和等于180°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键．
15．（2022春•武昌区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4，则BC的长度为 　2　．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，由等腰直角三角形求得AC的长，进而求得BN、CN，由勾股定理求得结果．
【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM，

则AB＝AC＝AM，MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA＝PG，
∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为4，
∴CM＝4，
∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠MAC＝90°，
∴AM＝AC＝4，
作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝2，AN＝2，CN＝4﹣2，
∴BC＝，
故答案为：2．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型．
16．（2022春•思明区校级月考）如图，小明准备用旋转知识设计一个风车，已知点A的坐标是（﹣3，2），为了补全风车，他需要找到A点关于原点O的对称点A′，则点A′的坐标是 　（3，﹣2）　．

【考点】坐标与图形变化﹣旋转；坐标确定位置；关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标与纵坐标都互为相反数解决问题即可．
【解答】解：∵A（﹣3，2），A与A′关于原点对称，
∴A′（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，坐标确定位置，中心对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题不．
17．（2022•黄岛区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第三象限，点C的坐标是（﹣4，﹣3），先把△ABC向上平移四个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△A2B2C2，则点C2的坐标是 　（1，4）　．

【考点】坐标与图形变化﹣旋转；坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】利用平移变换，旋转变换的性质作出图形，可得结论．
【解答】解：如图，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．C2（1，4）．
故答案为：（1，4）．

【点评】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换，解题关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
18．（2022•沈河区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝AC，BE平分∠ABC．将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°），得到△AE'F′，连接CE'，BF'，当CE'∥AB时，α＝　36°或72°　．

【考点】旋转的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．
【解答】解：在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，

①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM＝∠ABC＝72°，
又∵∠BAC＝36°，
∴α＝∠CAM＝36°；
②当点E的像E′与点N重合时，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN＝∠BAM＝72°，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN＝72°，
∴∠MAN＝180°﹣72°×2＝36°，
∴α＝∠CAN＝∠CAM+∠MAN＝36°+36°＝72°，
综上所述，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
故答案为：36°或72°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．
19．（2022春•南岸区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到线段AD，连接BD，则线段BD的长为 　2　．

【考点】旋转的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】将AB逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE，可判断E点落在线段BC上，证明△ABC≌△AED，可得DE＝4，△BDE为直角三角形，再求出BE＝2，然后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，将AB逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE，

∵∠ABC＝45°，
∴E点落在线段BC上，
∴∠ABC＝∠AEB＝45°，∠BAE＝90°，
∵线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到线段AD，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC＝DE＝4，∠ABE＝∠AED＝45°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝90°，
∴△BDE为直角三角形，
∵AB＝，
∴BE＝2，
∴BD＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查图形的旋转，熟练掌握等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等知识是解答此题的关键．
20．（2022•镇海区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，将边CD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE，连接CE，过点A作AF⊥CE交线段CE的延长线于点F，连接BF，若点M为线段BF中点，则点M与点C距离的最大值为 　+　．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【分析】连接AC，取AC中点O，AB中点H，BC中点G，连接HG，取HG中点N，连接OF，OH，OG，MH，CN，过N作NK⊥BC于K，证明△HMN∽△AFO，可得＝＝，MN＝OF，由勾股定理可得CN＝＝，可得当C，N，M共线时，CM最大，最大为+．
【解答】解：连接AC，取AC中点O，AB中点H，BC中点G，连接HG，取HG中点N，连接OF，OH，OG，MH，CN，过N作NK⊥BC于K，如图：

∵MH是△ABF的中位线，
∴MH＝AF，∠MHB＝∠FAB，
∵HG是△ABC中位线，
∴HG＝AC，∠BHG＝∠BAC，
∴∠MHB+∠BHG＝∠FAB+∠BAC，即∠MHN＝∠FAQ，
∵HN＝HG，OA＝AC，
∴HN＝OA，
∴＝＝，
∴△HMN∽△AFO，
∴＝＝，
∴MN＝OF，
∵AF⊥CE，O为AC中点，
∴OF＝AC＝×＝2，
∴MN＝，
∵NK∥BH，N为HG中点，
∴BK＝KG＝BG＝1＝NK，
∴CG＝KG+CG＝3，
∴CN＝＝，
∴当C，N，M共线时，CM最大，最大为+，
故答案为：+．
【点评】本题考查正方形中的旋转问题，解题的关键是作辅助线，构造三角形中位线及相似相似三角形．
三．解答题（共10小题）
21．（2022春•河源期中）如图1，已知Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝2，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），点C在DE上，点B在DF上．
（1）如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30°，DE交BC于点M，DF交AB于点N．求证：DM＝DN；
（2）如图3，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度（0＜α＜90），DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM＝DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论，不需要说明理由）


【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）证明△CDM≌△BDN（ASA），即可得DM＝DN；
（2）连接BD，证明△CDM≌△BDN（ASA），可得DM＝DN，S△CDM＝S△BDN，又AC＝2，可得重叠部分的面积不会变，面积是为．
【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵BD⊥AC，
∴△BCD、△ABD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD，∠C＝45°＝∠BDN，
而∠CDM＝30°＝∠BDN，
∴△CDM≌△BDN（ASA），
∴DM＝DN；
（2）解：DM＝DN仍成立，重叠部分的面积不会变，理由如下：
连接BD，如图：

∵Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵BD⊥AC，
∴△BCD、△ABD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD，∠C＝45°＝∠DBN，
而∠CDM＝90°﹣∠BDM＝∠BDN，
在△CDM和△BDN中，
，
∴△CDM≌△BDN（ASA），
∴DM＝DN，S△CDM＝S△BDN；
∴重叠部分的面积S四边形BMDN＝S△BDM+S△BDN＝S△BDM+S△CDM＝S△BCD，
∵AC＝2，
∴BD＝CD＝AC＝1，
∴S△BCD＝×1×1＝，
∴重叠部分的面积不会变，面积是为．
【点评】本题考查直角三角形中的旋转问题，解题的关键是作辅助线，构造△CDM≌△BDN．
22．（2022•东莞市一模）如图1，正方形ADEF中，∠DAF＝90°，点B、C分别在边AD、AF上，且AB＝AC．
（1）如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，请判断线段BD与线段CF的位置、数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，当AB＝2，时，求∠CFA的正弦值．


【考点】旋转的性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）延长DB交CF于G，交AF于H，用SAS证明△DBA≌△FCA，可得CF＝BD，∠AFC＝∠ADB，再根据∠ADB+∠AHD＝90°可证得CF⊥BD；
（2）过B作BK⊥AD于K，由∠BAK＝45°，可得△ABK是等腰直角三角形，从而BK＝AK＝AB＝，DK＝AD﹣AK＝，即得sin∠ABD＝＝＝，故sin∠CFA＝．
【解答】解：（1）BD＝CF，BD⊥CF，理由如下：
延长DB交CF于G，交AF于H，如图：

∵四边形ADEF是正方形，
∴AF＝AD，∠FAD＝90°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转α，
∴∠DBA＝α＝∠FAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△FCA（SAS），
∴CF＝BD，∠AFC＝∠ADB，
∵∠ADB+∠AHD＝90°，
∴∠AFC+∠AHD＝90°，
∵∠AHD＝∠GHF，
∴∠AFC+∠GHF＝90°，
∴∠FGH＝90°，
∴CF⊥BD；
（2）过B作BK⊥AD于K，如图：

∵∠BAK＝45°，
∴△ABK是等腰直角三角形，
∴BK＝AK＝AB＝，
∵，
∴DK＝AD﹣AK＝，
在Rt△BKD中，
BD＝＝，
∴sin∠ABD＝＝＝，
由（1）知，∠CFA＝∠ABD，
∴sin∠CFA＝．
【点评】本题考查正方形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，证明△DBA≌△FCA．
23．（2022•高新区模拟）在△ABC中，AC＝BC＝5，tanA＝，点D，E分别是AB，AC边上的动点，连接DE，作△ADE关于DE对称的图形△A′DE．
（1）如图1，当点A′恰好与点C重合，求DE的长；
（2）如图2，当点A′落在BC的延长线上，且A′E⊥AB，求AD的长；
（3）如图3，若AE＝CE，连接A′B，F是A′B的中点，连接CF，在D点的运动过程中，求线段CF长度的最大值．

【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）由轴对称的性质可得AE＝CE，∠AED＝90°，由锐角三角函数可求解；
（2）由锐角函数和勾股定理可求AB＝8，AF＝，A'F＝，即可求解；
（3）由三角形的中位线定理可得FO＝A'E＝，则点F在以点O为圆心，OF为半径的圆上运动，即当点F在CO的延长线上时，CF有最大值，由三角形中位线定理和勾股定理可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：AE＝CE，∠AED＝90°，
∵AC＝5，
∴AE＝，
∵tanA＝＝，
∴DE＝×＝；
（2）如图，过点C作CH⊥AB于H，延长A'E交AB于点F，

∵AB＝BC＝5，CH⊥AB，
∴AH＝BH，
∵tanA＝＝，
∴设CH＝3x，AH＝4x，
∵AB2＝CH2+AH2＝25，
∴x＝1，
∴CH＝3，AH＝4，
∴AB＝8，
∵A'E⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∵tanA＝＝，
∴设EF＝3y，AF＝4y，
则＝AE＝A'E＝5y，
∵tanA＝tanB＝，
∴，
∴，
∴x＝，
∴AF＝×4＝，A'F＝×8＝，
由题意可得：∠A＝∠DA'F，
∴tan∠DA'F＝＝，
∴DF＝＝，
∴AD＝AF+FD＝；
（3）如图，过点C作CH⊥AB于H，取BE的中点O，连接OF，OH，过点O作OG⊥CH于G，

∵AE＝CE＝，
∴A'E＝，
∵点F是A'B的中点，点O是BE的中点，
∴FO＝A'E＝，
∴点F在以点O为圆心，OF为半径的圆上运动，
∴当点F在CO的延长线上时，CF有最大值，
∵AH＝BH，点O是BE的中点，
∴OH∥AE，OH＝AE＝，
∴∠ACH＝∠CHO，
又∵∠AHC＝∠OGH＝90°，
∴△ACH∽△OHG，
∴＝，
∴HG＝，GO＝1，
∴CG＝，
在Rt△GCO中，由勾股定理可得：CO＝＝，
∴CF的最大值为．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，确定点F的轨迹是解题的关键．
24．（2022•浑南区一模）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，AB＝5，BC＝6，在△ABC的外部以AB为边作等边△ABD，点E是线段AO所在直线上一动点（点E不与点A重合），将线段BE绕点B顺时针方向旋转60°得到线段BF，连接EF．
（1）求AO的长；
（2）如图2，当点E在线段AO上，且点F，E，C三点在同一条直线上时，求BF的长；
（3）连接DF，若△BDF的面积为3，请直接写出BF的长．

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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和勾股定理可求解；
（2）由旋转的性质可得BE＝BF，∠EBF＝60°，可证∠CBF＝90°，即可求解；
（3）由“SAS”可证△ABE≌△DBF，由三角形的面积公式可求AE＝2，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴BO＝CO＝BC＝3，
∴AO＝＝＝4；
（2）∵将线段BE绕点B顺时针方向旋转60°得到线段BF，
∴BE＝BF，∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF＝EF，∠F＝∠FEB＝∠EBF＝60°，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO是BC的中垂线，
∴BE＝CE，
∴∠ECB＝∠EBC＝30°，
∴∠CBF＝90°，
∴BC＝BF＝6，
∴BF＝2；
（3）如图，

∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝∠EBF＝60°，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵BE＝BF，
∴△ABE≌△DBF（SAS），
∴S△ABE＝S△DBF＝3，
∴×AE×BO＝3，
∴AE＝2，
∴OE＝AO﹣AE＝2，
∴BE＝＝＝，
∴BF＝BE＝．
【点评】本题考查了几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．（2022春•云梦县期中）如图，在平面直角坐标系中，已知4（a，0），B（b，0），C（c，4），a，b满足（a+2）+＝0．平移线段AB得到线段CD，使点A与点C对应，点B与点D对应，连接AC，BD．
（1）求a，b的值，并直接写出点D的坐标；
（2）已知点P是射线AB（不与点A，B重合）上的点，连接PC，PD．
①是否存在点P，使三角形PCD的面积是三角形PBD的面积的2倍，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②设∠PCA＝α，∠PDB＝β，∠DPC＝θ．求α，β，θ满足的关系式．

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【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用非负数的性质得到a+2＝0，且b﹣4＝0，得到A（﹣2，0），B（4，0），根据平移的性质即可求出点D的坐标；
（2）①设点P（m，0），根据三角形PCD的面积是三角形PBD的面积的2倍列出方程，求出m，即可得到点P的坐标；
②过P作PE∥AC，根据平行线的性质得到∠PCA＝∠CPE，∠DPE＝∠PDB，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵a，b满足（a+2）+＝0，
∴a+2＝0，且b﹣4＝0，
∴m＝﹣2，b＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
由平移的性质得：C（0，4），D（4+2，4），
即点D的坐标为（6，4）；
（2）存在，
①设点P（m，0），则PB＝|m﹣4|，
三角形PCD的面积＝×4×6＝12，三角形PBD的面积＝×4|m﹣4|，
当三角形PCD的面积是三角形PBD的面积的2倍时，有2××4|m﹣4|＝12，
即|m﹣4|＝3，
m＝7或1，
∴存在点P，使三角形PCD的面积是三角形PBD的面积的2倍，此时点P的坐标为（1，0）或（7，0）；
②过P作PE∥AC，
∴∠PCA＝∠CPE，
由平移的性质得AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠DPE＝∠PDB，
∴∠DPC＝∠CPE+∠DPE＝∠PCA+∠PDB，
∴α，β，θ满足的关系式为θ＝α+β．

【点评】本题考查了几何变换综合题，非负数的性质，三角形的面积的计算，平行线的性质，平移的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（2022春•雁塔区校级期中）已知，∠MON＝90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB，连接OB，BP．
（1）如图1，当∠OAP＝45°时，试判断OB与AP的位置关系：　垂直　；
（2）如图2，当∠OAP＝60°时，OA＝2时，求线段OB的长度；
（3）如图3，当∠OAP＝α时，将线段OB绕点O顺时针旋转60°，得到线段OC，作CH⊥ON于点H．当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．


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【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证明△APB是等边三角形，推出BA＝BP，再证明△APO是等腰直角三角形，推出OA＝OP，可得结论；
（2）证明△APB是等边三角形，推出∠APB＝60°，再证明∠APO＝30°，∠BPO＝90°，在Rt△AOP中，根据勾股定理求出OP，在Rt△BOP中，根据勾股定理即可求出OB；
（3）结论：OA＝2CH．利用全等三角形的性质证明OA＝PC，再证明∠CPH＝30°可得结论．
【解答】解：（1）∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AB，
∴AB＝AP，且∠PAB＝60°．
∴△ABP是等边三角形，
∴BA＝BP，
∵∠MON＝90°，∠OAP＝45°，
∴∠OPA＝90°﹣∠OAP＝45°，
∴∠OAP＝∠OPA，∴OA＝OP，
∴OB是AP的垂直平分线，
故答案为：垂直；
（2）由（1）知，△ABP是等边三角形，
∴AP＝BP，∠APB＝60°，
∵∠OAP＝60°，∠MON＝90°，
∴∠APO＝30°，
∴∠BPO＝∠BPA+∠APO＝90°，
∴∠BPH＝90°，
∴AP＝BP＝2OA＝2×2＝4，
在Rt△AOP中，OP2＝AP2﹣OA2＝42﹣22＝12，
在Rt△BOP中，OB2＝OP2+BP2＝12+42＝28，
∴OB＝2；
（3）结论：OA＝2CH．
理由：如图3中，

由（1）可知，△ABP是等边三角形，
∴BA＝BP，∠ABP＝∠BPA＝60°．
∵线段OB绕点O顺时针旋转60°得到OC，
∴OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BO＝BC，∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝60°﹣∠OBP＝∠PBC，
∴△ABO≌△PBC（SAS），
∴AO＝PC，∠BPC＝∠BAO，
∵∠OAP＝α，
∴∠BAO＝∠BAP+∠OAP＝60°+α，
∴∠BPC＝60°+α，
∵∠BPN＝180°﹣∠APO﹣∠BPA＝120°﹣（90°﹣α）＝30°+α，
∴∠HPC＝∠BPC﹣∠BPN＝30°，
∵CH⊥ON，
∴∠CHO＝90°，
∴在Rt△CHP中，PC＝2CH，
∴OA＝2CH．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
27．（2022春•铁岭期中）如图，∠AOB＝120°，OC是∠AOB的平分线，点E，M分别在射线OA，OC上，作射线ME，以M为中心，将射线ME逆时针旋转60°，交OB所在直线于点F．
（1）按要求画图，并完成证明．
过点M作MH∥OA，交射线OB于点H，求证：△OMH是等边三角形．
（2）当点F落在射线OB上，请猜想线段OE，OF，OM三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）当点F落在射线OB的反向延长线上，请直接写出线段OE，OF，OM三者之间的数量关系．


【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【分析】（1）过点M作MH∥OA，交射线OB于点H．证明△OMH是等边三角形即可解决问题．
（2）结论：OM＝OF+OE．证明△EMO≌△FMH（ASA）可得结论．
（3）结论：OM＝OE﹣OF．证明方法类似（2）．
【解答】解：（1）过点M作MH∥OA，交射线OB于点H，画图如下：

证明如下：
∵∠AOB＝120°，OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOM＝∠HOM＝∠AOB＝60°，
∵MH∥OA，
∴∠HMO＝∠AOM＝60°，
∴△OMH是等边三角形；
（2）OM＝OF+OE；理由如下：
点F落在射线OB上，过M作MH∥OA交OB于H，如图：

由（1）知：△OMH是等边三角形，
∴MH＝OM，∠MHO＝60°，
∴∠MHO＝60°＝∠EOM，
∵∠EMO＝60°﹣∠OMF，∠HMF＝60°﹣∠OMF，
∴∠EMO＝∠HMF，
∴△EMO≌△FMH（ASA），
∴OE＝HF，
∵OM＝OH＝OF+FH，
∴OM＝OF+OE；
（3）结论：OM＝OE﹣OF，理由如下：
过点M作MH∥OA，交射线OB于点H，如图：

∵△OMH是等边三角形，
∴OM＝MH＝OH，
∵以M为中心，将射线ME逆时针旋转60°，
∴∠EMF＝∠HMO＝60°，
∴∠EMF+∠OMF＝∠HMO+∠OMF，
即∠EMO＝∠HMF，
又∵∠MOE＝∠MHF＝60°，
∴△EMO≌△FMH（ASA），
∴OE＝FH，
∵OM＝OH＝FH﹣OF，
∴OM＝OE﹣OF．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．（2022•信阳一模）提出问题：在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．
如图1，三角板ABC和三角板DEF都是等腰直角三角形，∠C＝∠F，点M，N分别为DE，AB的中点．
如图2，将点F、点C重叠合并在一起，记作点C，点D，E分别落在边BC，AC上，连接AD，记AD的中点为点P，试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系．

探究交流：感恩小组发现，PM＝PN，PM⊥PN，并展示了如下的证明方法：
∵点P，N分别是AD，AB的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD
∵点P，M分别是AD，DE的中点，
∴PM∥AE，PM＝AE． （依据1）
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴BD＝AE，
∴PM＝PN．
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC．
∵PM∥AE，
∴∠DPM＝∠DAC．
∵∠BCA＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，（依据2）
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠CAD+∠ADC＝90°
∴PM⊥PN．
反思拓展：
（1）①上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是指什么？
②试判断图2中，MN与AB的位置关系，请直接回答，不必证明；
（2）“责任”小组在探究时，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图3的位置，发现△MPN是等腰直角三角形，请你给出证明；
（3）“坚持”小组的同学进行“固定变量”探究，令AC＝10，CD＝3时，把△CDE绕点C在平面内自由旋转，△MPN的面积是否发生变化，若不变，请直接写出△MPN的面积；若变化，△MPN的面积是否存在最大与最小？若存在，请直接写出△MPN面积的最大值与最小值．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【分析】（1）①利用三角形中位线定理，直角三角形的性质解决问题即可．②结论：NM⊥AB．利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质证明∠ANM＝90°即可；
（2）证明△CBD≌△CAE（SAS）．推出∠CBD＝∠CAE，BD＝AE．再利用三角形的中位线定理，平行线的性质证明即可；
（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，可知PM最大时，△PMN面积最大，PM最小时，△PMN面积最小，解得点D在BC的延长线上，BD最大为13，D在线段BC上时，BD最小为7，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）①依据1：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；
依据2：直角三角形的两锐角互余．
②结论：MN⊥AB，理由如下：
如图：

∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∵PN∥BC，
∴∠ANP＝∠B＝45°，
∵△PNM是等腰直角三角形，
∴∠PNM＝45°，
∴∠ANM＝∠ANP+∠PNM＝90°，
∴MN⊥AB．
（2）证明：连接BD，如图：

由旋转知，∠BCD＝∠ACE，
∵CB＝CA，CD＝CE，
∴△CBD≌△CAE（SAS）．
∴∠CBD＝∠CAE，BD＝AE．
∵点P，M，N分别是AD，ED，AB的中点，
∴PN，PM分别是△ABD，△ADE的中位线，
∴PN＝BD，PM＝AE，
∴PM＝PN．
∴△PMN是等腰三角形．
又∵PM∥AE，PN∥BD．
∴∠DPM＝∠DAE，∠PNA＝∠DBA．
∵∠DPN＝∠DAB+∠PNA＝∠DAB+∠DBA，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DAE+∠DAB+∠DBA＝∠BAE+∠DBA＝∠CAB+∠CAE+∠DBA＝∠CAB+∠CBD+∠DBA＝∠CAB+∠ABC，
∵∠BCA＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°．
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形．
（3）△MPN的面积会发生变化，理由如下：
由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，
∴BD最大，即PM最大，△PMN面积最大，此时点D在BC的延长线上，如图：

∴BD＝CB+CD＝10+3＝13，
∴PN＝PM＝
∴S△PMN最大＝PM•PN＝××＝，
当BD最小，即PM最最小，△PMN面积最小，此时点D在线段BC上，如图：

∴BD＝BC﹣CD＝10﹣3＝7，
∴PM＝PN＝，
∴S△PMN最小＝PM•ON＝××＝；
∴△MPN面积的最大值为，最小值为．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
29．（2022•沙坪坝区校级一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，连接AD，AD＝DC，点E为AC中点，连接BE交AD于点N，BN＝NE．
（1）如图1，若∠ANE＝90°，AE＝4，求DC的长；
（2）如图2，延长BA至点M，连接ME，AN＝ME，若∠ABC＝45°，求证：AM+NE＝AN；
（3）如图3，延长BA至点M，连接ME，ME＝3，∠ADC＝∠MEB＝90°，点N为AB中点，连接NE，将△BNE沿NE翻折得到△B′NE，点F，G分别为NE，EB′上的动点（不与端点重合），连接AF，FG，连接MG交直线AE于点H，当AF+FG取得最小值时，直接写出的值．


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【分析】（1）连接DE，可推出AE＝AB，DE⊥AC，进而解直角三角形CDE求得结果；
（2）取AB的中点F，连接EF交AD于G，可推出BD＝GE＝，可推出AB＝BE，EF＝AN，进而得出△MEF是等腰直角三角形，进一步得出结论；
（3）设AD，BE交于点O，作ER⊥BC于R，作DT⊥AB于T，作OK⊥AB于K，可推出当DG⊥EB′时，AF+FG最小，可推出sin∠EBM＝，进而求得AB，BE，EL，EG和GL，AL，从而求得AE，作DT⊥AB以T，作AJ⊥BM交AH于J，可推出，进而求得，进一步求得结果．
【解答】（1）解：如图1，

连接DE，
∵AD＝CD，点E是AC的中点，
∴AC＝2AE＝2CE，DE⊥AC，
∵BN＝NE，∠ANE＝90°，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∵∠ABC＝90°，
∴sinC＝＝，
∴∠A＝30°，
在Rt△CDE中，CE＝AE＝4，∠A＝30°，
∴CD＝＝；
（2）证明：如图2，

取AB的中点F，连接EF交AD于G，
∵点E是AC的中点，
∴EF∥BC，EF＝，
∴＝＝1，＝＝1，
∴AG＝AD，GN＝DN，
∴EG＝，
△ENG和△BND中，
，
∴△ENG≌△BND（SAS），
∴EG＝BD，
设BD＝EG＝a，
∴AD＝CD＝2EG＝2a，
∴DN＝GN＝，
∴EM＝AN＝a，BC＝BD+CD＝a+2a＝3a，
∴EF＝＝a，
∴EF＝EM，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ABC＝45°，
∴∠M＝∠AFE＝45°，
∴∠MEF＝90°，
作BH⊥AE于H，连接DE，
∵AD＝CD，点E是AC的中点，
∴DE⊥AC，AE＝CE
∴＝＝2，
∴CE＝2EH，
∴AH＝EH，
∴AB＝BE，
∵AF＝，EN＝，
∴AF＝EN，
∵FM＝，
∴AF+AM＝AN，
∴EN+AM＝AN；
（3）解：如图，

设AD，BE交于点O，作ER⊥BC于R，作DT⊥AB于T，作OK⊥AB于K，
由上知：CD＝AD＝2BD，
设BD＝2x，则CD＝AD＝4x，
∵ER∥AD，点E是AC的中点，
∴△CRE∽△CDA，
∴，
∴DR＝CR＝CD＝2x，ER＝＝2x，
∴tan∠CBE＝＝，
∵tan∠BAD＝＝，sin∠BAD＝，
∴∠BAD＝∠EBC，OB＝＝，
∵DO＝，
∵AO＝AD﹣OD＝3x，
在Rt△AOK中，
OK＝AO•sin∠BAD＝x，
∴sin∠ABE＝＝＝，
在Rt△BEM中，ME＝3，
∴BM＝＝5，
∴AB＝BE＝4，
∴AN＝＝2，
∵EN是△ABC的中位线，
∴EN∥BC，
∵AD⊥BC，
∴EN⊥AD，EN平分AD，
∴AF＝DF，
∴AF+GF＝DF+FG，
∴当DG⊥EB′交EN于F时，AF+FG最小，
∵∠ADG＝∠NEB′，∠NEB′＝∠NEB＝∠EBC，
∴∠ADG＝∠BAD，
∴AB∥DG，
∴EB′⊥BM，
由（2）知：EO＝OB＝，
∴BD＝4，OD＝2，
作DT⊥AB以T，作AJ⊥BM交AH于J，
∴GL＝DT＝BD•sin∠ABD＝4×＝，
∵EL＝BE•sin∠ABE＝4×＝，
BL＝BE•cos∠ABE＝，
∴ML＝BM﹣BL＝5﹣＝，
AM＝BM﹣AB＝5﹣4＝，
∴AL＝LM﹣AM＝，
∵AJ∥EL，
∴△MAJ∽△MLG，△AJH∽△EGQ，
∴＝＝，，
∴＝＝，
∴AH＝，
在Rt△ALE中，EL＝，AL＝，
∴AE＝＝4，
∴AH＝＝，
∴＝＝．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，轴对称性质相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是发现特殊性以及较强的计算能力．
30．（2022春•香洲区校级期中）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且AD＝BD，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．
（1）若∠A＝30°，则∠ECO＝　30　度．
（2）如图a，连接OC请写出∠ECO和∠OAC的数量关系，并说明理由；
（3）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系？


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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）可推出∠CDB＝2∠A＝60°，△CDE 是等边三角形，进而得出∠ECD＝60°，进一步求得结果；
（2）设∠A＝α，可推出∠CDB＝2∠A＝2α，∠OCA＝∠A＝α，∠ECD＝∠CDB＝2α，进一步得出结论；
（3）可证明△COM≌△AON．
【解答】解：（1）∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠CDB＝∠A+∠ABD＝60°，
∵∠BCA＝90°，点E是BD的中点，
∴CE＝DE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠ECD＝60°，
∵∠BCA＝90°，点O是AB的中点，
∴OC＝OA，
∴∠ACO＝∠A＝30°，
∴∠ECO＝∠ECD﹣∠ACO＝60°﹣30°＝30°，
故答案为30；
（2）∠ECO＝∠OAC，理由如下：
设∠OAC＝α，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠OAC＝α，
∴∠CDB＝∠A+∠ABD＝2α，
∵∠BCA＝90°，点E是BD的中点，
∴CE＝DE，
∴∠ECD＝∠BDC＝2α，
∵∠BCA＝90°，点O是AB的中点，
∴OC＝OA，
∴∠ACO＝∠A＝α，
∴∠ECO＝∠ECD﹣∠ACO＝2α﹣α＝α，
∴∠ECD＝∠OAC；
（3）如图，

OM＝ON，理由如下：
连接OC，
由（1）知：OC＝OA，
由（2）知：∠ECO＝∠OAC，
∴180°﹣∠ECO＝180°﹣∠OAC，
∴∠OCM＝∠OAN，
在等腰△ADB和等腰△AOC中，
∠A＝∠ABD＝∠ACO，
∴∠AOC＝∠ADB，
∵∠MON＝∠ADB，
∴∠MON＝∠AOC，
∴∠MON﹣∠AOM＝∠AOC﹣∠AOM，
即：∠COM＝∠AON，
在△COM和△AON中，
，
∴△COM≌△AON（ASA），
∴OM＝ON．
【点评】本题考查直角三角形性质，等腰三角形性质及全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关知识．

考点卡片
1．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
2．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
3．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
4．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
7．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
8．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
9．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
10．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
11．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
12．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
13．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
14．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
15．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
16．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
17．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
18．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
19．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
20．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
21．几何变换综合题
几何变换综合题．
22．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）