2022年中考数学复习训练题（含解析）----三角形

这是一份2022年中考数学复习训练题（含解析）----三角形，共57页。试卷主要包含了cm2等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习新题速递之三角形（2022年5月）
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•海淀区校级期中）两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分钟挖8cm，另一只朝正东方向挖，6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（　　）
A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm
2．（2022春•碑林区校级期中）等腰三角形的周长是10，其中一边长为2，则这个等腰三角形底边的长度为（　　）
A．2 B．6 C．2或8 D．2或6
3．（2022•川汇区一模）如图，一副直角三角板如图所示摆放，∠A＝30°，∠E＝45°，∠C＝∠FDE＝90°．顶点D在AC边上，且EF∥AB，则∠CDF的度数是（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
4．（2022•雁塔区校级四模）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（　　）

A．16 B．18 C．20 D．22
5．（2022春•西城区校级期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，， D．1，2，3
6．（2022春•朝阳区校级期中）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．1，1，2 C．3，3，3 D．1，，2
7．（2022春•覃塘区期中）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BC于点E，垂足为F，连接DE．若∠ABC＝30°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．50° B．45° C．40° D．35°
8．（2022春•南岸区校级期中）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，若△PAB的面积为6cm2，△PBC的面积为8cm2，则△PAC的面积为（　　）cm2．

A．2 B．2.5 C．3 D．4
9．（2022春•二七区校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．下列判断正确的有（　　）
①△ABE≌△DCE；②BE＝EC；③BE⊥EC；④2S△AEC＝3S△AEB．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，F为BE的中点，连结DF．若AC＝4，DF⊥BE，则DF的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．2.5
二．填空题（共10小题）
11．（2022春•西城区校级期中）如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE
时，AD＝1米，则BE＝　 　米．

12．（2022春•汉寿县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝16，DE＝6，则BE＝　 　．

13．（2022春•洪山区期中）已知△ABC的各顶点坐标分别为A（﹣5，2），B（1，3），C（3，﹣1），则△ABC的面积为 　 　．
14．（2022春•隆回县期中）如图，PM⊥OA，PN⊥OB，∠BOC＝30°，PM＝PN，则∠AOB＝　 　．

15．（2022春•郧阳区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且S1+S2＝2π，则AB的长为 　 　．

16．（2022春•汉寿县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是线段AB的垂直平分线，已知∠CBD＝∠ABD，则∠A＝　 　．

17．（2022春•碑林区校级期中）△ABC的三边分别是a，b，c，化简|a﹣b+c|+|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|的结果为 　 　．
18．（2022春•鄞州区期中）如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE＝2OF．则△ABC的面积与△AOC的面积之比为 　 　．

19．（2022春•西城区校级期中）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则∠ACB﹣∠DCE＝　 　°．

20．（2022•河东区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上．
（Ⅰ）线段AC的长等于 　 　；
（Ⅱ）在射线BC上有两点P，Q，满足AP⊥BC且∠AQC＝∠BAP，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，点Q，并简要说明点P，点Q的位置是如何找到的（不要求证明）．

三．解答题（共10小题）
21．（2022春•渝中区校级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．

22．（2022春•确山县期中）某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（AE＝5米）靠在宣传牌（AB）A处，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌（AB）的B处，而底端E向外移到了1米到C处（CE＝1米）．测量得BM＝4米．求宣传牌（AB）的高度（结果用根号表示）．

23．（2022春•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，给定线段MN和图形F，给出如下定义：
平移线段MN至M'N'，使得线段M'N'上的所有点均在图形F上或其内部，则称该变换为线段MN到图形F的平移重合变换，线段MM'的长度称为该次平移重合变换的平移距离，其中，所有平移重合变换的平移距离中的最大值称为线段MN到图形F的最大平移距离，最小值称为线段MN到图形F的最小平移距离．
如图1，点A（1，0），P（﹣1，），Q（5，）
（1）①在图1中作出线段OA到线段PQ的平移重合变换（任作一条平移后的线段O'A'）；
②线段OA到线段PQ的最小平移距离是 　 　，最大平移距离是 　 　．
（2）如图2，作等边△PQR（点R在线段PQ的上方），
①求线段OA到等边△PQR最大平移距离．
②点B是坐标平面内一点，线段OB的长度为1，线段OB到等边△PQR的最小平移距离的最大值为 　 　，最大平移距离的最小值为 　 　．


24．（2022春•海淀区校级期中）在△ABC中，CD为AB边上的中线，点E在边AB上（不与点D重合），若∠CED＝90°，那么线段CD的中点P称为△ABC关于AB的“斜等点”（如图1所示）．

在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A与原点O重合，点B的坐标为（2t，0）（t＞0），点C在x轴上方．
（1）当t＝2时，若存在△ABC关于AB的“斜等点”点P，
①下列各点中，符合题意的点C可能是 　 　（不必写出坐标）．
C1（﹣3，2），C2（0，2），C3（2，4），C4（4，2）．
②设△ABC关于AB的“斜等点”P的坐标为（m，n），若CD＝4，则m的取值范围是 　 　，n的取值范围是 　 　．
（2）若△ABC关于AB的“斜等点”P为定点P（2，2），直接写出t的取值范围．
25．（2022•川汇区一模）下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
题目背景：在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在AB上．
（1）作图探讨：在Rt△ABC外侧，以BC为边作△CBE≌△CAD；

小明：如图1，分别以B，C为圆心，以AD，CD为半径画弧交于点E，连接BE，CE．则△CBE即为所求作的三角形．
小军：如图2，分别过B，C作AB，CD的垂线，两条垂线相交于点E，则△CBE即为所求作的三角形．
选择填空：小明得出△CBE≌△CAD的依据是 　 　，小军得出△CBE≌△CAD的依据是 　 　；（填序号）
①SSS
②SAS
③ASA
④AAS
（2）测量发现：如图3，在（1）中△CBE≌△CAD的条件下，连接AE．兴趣小组用几何画板测量发现△CAE和△CDB的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段AC至F点，使CF＝CA，连接EF．请你完成证明过程．
（3）迁移应用：如图4，已知∠ABM＝∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB上，BC＝3，∠BCD＝15°，若在射线BM上存在点E，使S△ACE＝S△BCD，请直接写出相应的BE的长．
26．（2022春•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求AB，AC的长；
（2）求证：AE＝DF；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

27．（2022春•义乌市期中）如图，已知直线a⊥直线b，垂足为点O．将直角三角形纸板ABC的直角边AC放置在直线a上，线段AB（或射线AB）与直线b交于点D，直线CE∥AB交直线b于点E，AF平分∠DAO，EF平分∠DEC．设∠BAC＝x度，∠ABC＝y度，且x：y＝1：2．
（1）求x、y的值及∠ADO的度数；
（2）如图1，当A、C两点在点O的两侧时，求∠AFE的度数；
（3）将（2）中的三角形纸板沿CA方向平移，当A、C两点都移动到点O的左侧时如图2，请按题意在图2中画出图形，并判断∠AFE的度数与（2）的结果比较是否改变？若改变，直接写出此时∠AFE的度数；若不变，请说明理由．


28．（2022•甘井子区校级模拟）在△ABC中，AB＝AC．∠BAC＝90°，点D在AC上，连接BD，点E在BD上，连接AF，CE，∠AED＝45°．
（1）如图1，过点C作CM⊥BD交BD延长线于点M，试探究CM和BE的数量关系，并证明；
（2）如图2，过点A作AF⊥CE于点F，交BD于点G，求证：EC＝2AG；
（3）若CD＝kAD，求的值（用含k的式子表示）．

29．（2022•景县校级模拟）如图，AD是△ABC的高，BD＝3，AD＝DC＝4，P是边AB上一动点，过点P作BC的平行线l，交AD于点E，交AC于点F，Q是直线l上一动点，点P从点B出发，沿BA匀速运动，点Q从点P出发沿直线l向右匀速运动，当点P运动到点A时，P，Q同时停止．设点P与点Q在同一时刻开始运动，且运动速度相同，点P的运动距离是x．
（1）求运动过程中，点P与点C之间的最短距离；
（2）当直线l平分△ABC的面积时，求x的值；
（3）求点Q与边AC的距离（用含x的代数式表示）；
（4）当点Q与点C之间的距离小于时，直接写出x的取值范围．


30．（2022•秀山县模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．△BDE中，∠BDE＝90°，DB＝DE．
（1）图1中，点D是AC上一点，若AD＝1，求BE的长；
（2）图2中，点D是AC上一点，点M是BE的中点，求证：BD＝CM；
（3）图3中，点N是AB的中点，点D是平面内一个动点，若AD＝1，当∠CNE的度数最大时，NE的长是多少？



2022年中考数学复习新题速递之三角形（2022年5月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•海淀区校级期中）两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分钟挖8cm，另一只朝正东方向挖，6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（　　）
A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】由已知两只小鼹鼠打洞的方向的夹角为直角，其10分钟内走路程分别等于两直角边的长，利用勾股定理可求斜边即其距离．
【解答】解：两只小鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，
∵正北方向和正东方向构成直角，
∴由勾股定理得：＝100（cm），
∴其距离为100cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是弄清正北方向和正东方向构成直角．
2．（2022春•碑林区校级期中）等腰三角形的周长是10，其中一边长为2，则这个等腰三角形底边的长度为（　　）
A．2 B．6 C．2或8 D．2或6
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】分为两种情况：2是等腰三角形的腰或2是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【解答】解：若2为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2＝6，2+2＜6，故不符合三角形的三边关系；
若2为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2＝4，此时三角形的三边长分别为4，4，2，符合三角形的三边关系；
∴等腰三角形的底边长为2，
故选：A．
【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．
3．（2022•川汇区一模）如图，一副直角三角板如图所示摆放，∠A＝30°，∠E＝45°，∠C＝∠FDE＝90°．顶点D在AC边上，且EF∥AB，则∠CDF的度数是（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【分析】延长AC，EF交于点G，由平行线的性质可得∠AGE＝∠A＝30°，由三角形的外角性质可求得∠DFG＝135°，再由三角形的内角和即可求∠CDF的度数．
【解答】解：延长AC，EF交于点G，如图，

∵EF∥AB，∠A＝30°，
∴∠AGE＝∠A＝30°，
∵∠E＝45°，∠C＝∠FDE＝90°，
∴∠DFG＝∠E+∠FDE＝135°，
∴∠CDF＝180°﹣∠FDE﹣∠AGE＝15°．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
4．（2022•雁塔区校级四模）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（　　）

A．16 B．18 C．20 D．22
【考点】三角形的角平分线、中线和高．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据线段中点的概念得到BD＝CD，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝CD，
∵△ACD的周长为20，
∴AC+AD+CD＝20，
∵AC＝8，
∴AD+CD＝AD+BD＝12，
∵AB＝10，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝22，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键．
5．（2022春•西城区校级期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，， D．1，2，3
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵1＝1＝1，
∴以1，1，1为边构成的是等边三角形，不是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵22+32＝4+9＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵12+（）2＝1+2＝3，（）2＝3，
∴12+（）2＝（）2，
∴以1，，为边能构成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵1+2＝3，
∴以1，2，3为边不能构成三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6．（2022春•朝阳区校级期中）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．1，1，2 C．3，3，3 D．1，，2
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看是否相等，即可得出答案．
【解答】解：A．∵22+32≠42，
∴不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵12+12≠22，
∴不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵32+32≠32，
∴不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵12+22＝（）2，
∴可以构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，熟知：如果一个三角形的三边分别是a、b、c（c最大）满足a2+b2＝c2，则三角形是直角三角形是解决问题的关键．
7．（2022春•覃塘区期中）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BC于点E，垂足为F，连接DE．若∠ABC＝30°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．50° B．45° C．40° D．35°
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；图形的全等；推理能力．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC＝100°，利用全等三角形的性质证明∠BED＝∠BAD即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝100°，
在△BFA和△BFE中，
．
∴△BFA≌△BFE（ASA），
∴BA＝BE，
在△BDA和△BDE中，
，
∴△BDA≌△BDE（SAS），
∴∠BED＝∠BAD＝100°，
∴∠CED＝80°，
∴∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝50°，
故选：A．
【点评】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2022春•南岸区校级期中）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，若△PAB的面积为6cm2，△PBC的面积为8cm2，则△PAC的面积为（　　）cm2．

A．2 B．2.5 C．3 D．4
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】延长AP交BC于D，如图，先证明∠PAB＝∠PDB得到BA＝BD，则根据等腰三角形的性质得到AP＝DP，利用三角形面积公式得到S△PBD＝S△PAB＝6cm2，则S△PAC＝S△PDC＝2cm2．
【解答】解：延长AP交BC于D，如图，
∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，
∴∠ABP＝∠DBP，∠APB＝∠DPB＝90°，
∴∠PAB＝∠PDB，
∴BA＝BD，
∵BP⊥AD，
∴AP＝DP，
∴S△PBD＝S△PAB＝6cm2，
∵S△PBC＝8cm2，
∴S△PDC＝2cm2，
∵AP＝DP，
∴S△PAC＝S△PDC＝2cm2．
故选：A．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的判定与性质．
9．（2022春•二七区校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．下列判断正确的有（　　）
①△ABE≌△DCE；②BE＝EC；③BE⊥EC；④2S△AEC＝3S△AEB．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定；三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】利用SAS证明△ABE≌△DCE，即可判断①正确；根据全等三角形的性质得出BE＝EC，∠AEB＝∠DEC，即可判断②正确；由∠AEB+∠BED＝90°，等量代换得出∠DEC+∠BED＝90°，即可判断③正确；根据三角形的中线将三角形的面积平分得出S△AEC＝2S△DEC，而S△AEB＝S△DEC，那么S△AEC＝2S△AEB，即可判断④错误．
【解答】解：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，
∴CD＝AC＝AB．
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE，∠EAD＝∠ADE＝45°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠EAD＝90°+45°＝135°，
∠CDE＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BAE＝∠CDE．
在△ABE与△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），故①正确；
∴BE＝EC，∠AEB＝∠DEC，故②正确；
∵∠AEB+∠BED＝90°，
∴∠DEC+∠BED＝90°，
∴BE⊥EC，故③正确；
∵点D是AC的中点，
∴S△AEC＝2S△DEC，
∵△ABE≌△DCE，
∴S△AEB＝S△DEC，
∴S△AEC＝2S△AEB，
∴2S△AEC＝4S△AEB，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，证明△ABE≌△DCE是解题的关键．
10．（2022•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，F为BE的中点，连结DF．若AC＝4，DF⊥BE，则DF的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．2.5
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】连接CE，利用中位线的性质可得CE＝2DF，DF∥CE，由平行线的性质及等腰三角形的判定与性质可证明△DEF≌△DBF，进而可证得CD＝ED，结合中点的定义及直角三角形的性质可得CD＝AD，AD＝4DF，利用勾股定理可求解AD的长，进而可求得DF的长．
【解答】解：连接CE，

∵AD是BC边上的中线，F点为BE的中点，
∴DF为△BCE的中位线，
∴CE＝2DF，DF∥CE，
∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠DEC，
∵DF⊥BE，
∴∠DFE＝∠DFB＝90°，
在△DEF和△DBF中，
，
∴△DEF≌△DBF（SAS），
∴∠EDF＝∠BDF，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴CD＝ED，
∵E为AD的中点，∠ACB＝90°，
∴CE＝ED＝CD＝AD，
∴AD＝4DF，
∵AC＝，
∴AD2﹣（AD）2＝AC2＝48，
解得AD＝8，
∴DF＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用，解题的关键在于求出AD＝4DF．
二．填空题（共10小题）
11．（2022春•西城区校级期中）如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE
时，AD＝1米，则BE＝　1　米．

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理得出AC，进而得出DC，利用勾股定理得出CE，进而解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝＝＝4（米），
∴DC＝AC﹣AD＝4﹣1＝3（米），
在Rt△DCE中，CE＝＝＝4（米），
∴BE＝CE﹣BC＝4﹣3＝1（米），
故答案为：1．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，本题中正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键．
12．（2022春•汉寿县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝16，DE＝6，则BE＝　8　．

【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】先根据角平分线的性质得到DC＝DE＝6，则BD＝10，然后利用勾股定理计算BE的长．
【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC＝DE＝6，
∴BD＝BC﹣DC＝16﹣6＝10，
在Rt△BDE中，BE＝＝＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了勾股定理．
13．（2022春•洪山区期中）已知△ABC的各顶点坐标分别为A（﹣5，2），B（1，3），C（3，﹣1），则△ABC的面积为 　13　．
【考点】三角形的面积；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
【解答】解：如图，
△ABC的面积＝4×8﹣×1×6﹣×2×4﹣×3×8＝13．
故答案为：13．

【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S＝×底×高．
14．（2022春•隆回县期中）如图，PM⊥OA，PN⊥OB，∠BOC＝30°，PM＝PN，则∠AOB＝　60°　．

【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据角平分线的性质定理得逆定理得到OP平分∠AOB，从而得到∠AOB的度数．
【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN，
∴OP平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠BOC＝2×30°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
15．（2022春•郧阳区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且S1+S2＝2π，则AB的长为 　4　．

【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，则＝π（AC2+BC2）＝2π，可得答案．
【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∴＝π（AC2+BC2）＝2π，
∴AC2+BC2＝16，
∴AB＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了勾股定理，半圆面积的求法等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（2022春•汉寿县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是线段AB的垂直平分线，已知∠CBD＝∠ABD，则∠A＝　36°　．

【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠DBA，根据直角三角形的两锐角互余列式计算，得到答案．
【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵∠CBD＝∠ABD，
∴∠ABC＝3∠CBD，
∴∠A＝2∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，即2∠DBC+2∠DBC+∠DBC＝90°，
解得，∠DBC＝18°，
∴∠A＝36°．
故答案为：36°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．（2022春•碑林区校级期中）△ABC的三边分别是a，b，c，化简|a﹣b+c|+|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|的结果为 　b+c﹣a　．
【考点】三角形三边关系；绝对值．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的三边关系定理得出a+c＞b，b+c＞a，a+c＞b，再去掉绝对值符号后合并同类项即可．
【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，
∴|a﹣b+c|+|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|
＝（a﹣b+c）﹣（a﹣c﹣b）+（b﹣c﹣a）
＝a﹣b+c﹣a+c+b+b﹣c﹣a
＝b+c﹣a．
故答案为：b+c﹣a．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，绝对值的应用，完全平方公式，主要考查学生的计算和化简能力，题目比较好，难度适中．
18．（2022春•鄞州区期中）如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE＝2OF．则△ABC的面积与△AOC的面积之比为 　3　．

【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的中位线定理，可得EF∥BC，EF＝BC，再求出OE与BC的关系，然后利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∵OE＝2OF，
∴OE＝EF＝×BC＝BC，
设点A到BC的距离为h，
则S△ABC＝BC•h，S△AOC＝OE•h＝×BC•h＝BC•h，
∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
19．（2022春•西城区校级期中）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则∠ACB﹣∠DCE＝　45　°．

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠CGA＝90°，从而知△CGA是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠ACB﹣∠DCE＝∠CAG，即可得解．
【解答】解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AG2＝CG2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，
∴AG2+CG2＝AC2，
∴∠CGA＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠CAG＝45°，
∵AF∥BC，
∴∠CAF＝∠BCA，
在△AFG和△CDE中，
，
∴△AFG≌△CDE（SAS），
∴∠FAG＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCE＝∠CAF﹣∠FAG＝∠CAG＝45°．
故答案为：45．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
20．（2022•河东区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上．
（Ⅰ）线段AC的长等于 　　；
（Ⅱ）在射线BC上有两点P，Q，满足AP⊥BC且∠AQC＝∠BAP，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，点Q，并简要说明点P，点Q的位置是如何找到的（不要求证明）．

【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】网格型；推理能力．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理可得答案；
（Ⅱ）延长BC过格点P，则点P满足AP⊥BC，取格点D，连接AD交射线BC于点Q，则点Q即满足∠AQC＝∠BAP．
【解答】解：（Ⅰ）由勾股定理得，AC＝＝，
故答案为：；
（Ⅱ）如图，点P，点Q即为所求．

延长BC过格点P，则点P满足AP⊥BC，取格点D，连接AD交射线BC于点Q，则点Q即满足∠AQC＝∠BAP．
【点评】本题主要考查了勾股定理，过一个点作已知直线的垂线等知识，熟练掌握网格中垂线的作法是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2022春•渝中区校级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△CHB是直角三角形，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；

（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
答：原来的路线AC的长为1.25千米．

【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
22．（2022春•确山县期中）某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（AE＝5米）靠在宣传牌（AB）A处，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌（AB）的B处，而底端E向外移到了1米到C处（CE＝1米）．测量得BM＝4米．求宣传牌（AB）的高度（结果用根号表示）．

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】直接利用勾股定理得出EM，AM的长，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：AE＝BC＝5米，BM＝4米，EC＝1米，
在Rt△MBC中，MC＝＝3（米），
则EM＝3﹣1＝2（米），
在Rt△AEM中，AM＝＝（米），
故AB＝AM﹣BM＝（﹣4）米，
答：宣传牌（AB）的高度为（﹣4）米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
23．（2022春•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，给定线段MN和图形F，给出如下定义：
平移线段MN至M'N'，使得线段M'N'上的所有点均在图形F上或其内部，则称该变换为线段MN到图形F的平移重合变换，线段MM'的长度称为该次平移重合变换的平移距离，其中，所有平移重合变换的平移距离中的最大值称为线段MN到图形F的最大平移距离，最小值称为线段MN到图形F的最小平移距离．
如图1，点A（1，0），P（﹣1，），Q（5，）
（1）①在图1中作出线段OA到线段PQ的平移重合变换（任作一条平移后的线段O'A'）；
②线段OA到线段PQ的最小平移距离是 　　，最大平移距离是 　　．
（2）如图2，作等边△PQR（点R在线段PQ的上方），
①求线段OA到等边△PQR最大平移距离．
②点B是坐标平面内一点，线段OB的长度为1，线段OB到等边△PQR的最小平移距离的最大值为 　+1　，最大平移距离的最小值为 　2﹣1　．


【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）①依照题意画出图形即可；
②当OA沿y轴平移到PQ上时，有最小平移距离为，如图，当点A'与点Q重合时，有最大平移距离OO'的长；
（2）①当O'在BP上，点A'在RQ时，线段OA到等边△PQR有最大平移距离为OO'的长，由等边三角形的性质和勾股定理可求解；
②找出特殊位置，由平移的性质可求解．
【解答】解：（1）①如图所示：

②当OA沿y轴平移到PQ上时，有最小平移距离为，
如图，当点A'与点Q重合时，有最大平移距离OO'的长，

∵O'Q＝OA＝1，
∴OO'＝＝，
故答案为：，；
（2）①如图，当O'在BP上，点A'在RQ时，线段OA到等边△PQR有最大平移距离为OO'的长，

过点R作RH⊥PQ于H，交A'O'于点N，延长A'O'交y轴于M，
∵△PQR是等边三角形，P（﹣1，），Q（5，），RH⊥PQ，
∴PQ＝6，PH＝3，RH＝3，
∴R（2，4），
由平移可得：O'A'∥PQ，A'O'＝1，
∴∠RO'A'＝∠P＝60°，∠RA'O'＝∠Q＝60°，
∴△RA'O'是等边三角形，
∵RN⊥O'A'，
∴O'N＝，RN＝，
∴O'M＝，OM＝，
∴OO'＝＝，
∴线段OA到等边△PQR有最大平移距离为；
②如图，当点B坐标为（0，﹣1）时，将OB沿y轴平移，当点B'平移到PQ上时，线段OB到等边△PQR的最小平移距离为BB'的长，

∵OB＝1，P（﹣1，），Q（5，），
∴BB'＝+1，
∴线段OB到等边△PQR的最小平移距离为+1，
如图，连接OR，当点B在线段OR上时，将点B'与R重合时，线段OB到等边△PQR的最大平移距离的最小值为BB'的长，

∵R（2，4），
∴OR＝＝2，
∵OB＝1，
∴BB'＝2﹣1，
∴线段OB到等边△PQR的最大平移距离的最小值为2﹣1，
故答案为：+1，2﹣1．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，平移的性质，勾股定理等知识，掌握平移重合变换的平移距离的定义并运用是解题的关键．
24．（2022春•海淀区校级期中）在△ABC中，CD为AB边上的中线，点E在边AB上（不与点D重合），若∠CED＝90°，那么线段CD的中点P称为△ABC关于AB的“斜等点”（如图1所示）．

在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A与原点O重合，点B的坐标为（2t，0）（t＞0），点C在x轴上方．
（1）当t＝2时，若存在△ABC关于AB的“斜等点”点P，
①下列各点中，符合题意的点C可能是 　C2、C4　（不必写出坐标）．
C1（﹣3，2），C2（0，2），C3（2，4），C4（4，2）．
②设△ABC关于AB的“斜等点”P的坐标为（m，n），若CD＝4，则m的取值范围是 　1≤m≤3且m≠2　，n的取值范围是 　　．
（2）若△ABC关于AB的“斜等点”P为定点P（2，2），直接写出t的取值范围．
【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】新定义；推理能力．
【分析】（1）①首先可知D（2，0），然后根据点C的坐标，分别得出点E的坐标，进而进行判断；
②设点C（x，y），由斜等点的定义可知，当点C与点E的横坐标x的取值范围为0≤x≤4且0＜DE≤2，从而得出点C的纵坐标y的取值范围为2，再根据中点坐标公式可得答案；
（2）由定义可知，D（t，0），设C（x，y），0≤x≤2t且x≠t，再利用中点坐标公式得x＝4﹣t，从而解决问题．
【解答】解：（1）当t＝2时，B（4，0），
∵CD为AB边上的中线，
∴D（2，0），
①当C1（﹣3，2）时，
∵∠CED＝90°，
∴E（﹣3，0），此时点E不在AB边上，故不存在△ABC关于AB的“斜等点“，点P，
当C时，
∵∠CED＝90°，
∴E（0，0），此时点E与点A重合，此时存在△ABC关于AB的“斜等点“，点P，
当C3（2，4）时，
∵∠CED＝90°，
∴E（2，0），此时点E与点D重合，此时不存在△ABC关于AB的“斜等点“，点P，
当C4（4，2）时，
∵∠CED＝90°，
∴E（4，0），此时点E与点B重合，此时存在△ABC关于AB的“斜等点“，点P，
综上，符合题意的点C可能是C2、C4；
故答案为：C2、C4；
②设点C（x，y），由斜等点的定义可知，当点C与点E的横坐标x的取值范围为0≤x≤4且0＜DE≤2，
∵0＜DE≤2，∠CED＝90°，若CD＝4，则≤CE＜4，即2≤CE＜4，即点C的纵坐标y的取值范围为2，
∵点P是CD的中点，
∴m＝，n＝，
∴且m≠2，即1≤m≤3且m≠2，
，即，
故答案为：1≤m≤3且m≠2，；
（2）由定义可知，D（t，0），设C（x，y），0≤x≤2t且x≠t，
∵△ABC关于AB的“斜等点”P为定点P（2，2），
∴，
∴x＝4﹣t，
∴0≤4﹣t≤2t且4﹣t≠2，
解得且t≠2．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，中点坐标公式，解题的关键是理解“斜等点”的定义，根据中点坐标公式列不等式求解集．
25．（2022•川汇区一模）下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
题目背景：在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在AB上．
（1）作图探讨：在Rt△ABC外侧，以BC为边作△CBE≌△CAD；

小明：如图1，分别以B，C为圆心，以AD，CD为半径画弧交于点E，连接BE，CE．则△CBE即为所求作的三角形．
小军：如图2，分别过B，C作AB，CD的垂线，两条垂线相交于点E，则△CBE即为所求作的三角形．
选择填空：小明得出△CBE≌△CAD的依据是 　①　，小军得出△CBE≌△CAD的依据是 　③　；（填序号）
①SSS
②SAS
③ASA
④AAS
（2）测量发现：如图3，在（1）中△CBE≌△CAD的条件下，连接AE．兴趣小组用几何画板测量发现△CAE和△CDB的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段AC至F点，使CF＝CA，连接EF．请你完成证明过程．
（3）迁移应用：如图4，已知∠ABM＝∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB上，BC＝3，∠BCD＝15°，若在射线BM上存在点E，使S△ACE＝S△BCD，请直接写出相应的BE的长．
【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；三角形；推理能力．
【分析】（1）根据SSS、ASA定理判断即可；
（2）延长线段AC至F点，使CF＝CA，连接EF，证明△ECF≌△DCB，根据全等三角形的性质证明结论；
（3）过点C作CE⊥CD交BM于E，CH⊥BM于M，连接AC并延长交BM于F，根据等腰直角三角形的性质求出BH、CH，求出∠HCE＝30°，进而求出HE，得出BE的长，同理求出BE′．
【解答】解：（1）由小明的作法可知，AD＝BE，CD＝CE，
在△CBE和△CAD中，
，
∴△CBE≌△CAD（SSS），即小明得出△CBE≌△CAD的依据是①，
由小军的作法可知，∠ECB＝∠DCA，∠EBC＝∠DAC，
∴△CBE≌△CAD（ASA），即小军得出△CBE≌△CAD的依据是③，
故答案为：①；③；
（2）延长线段AC至F点，使CF＝CA，连接EF，
则CE是△AEF的中线，
∴S△ACE＝S△EFC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝90°，
∵△CBE≌△CAD，
∴CE＝CD，∠ECB＝∠DCA．
∴90°﹣∠ECB＝90°﹣∠DCA，即∠ECF＝∠DCB．
在△ECF和△DCB中，
，
∴△ECF≌△DCB（SAS）．
∴S△ECF＝S△DCB．
∴S△CAE＝S△CDB；
（3）过点C作CE⊥CD交BM于E，CH⊥BM于M，连接AC并延长交BM于F，
由（2）可知：S△ACE＝S△BCD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠CBM＝45°，
∴BH＝CH＝BC＝3，
∵∠BCD＝15°，
∴∠HCE＝90°﹣15°﹣45°＝30°，
∴HE＝CH•tan∠HCE＝，
∴BE＝BH+HE＝3+，
当E′F＝EF时，S△ACE＝S△ACE′，
∴S△ACE′＝S△BCD，
此时，BE′＝9﹣，
综上所述，BE的长为3+或9﹣．


【点评】本题考查的是三角形的面积计算、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
26．（2022春•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求AB，AC的长；
（2）求证：AE＝DF；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由直角三角形的性质和勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）利用已知用未知数表示出DF，AE的长，进而得出AE＝DF；
（3）利用①当∠EDF＝90°时；②当∠DEF＝90°时；③当∠EFD＝90°时，分别分析得出即可．
【解答】（1）解：设AB＝x，
∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2x．
由勾股定理得，（2x）2﹣x2＝（5 ）2，
解得：x＝5，
∴AB＝5，AC＝10；

（2）证明：由题意得，AE＝t，CD＝2t，则AD＝10﹣2t，
在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝CD＝t．
又∵AE＝t，
∴AE＝DF；
（3）解：当t＝秒或4秒时，△DEF为直角三角形，理由如下：
分情况讨论：
①∠EDF＝∠DFC＝90°时，则DE∥BC，

∴∠AED＝∠B＝90°，∠ADE＝∠C＝30°，
∴AD＝2AE，
∴10﹣2t＝2t，
∴t＝；
②∠DEF＝90°时，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AD∥EF，
∴∠BEF＝∠A＝60°
AD＝AE，
∴10﹣2t＝t，
∴t＝4．
③∠EFD＝90°时，此种情况不存在．
故当t＝秒或4秒时，△DEF为直角三角形．
【点评】此题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
27．（2022春•义乌市期中）如图，已知直线a⊥直线b，垂足为点O．将直角三角形纸板ABC的直角边AC放置在直线a上，线段AB（或射线AB）与直线b交于点D，直线CE∥AB交直线b于点E，AF平分∠DAO，EF平分∠DEC．设∠BAC＝x度，∠ABC＝y度，且x：y＝1：2．
（1）求x、y的值及∠ADO的度数；
（2）如图1，当A、C两点在点O的两侧时，求∠AFE的度数；
（3）将（2）中的三角形纸板沿CA方向平移，当A、C两点都移动到点O的左侧时如图2，请按题意在图2中画出图形，并判断∠AFE的度数与（2）的结果比较是否改变？若改变，直接写出此时∠AFE的度数；若不变，请说明理由．


【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；三角形；推理能力．
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余、结合题意计算求出x、y，根据平行线的性质求出∠ADO；
（2）连接AE，根据角平分线的性质分别求出∠FAO、∠FEO，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（3）根据题意画出图形，根据角平分线的定义、四边形内角和等于360°计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴x+y＝90，
∵x：y＝1：2，
∴x＝30，y＝60，
∵a⊥b，
∴OD∥BC，
∴∠ADO＝∠ABC＝60°；
（2）如图1，连接AE，
∵CE∥AB，
∴∠CEO＝∠ADO＝60°，
∵AF平分∠DAO，EF平分∠DEC，
∴∠FAO＝∠BAC＝15°，∠FEO＝∠CEO＝30°，
∵∠OAE+∠OEA＝90°，
∴∠FAE+∠FEA＝135°，
∴∠AFE＝180°﹣135°＝45°；
（3）画出图形如图2所示，
∠AFE的度数与（2）的结果比较改变，∠AFE＝135°，
∵CE∥AB，
∴∠CEO＝∠ADO＝60°，
∴∠CED＝120°，
∵AF平分∠DAO，EF平分∠DEC，
∴∠FAO＝∠BAC＝15°，∠CEF＝∠CED＝60°，
∴∠AFE＝360°﹣∠FAO﹣∠AOE﹣∠OEF＝135°．


【点评】本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质、多边形内角和，正确画出图形、掌握平行线的性质是解题的关键．
28．（2022•甘井子区校级模拟）在△ABC中，AB＝AC．∠BAC＝90°，点D在AC上，连接BD，点E在BD上，连接AF，CE，∠AED＝45°．
（1）如图1，过点C作CM⊥BD交BD延长线于点M，试探究CM和BE的数量关系，并证明；
（2）如图2，过点A作AF⊥CE于点F，交BD于点G，求证：EC＝2AG；
（3）若CD＝kAD，求的值（用含k的式子表示）．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质得出∠AMB＝∠ACB，进而利用SAS证明△ACM≌△ABE解答；
（2）过点C作CM⊥BD，延长线于点M，过点A作AP⊥BD于点P，连接AM，根据相似三角形的判定和性质解答即可；
（3）根据相似三角形的判定和性质得出比例关系解答即可．
【解答】（1）解：CM＝BE，证明：连接AM，

∵CM⊥BM，
∴∠CMD＝90°，
∵∠BAC＝90°，∠ADB＝∠MDC，
∴△ABD∽△MCD，
∴，
∵∠ADM＝∠CDB，
∴△ADM∽△BDC，
∴∠AMB＝∠ACB＝45°，
∵∠AEM＝45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴△ACM≌△ABE（SAS），
∴CM＝BE；
（2）证明：过点C作CM⊥BD，延长线于点M，过点A作AP⊥BD于点P，连接AM，

由（1）可知△AEM是等腰直角三角形，
∴AP＝EM，
∵∠APG＝∠AFE＝90°，∠AGP＝∠FGE，
∴∠PAG＝∠FEG，
∴△AGP∽△ECM，
∴，
∴EC＝2AG，
（3）解：，由（2）可知△AGP∽△ECM，
∴，
∴MC＝2PG，
∴△ADP∽△CDM，
∴，
∴CM＝kAP，
设AP＝x，则CM＝kx，
∴PG＝kx，
∵AP＝EP，
∴EG＝x﹣kx，AE＝x，
∴．
【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答．
29．（2022•景县校级模拟）如图，AD是△ABC的高，BD＝3，AD＝DC＝4，P是边AB上一动点，过点P作BC的平行线l，交AD于点E，交AC于点F，Q是直线l上一动点，点P从点B出发，沿BA匀速运动，点Q从点P出发沿直线l向右匀速运动，当点P运动到点A时，P，Q同时停止．设点P与点Q在同一时刻开始运动，且运动速度相同，点P的运动距离是x．
（1）求运动过程中，点P与点C之间的最短距离；
（2）当直线l平分△ABC的面积时，求x的值；
（3）求点Q与边AC的距离（用含x的代数式表示）；
（4）当点Q与点C之间的距离小于时，直接写出x的取值范围．


【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于点H．利用面积法求出CH，可得结论；
（2）根据面积关系构建方程求解即可；
（3）如图2中，过点Q作QT⊥AC于点T．证明QT＝QF，可得结论；
（4）如图3中，因为QC＜，所以点Q在射线EF上，过点Q作QR⊥BC于点R，连接QC．求出QC＝时，x的值，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于点H．

∵AD⊥CB，AD＝4，BD＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝•BC•AD＝•AB•CH，
∴CH＝＝，
根据垂线段最短可知，当点P与K重合时，CP的值最小，最小值为；

（2）由题意BP＝x，则AP＝5﹣x，AE＝EF＝（5﹣x），PE＝（5﹣x），
∵直线l平分△ABC的面积，
∴×（5﹣x）×（5﹣x）+×（5﹣x）×（5﹣x）＝××7×4，
解得x＝5﹣（负根已经舍去）．

（3）如图2中，过点Q作QT⊥AC于点T．

∵∠AC＝90°，DA＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝45°，
∵直线l∥BC，
∴∠EFA＝∠C＝45°，
∵QT⊥AC，
∴∠QTC＝90°，
∴QT＝QF•sin45°＝QF，
∵QF＝PF﹣PQ＝（5﹣x）+（5﹣x）﹣x＝7﹣x，
∴QT＝﹣x；

（4）如图3中，∵QC＜，
∴点Q在射线EF上，
过点Q作QR⊥BC于点R，连接QC．

当QC＝时，∵CQ2＝QR2+CR2，
∴[4﹣（5﹣x）]2+{4﹣[x﹣（5﹣x）]}2＝（）2，
整理得64x2﹣448x+735＝0
∴x＝或，
∴当＜x＜时，点Q与点C之间的距离小于．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
30．（2022•秀山县模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．△BDE中，∠BDE＝90°，DB＝DE．
（1）图1中，点D是AC上一点，若AD＝1，求BE的长；
（2）图2中，点D是AC上一点，点M是BE的中点，求证：BD＝CM；
（3）图3中，点N是AB的中点，点D是平面内一个动点，若AD＝1，当∠CNE的度数最大时，NE的长是多少？


【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）如图2中，连接CE，证明△ABD∽△CBE，推出∠A＝∠BCE＝90°，由点M是BE的中点，推出CM＝BE，可得结论；
（3）判断出点E在以C为圆心，为半径的圆上运动，当NE与⊙C相切时，∠CNE最大．
【解答】（1）解：如图1中，∵∠A＝90°，AB＝4，AD＝1，
∴BD＝＝＝，
∵BD＝BE，∠BDE＝90°，
∴BE＝BD＝；

（2）证明：如图2中，连接CE，

∵△ABC和△BDE是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠DBE＝45°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵＝＝，
∴△ABD∽△CBE，
∴∠A＝∠BCE＝90°，
∵点M是BE的中点，
∴CM＝BE，
∵BE＝BD，
∴CM＝BD，
∴BD＝CM．

（3）如图2，

由（2）得，
△ABD∽△CBE，
∴＝＝，
∴CE＝AD＝，
∴点E在以C为圆心，为半径的圆上运动，
当NE与⊙C相切时，∠CNE最大，
此时，∠CEN＝90°，
在Rt△ACN中，
CN2＝AC2+AN2＝42+22＝20，
在Rt△CNE中，
NE＝＝＝3．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，圆的切线性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．

考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
4．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
5．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
7．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
8．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
9．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

10．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
11．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
12．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
13．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
14．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
15．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
16．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
17．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

18．三角形综合题
三角形综合题．