2022年中考数学复习训练题（含解析）----尺规作图

这是一份2022年中考数学复习训练题（含解析）----尺规作图，共53页。试卷主要包含了如图，∠AOB＜60°等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习新题速递之尺规作图（2022年5月）
一．选择题（共15小题）
1．（2022•新野县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，分别以点A、O为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交x轴于点B，C是MN上一点，连接AC、OC，将OC绕点O逆时针旋转60°，点C落到点D处，CD交y轴于点E．若∠OCA＝60°，点A的坐标是（6，0），则点D关于x轴对称的点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
2．（2022•让胡路区校级开学）利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（　　）
A．已知三边
B．已知两边及其夹角
C．已知两角及其夹边
D．已知两边及其中一边的对角
3．（2022•邯山区模拟）已知∠A，线段a，如图是用直尺，三角板和圆规作菱形ABCD（边长为a）的步骤，它的依据是（　　）

A．四条边都相等的四边形是菱形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．（2021秋•长春期末）如图，∠AOB＜60°．
（1）以点O为圆心，任意长为半径作，分别交射线OA、OB于点C、D，连结CD；
（2）分别以点C、D为圆心，CD长为半径作圆弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．下列结论中错误的是（　　）

A．∠AOP＝∠BOP B．CP＝2QC C．CD⊥OP D．CP∥OB
5．（2022春•鄞州区期中）如图，用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022•张家口一模）如图，平行四边形ABCD中，∠A＝80°，∠ADB＝36°，点E为BC的中点．按以下步骤作图：
①以点E为圆心、任意长为半径画弧，交BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线EP交BD于点F，连接CF．
则∠DCF＝（　　）

A．36° B．38° C．44° D．46°
7．（2022•虞城县二模）如图矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧分别交于G，H两点，作直线GH交CD于点E，连接AE，点D关于AE的对称点为点M，作射线AM交BC于点N，则CN的长为（　　）

A． B．4 C． D．5
8．（2022•遵义模拟）如图，已知线段AB＝12，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，以m的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线，则m的长可能是（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4
9．（2022春•仓山区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝AB＝10，则AE的长为（　　）

A．10 B． C． D．
10．（2022•济阳区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知BC＝5，AD＝6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（　　）

A．4 B．5 C． D．2
11．（2022•新都区模拟）如图，在直角坐标系的x轴负半轴和y轴正半轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于第二象限的点N，若点N的坐标为（2﹣n，2n﹣6），则n的值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2022•石家庄一模）如图1和图2，已知点P是⊙O上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与⊙O相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A，连接并延长OA，再在OA上截取AB＝OP，直线PB即为所求；
乙：如图2，作直径PA，在⊙O上取一点B（异于点P，A），连接AB和BP，过点P作∠BPC＝∠A，则直线PC即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　）


A．甲、乙两人的作法都正确
B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．甲的作法错误，乙的作法正确
13．（2022•东营区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α的度数为（　　）

A．50° B．55° C．45° D．60°
14．（2022•青龙县一模）如图，对于几何作图“过直线l外一点P作这条直线的平行线”，甲、乙两位同学均设计自己的尺规作图的方案：
甲：在直线l上取点A，以点P为圆心，PA为半径画圆，交直线l于另一点B，然后作直径AC，最后作∠CPB的平分线PQ，PQ所在的直线即为所求；
乙：在直线l上取A、B两点（B点在A点的右侧），分别以点P为圆心，AB为半径，以点B为圆心，PA为半径画弧，两弧相交于Q点（点Q和点A在直线PB的两旁），PQ所在的直线即为所求．
对于以上两个方案，判断正确的是（　　）

A．甲、乙均正确 B．甲错误、乙正确
C．甲正确、乙错误 D．甲、乙均错误
15．（2022•柳江区一模）通过如下尺规作图，能使DA+DB＝BC的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共15小题）
16．（2022•铜仁市一模）如图，在△ABC中，BC＝8，AC＝6按下列步骤作图：
步骤1：以点C为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交BC、AC于点D、E；
步骤2：分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点M；
步骤3：作射线CM交AB于点F，若AF＝4.5，则AB＝　 　．

17．（2022春•北京期中）在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：经过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l和l外一点A．
求作：直线l的平行线，使它经过点A．
小明同学的作法如下：
如图2，
（1）在l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧交直线l于点C；
（2）分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于D点；
（3）作直线AD．直线AD即为所求作的平行线．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明的作图依据是 　 　．

18．（2022•昆明模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交AC，AB于点D和点E，连接BD，若△ABC的周长为24，AB＝10，则△BCD的周长为 　 　．

19．（2022•海淀区一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点，请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等．

20．（2022•锦江区模拟）如图，已知线段AB＝8，分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧交于点P，Q，作直线PQ，连接PA，PB，QA，QB．若AP＝5，则四边形APBQ的面积为 　 　．

21．（2022春•朝阳区校级期中）在数学课上，王老师拿出一张如图1所示的长方形A4纸（对边AB∥CD，AD∥BC，四个角都是直角），要求同学们用直尺和量角器在AB边上找一点E，使∠AEC＝150°．
（1）甲同学的思路：在AB边上任取一点E，以E为顶点，以AE为一边，用量角器作150°角，则∠AEC即为所求．
（2）乙同学的思路：以CD为始边，在长方形的内部，利用量角器作∠DCE＝30°，射线CF与AB交于点E，如图2所示，则∠AEC即为所求．
你支持 　 　同学的思路，作图依据是 　 　．


22．（2022•河北区一模）如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以AB为直径作圆，点M为的中点．
（Ⅰ）线段AB的长度等于 　 　．
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得∠MAP＝3∠BMP，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．

23．（2022春•长沙期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，分别以点A，点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则△ABD的周长为 　 　．

24．（2022•温江区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若AB＝5，BC＝3，则线段AD的长为 　 　．

25．（2022•红桥区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，以AB为直径的半圆的圆心为O．
（Ⅰ）AB的长等于 　 　；
（Ⅱ）设P是半圆上的动点，Q是线段PC的中点．当△QOC的面积最大时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点Q，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）．

26．（2022•武侯区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，按以下步骤作图：
①以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧交于点E，F；
②连接EF，交AC于点G，连接BG．若AB＝6，则△BCG的周长为 　 　．

27．（2022•兰州模拟）如图，已知△ABC中，AB＝AC，小明用直尺和圆规按下列步骤完成作图：
①在AB和AC上分别截取AD，AE，使AD＝AE，再分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交BC于点G；
②以点B为圆心，以BC的长为半径作弧，交AC于点H，再分别以点C，H为圆心，以大于CH的长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线BM交AC于点N；
若AB＝2，BC＝4，则BN＝　 　．

28．（2022•山西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交CA，CB于点D，E，再以D，E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F，连接CF并延长，交AB于点P，称点P为线段AB的白银分割点，若PB＝，则AP＝　 　．

29．（2022春•南岸区期中）如图，有一所小学与中学分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，方便两所学校的交流．已知小学离较近街道的一边距离为200米，中学离较近街道的一边距离为300米，小学与中学的水平距离为500米，街道宽度为700米（街道两边平行）．请问天桥建在何处才能使由小学到中学的路线最短（天桥必须与街道垂直）？请在图中画出修建的位置，并计算出最短路线的距离为 　 　米．

30．（2022•西青区一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B．C均为格点，且都在同一个圆上，
（Ⅰ）AB的长度等于 　 　；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺在给定的网格中，画出圆的切线CD．并简要说明点D的位置是如何找到的．


2022年中考数学复习新题速递之尺规作图（2022年5月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2022•新野县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，分别以点A、O为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交x轴于点B，C是MN上一点，连接AC、OC，将OC绕点O逆时针旋转60°，点C落到点D处，CD交y轴于点E．若∠OCA＝60°，点A的坐标是（6，0），则点D关于x轴对称的点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【考点】作图—基本作图；关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；推理能力．
【分析】直接利用基本作图方法得出直线MN垂直平分OA，再利用等边三角形的判定与性质，结合旋转的性质、勾股定理得出答案．
【解答】解：由作图方法可得，直线MN垂直平分OA，
则CO＝AC，
又∠OCA＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝6，
∵将OC绕点O逆时针旋转60°，
∴∠COD＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DCO＝∠COA＝60°，
∴DC∥AO，
∴DE＝EC＝DC＝3，
∴EO＝＝3，
∴D（﹣3，3），
∴点D关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣3）．
故选：A．

【点评】此题主要考查了基本作图以及等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．
2．（2022•让胡路区校级开学）利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（　　）
A．已知三边
B．已知两边及其夹角
C．已知两角及其夹边
D．已知两边及其中一边的对角
【考点】作图—复杂作图；三角形；全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】作图题；推理能力．
【分析】根据三角形全等的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：A．已知三边可作出唯一三角形，所以A选项不符合题意；
B．已知两边及其夹角可作出唯一三角形，所以B选项不符合题意；
C．已知两角及其夹边可作出唯一三角形，所以C选项不符合题意；
D．已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
3．（2022•邯山区模拟）已知∠A，线段a，如图是用直尺，三角板和圆规作菱形ABCD（边长为a）的步骤，它的依据是（　　）

A．四条边都相等的四边形是菱形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；菱形的判定．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】利用作法得到AD＝AB＝a，∠DAB＝∠A，CD∥AB，BC∥AD，则根据菱形的判定方法可对各选项进行判断．
【解答】解：由作法得AD＝AB＝a，∠DAB＝∠A，再过D点作AB的平行线，最后过B点作了AD的平行线得到C点，
因为CD∥AB，BC∥AD，
所以四边形ABCD为平行四边形，
因为AD＝AB，
所以四边形ABCD为菱形．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质和菱形的判定．
4．（2021秋•长春期末）如图，∠AOB＜60°．
（1）以点O为圆心，任意长为半径作，分别交射线OA、OB于点C、D，连结CD；
（2）分别以点C、D为圆心，CD长为半径作圆弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．下列结论中错误的是（　　）

A．∠AOP＝∠BOP B．CP＝2QC C．CD⊥OP D．CP∥OB
【考点】作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】利用基本作图得到OP平分∠AOB，OC＝OD，PC＝PD＝CD，则可对A选项进行判断；先证明△PCD为等边三角形得到∠CPD＝60°，再证明OP垂直平分CD，则可对C选项进行判断；由于CQ＝DQ，则PC＝2CQ，于是可对B选项进行判断；利用∠CPO＝30°，∠BOP＜30°可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得OP平分∠AOB，OC＝OD，PC＝PD＝CD，
∴∠AOP＝∠BOP，所以A选项不符合题意；
∵PC＝PD＝CD，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠CPD＝60°，
∵OC＝OD，PC＝PD，
∴OP垂直平分CD，所以C选项不符合题意；
∴CQ＝DQ，
∴PC＝2CQ，所以B选项不符合题意；
∵∠CPO＝30°，
∠BOP＜30°，
∴PC与OB不平行，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
5．（2022春•鄞州区期中）如图，用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质；菱形的性质；菱形的判定．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】根据菱形的性质和平行四边形的性质即可判断．
【解答】解：（A）如图，由作图过程可知：OB＝OD，

∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
根据线段的垂直平分线的性质可知AB＝AD，
所以一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；
（B）∵AD∥BC且AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；
（C）如图，由作图过程可知：∠EAB＝∠FAB，∠ECD＝∠FCD，

∵四边形AECF是平行四边形，
∴∠EAF＝∠FCE，AE＝CF，∠E＝∠F，
∴∠EAB＝∠FCD，
∴△AEB≌△CFD（ASA），
∴BE＝DF，AB＝DC，
∵AF＝EC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不是菱形，不符合题意；
（D）如图，根据作图过程可知：
∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA，
∵AC＝AC，
∴△ADC≌△ABC（ASA），
∴∠ABC＝∠ADC，AD＝AB，
∴∠ABE＝∠CDF，

∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，∠E＝∠F，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴BC＝AD，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了复杂作图，菱形的判定等知识解决本题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2022•张家口一模）如图，平行四边形ABCD中，∠A＝80°，∠ADB＝36°，点E为BC的中点．按以下步骤作图：
①以点E为圆心、任意长为半径画弧，交BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线EP交BD于点F，连接CF．
则∠DCF＝（　　）

A．36° B．38° C．44° D．46°
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；推理能力．
【分析】利用平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，求出∠BCD＝80°，∠FCB＝36°可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠ADB＝∠DBC＝36°，
由作图可知EF垂直平分BC，
∴FB＝FC，
∴∠FCB＝∠FBC＝∠ADB＝36°，
∵∠BCD＝∠A＝80°，
∴∠DCF＝80°﹣36°＝44°，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（2022•虞城县二模）如图矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧分别交于G，H两点，作直线GH交CD于点E，连接AE，点D关于AE的对称点为点M，作射线AM交BC于点N，则CN的长为（　　）

A． B．4 C． D．5
【考点】作图—基本作图；轴对称的性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】如图，延长AE交BC的延长线于点T．利用全等三角形的性质证明AD＝CT＝6，再证明AN＝TN，利用勾股定理，可得结论．
【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于点T．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝6．AD∥CB，
∴∠T＝∠DAE，
由作图可知DE＝EC，
在△ADE和△TCE中，
，
∴△ADE≌△TCE（AAS），
∴AD＝CT＝6，
∵D，M关于AT对称，
∴∠DAE＝∠NAT，
∴∠T＝∠NAT，
∴AN＝NT＝6+CN，
在Rt△ABN中，AN2＝AB2+BN2，
∴（6+CN）2＝102+（6﹣CN）2，
∴CN＝，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，矩形的性质，轴对称变换，线段的垂直平分线等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2022•遵义模拟）如图，已知线段AB＝12，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，以m的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线，则m的长可能是（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；应用意识．
【分析】利用基本作图得到m＞AB，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得m＞AB，
即m＞6，
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
9．（2022春•仓山区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝AB＝10，则AE的长为（　　）

A．10 B． C． D．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】设AE交BF于点O，证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【解答】解：设AE交BF于点O，连接EF，如图所示：
由题意可知：AB＝AF，AE⊥BF，
∴OB＝OF，∠BAE＝∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF＝BF＝5，
在Rt△AOB中，OA＝＝＝5，
∴AE＝2OA＝10．
故选：C．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF是菱形．
10．（2022•济阳区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知BC＝5，AD＝6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（　　）

A．4 B．5 C． D．2
【考点】作图—基本作图；轴对称﹣最短路线问题；角平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M′，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC，然后根据S△ABC＝•BC•AD＝•AC•BH，可得BH＝．作点H关于AD的对称点交AB于点N，连接M′N，可得M′H＝M′N，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M′，

由作图可知，AD平分∠BAC，BM⊥AC，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝，
∵AD＝6．
∴AC＝＝＝，
∵S△ABC＝•BC•AD＝•AC•BH，
∴5×6＝BH，
∴BH＝．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
作点H关于AD的对称点交AB于点N，连接M′N，
∴M′H＝M′N，
∴BH＝BM′+M′H＝BM′+M′N，
则BM+MN的最小值为．
故选C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．（2022•新都区模拟）如图，在直角坐标系的x轴负半轴和y轴正半轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于第二象限的点N，若点N的坐标为（2﹣n，2n﹣6），则n的值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；平面直角坐标系；几何直观．
【分析】由作图可知，点N在∠AOB的角平分线上，推出点N的横坐标与纵坐标互为相反数，由此即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，点N在∠AOB的角平分线上，两弧交于第二象限的点N，
∴点N的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴2﹣n+2n﹣6＝0，
∴n＝4，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（2022•石家庄一模）如图1和图2，已知点P是⊙O上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与⊙O相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A，连接并延长OA，再在OA上截取AB＝OP，直线PB即为所求；
乙：如图2，作直径PA，在⊙O上取一点B（异于点P，A），连接AB和BP，过点P作∠BPC＝∠A，则直线PC即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　）


A．甲、乙两人的作法都正确
B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．甲的作法错误，乙的作法正确
【考点】作图—复杂作图；圆周角定理；切线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】甲乙都是正确的，根据切线的判定定理证明即可．
【解答】解：甲正确．
理由：如图1中，连接PA．
∵AP＝PO＝AO，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠OPA＝∠OAP＝60°，
∵AB＝OP＝AP，
∴∠APB＝∠ABP，
∵∠OAP＝∠APB+∠ABP，
∴∠APB＝∠ABP＝30°，
∴∠OPB＝90°，
∴OP⊥PB，
∴PB是⊙O的切线，
乙正确．
理由：∵AP是直径，
∴∠ABP＝90°，
∴∠APB+∠PAB＝90°，
∵∠BPC＝∠BAP，
∴∠APB+∠BPC＝90°，
∴∠OPB＝90°，
∴OP⊥PB，
∴PB是⊙O的切线，
故选：A．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．（2022•东营区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α的度数为（　　）

A．50° B．55° C．45° D．60°
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】由作图可知AT平分∠CAB，TQ垂直平分线段AB，求出∠TAQ，可得结论．
【解答】解：如图，

∵∠C＝90°，∠B＝20°，
∴∠CAB＝90°﹣20°＝70°，
由作图可知AT平分∠CAB，TQ垂直平分线段AB，
∴∠TAQ＝∠CAB＝35°，∠AQT＝90°，
∴α＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（2022•青龙县一模）如图，对于几何作图“过直线l外一点P作这条直线的平行线”，甲、乙两位同学均设计自己的尺规作图的方案：
甲：在直线l上取点A，以点P为圆心，PA为半径画圆，交直线l于另一点B，然后作直径AC，最后作∠CPB的平分线PQ，PQ所在的直线即为所求；
乙：在直线l上取A、B两点（B点在A点的右侧），分别以点P为圆心，AB为半径，以点B为圆心，PA为半径画弧，两弧相交于Q点（点Q和点A在直线PB的两旁），PQ所在的直线即为所求．
对于以上两个方案，判断正确的是（　　）

A．甲、乙均正确 B．甲错误、乙正确
C．甲正确、乙错误 D．甲、乙均错误
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】根据要求作出图形，再利用平行线的判定证明即可．
【解答】解：甲所画如图所示，∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵PQ平分∠CPB，
∴∠CPQ＝∠BPQ，
∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA＝∠CPQ+∠BPQ，
∴∠PBA＝∠BPQ，
∴PQ∥l，
∴甲正确．
乙所画如图所示，∵PA＝BQ，PQ＝AB，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴PQ∥l，
∴乙正确．
故选：A．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．
15．（2022•柳江区一模）通过如下尺规作图，能使DA+DB＝BC的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
【解答】解：选项D中，连接AD．

由作图可知，直线DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴DA+DB＝DC+DB＝BC，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
二．填空题（共15小题）
16．（2022•铜仁市一模）如图，在△ABC中，BC＝8，AC＝6按下列步骤作图：
步骤1：以点C为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交BC、AC于点D、E；
步骤2：分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点M；
步骤3：作射线CM交AB于点F，若AF＝4.5，则AB＝　10.5　．

【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】由作法得CF平分∠ACB，根据角平分线的性质得到点F到CA和CB的距离相等，则利用三角形面积公式得到FA：FB＝CA：CB，然后利用比例性质求出FB，最后计算AF+BF即可．
【解答】解：由作法得CF平分∠ACB，
∴点F到CA和CB的距离相等，
∴S△CAF：S△CBF＝CA：CB，
∵S△CAF：S△CBF＝FA：FB，
∴FA：FB＝CA：CB，
即4.5：FB＝6：8，
∴FB＝6，
∴AB＝AF+BF＝4.5+6＝10.5．
故答案为：10.5．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
17．（2022春•北京期中）在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：经过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l和l外一点A．
求作：直线l的平行线，使它经过点A．
小明同学的作法如下：
如图2，
（1）在l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧交直线l于点C；
（2）分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于D点；
（3）作直线AD．直线AD即为所求作的平行线．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明的作图依据是 　四边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行　．

【考点】作图—基本作图；平行线；平行线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】利用作法得到AB＝BC＝AD＝CD，则四边形为菱形，从而得到AD∥BC
【解答】解：连接CD，如图2，
小明的作图依据是四边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．
故答案为：四边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的判定与性质．
18．（2022•昆明模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交AC，AB于点D和点E，连接BD，若△ABC的周长为24，AB＝10，则△BCD的周长为 　14　．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，利用等线段代换得到△BCD的周长＝AC+BC，然后利用△ABC的周长为24，AB＝10求解．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BCD的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC，
∵△ABC的周长为24，AB＝10，
∴AC+BC＝24﹣10＝14，
∴△BCD的周长为14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
19．（2022•海淀区一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点，请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等．

【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】利用全等三角形的判定方法画图．
【解答】解：如图，△DEF为所作．




【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
20．（2022•锦江区模拟）如图，已知线段AB＝8，分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧交于点P，Q，作直线PQ，连接PA，PB，QA，QB．若AP＝5，则四边形APBQ的面积为 　24　．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】利用基本作图得到PQ垂直平分AB，AQ＝AP，设PQ交AB于O，如图，则PQ⊥AB，OA＝OB＝AB＝4，再利用勾股定理计算出OP＝3，OQ＝3，然后根据三角形面积公式计算四边形APBQ的面积．
【解答】解：由作法得PQ垂直平分AB，AQ＝AP，
PQ交AB于O，如图，
∴PQ⊥AB，OA＝OB＝AB＝4，
在Rt△POA中，OP＝＝＝3，
同理可得OQ＝3，
∴四边形APBQ的面积＝×8×（3+3）＝24．
故答案为：24．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
21．（2022春•朝阳区校级期中）在数学课上，王老师拿出一张如图1所示的长方形A4纸（对边AB∥CD，AD∥BC，四个角都是直角），要求同学们用直尺和量角器在AB边上找一点E，使∠AEC＝150°．
（1）甲同学的思路：在AB边上任取一点E，以E为顶点，以AE为一边，用量角器作150°角，则∠AEC即为所求．
（2）乙同学的思路：以CD为始边，在长方形的内部，利用量角器作∠DCE＝30°，射线CF与AB交于点E，如图2所示，则∠AEC即为所求．
你支持 　乙　同学的思路，作图依据是 　三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．　．


【考点】作图—应用与设计作图；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】支持乙同学的思路．利用三角形的外角的性质证明即可．
【解答】解：支持乙同学的思路．
如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠DCB＝90°，
∵∠DCE＝30°，
∴∠ECB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AEC＝∠B+∠ECB＝90°+60°＝150°．
作图依据是：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，矩形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2022•河北区一模）如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以AB为直径作圆，点M为的中点．
（Ⅰ）线段AB的长度等于 　　．
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得∠MAP＝3∠BMP，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．

【考点】作图—复杂作图；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；
（Ⅱ）取格点T，连接AT，BT，AT交⊙O于点Q，连接BQ，取BT的中点R，连接OR交⊙O于点P（此时OP⊥BQ），连接MP，AP，点P即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝，
故答案为：；


（Ⅱ）如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23．（2022春•长沙期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，分别以点A，点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则△ABD的周长为 　11　．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质求解即可．
【解答】解：由作图可知MN垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝4+7＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（2022•温江区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若AB＝5，BC＝3，则线段AD的长为 　　．

【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE＝DC，再利用勾股定理计算出AC＝4，然后利用面积法得到•DE×5+•CD×3＝×3×4，最后解方程即可．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，
∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，
∴•DE×5+•CD×3＝×3×4，
即5CD+3CD＝12，
∴CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质．
25．（2022•红桥区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，以AB为直径的半圆的圆心为O．
（Ⅰ）AB的长等于 　5　；
（Ⅱ）设P是半圆上的动点，Q是线段PC的中点．当△QOC的面积最大时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点Q，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）．

【考点】作图—复杂作图；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解；
（Ⅱ）当OP⊥OC时，△QOC的面积最大．
【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝5，
故答案为：5；

（Ⅱ）如图点Q即可所求．

作法：①取格点T，连接OT延长OT交⊙O于点P．
②连接PC，利用平行线等分线段定理，作出PC的中点Q，即可．
点Q即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，平行线等分线段定理等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
26．（2022•武侯区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，按以下步骤作图：
①以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧交于点E，F；
②连接EF，交AC于点G，连接BG．若AB＝6，则△BCG的周长为 　3+3　．

【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】由作法可得GF垂直平分AB，可得AG＝BG，然后根据含30度角的直角三角形和勾股定理即可解决问题．
【解答】解：由作法可得GF垂直平分AB，
∴AG＝BG，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝3，
∴AC＝＝＝3，
∴△BCG的周长＝CG+BG+BC＝CG+AG+BC＝AC+BC＝3+3．
故答案为：3+3．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
27．（2022•兰州模拟）如图，已知△ABC中，AB＝AC，小明用直尺和圆规按下列步骤完成作图：
①在AB和AC上分别截取AD，AE，使AD＝AE，再分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交BC于点G；
②以点B为圆心，以BC的长为半径作弧，交AC于点H，再分别以点C，H为圆心，以大于CH的长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线BM交AC于点N；
若AB＝2，BC＝4，则BN＝　　．

【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；推理能力．
【分析】利用勾股定理求出AG，再利用面积法求出BN．
【解答】解：由作图可知，AG平分∠BAC，BM⊥AC，
∵AB＝AC，
∴AG⊥BC，
∴BG＝CG＝2，
∴AG＝＝＝4，
∵S△ABC＝•BC•AG＝•AC•BN，
∴BN＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
28．（2022•山西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交CA，CB于点D，E，再以D，E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F，连接CF并延长，交AB于点P，称点P为线段AB的白银分割点，若PB＝，则AP＝　1　．

【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】如图，过点P作PT⊥BC于点T．证明PA＝PT，解直角三角形求出PT即可．
【解答】解：如图，过点P作PT⊥BC于点T．

由作图可知PC平分∠ACB，
∵PA⊥AC，PT⊥BC，
∴PA＝PT，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠B＝45°，
∴PT＝PB•sin45°＝1，
∴PA＝PT＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查﹣应用与设计作图，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
29．（2022春•南岸区期中）如图，有一所小学与中学分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，方便两所学校的交流．已知小学离较近街道的一边距离为200米，中学离较近街道的一边距离为300米，小学与中学的水平距离为500米，街道宽度为700米（街道两边平行）．请问天桥建在何处才能使由小学到中学的路线最短（天桥必须与街道垂直）？请在图中画出修建的位置，并计算出最短路线的距离为 　（700+500）　米．

【考点】平行线的性质；作图—应用与设计作图；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】作AE平行于桥且等于桥的长度，连接CH交街道于F，作DF⊥街道于D，连接AD，线段F即为所求．过点C作CH⊥AE交AE的延长线于点H．利用勾股定理求出CE即可．
【解答】解：如图，线段DF即为天桥的位置．

过点C作CH⊥AE交AE的延长线于点H．
在Rt△ECH中，∠H＝90°，CH＝500米，EH＝200+300＝500米，
∴CE＝＝＝500米，
∴最短路径的长＝AD+DF+CF＝AE+EC＝（700+500）米，
故答案为：（700+500）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
30．（2022•西青区一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B．C均为格点，且都在同一个圆上，
（Ⅰ）AB的长度等于 　　；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺在给定的网格中，画出圆的切线CD．并简要说明点D的位置是如何找到的．

【考点】作图—复杂作图；勾股定理；切线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；与圆有关的位置关系；几何直观；推理能力．
【分析】（Ⅰ）直接利用勾股定理即可解决问题；
（Ⅱ）取格点E，连接EC，则EC为直径，取格点F，G，H，P，连接AP交CE于点M，证明AP⊥EC，然后证明CD是三角形APG的中位线即可解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得：AB＝＝；
故答案为：；
（Ⅱ）如图所示：取格点E，连接EC，则EC为直径，取格点F，G，H，P，连接AP交CE于点M，设CE与TP交于点Q，连接FH与PG交于点D，连接CD，
CD即为所求．

证明：∵∠CBE＝90°，
∴CE是A，B，C所在圆的直径，
∵AE＝PT＝5，AT＝AC＝1，∠CAE＝∠ATP＝90°，
∴△CAE≌△ATP（SAS），
∴∠APT＝∠CEA，
∵∠TEQ＝∠MPQ，∠TQE＝∠MQP，
∴∠QMP＝∠QTE＝90°，
∴EC⊥AP，
∵四边形FGHP是矩形，
∴D是PG的中点，
∵C是AG的中点，
∴CD是△APG的中位线，
∴CD∥AP，
∴CD⊥EC，
∴CD是经过点A，B，C的圆的切线．
【点评】本题考查了圆的切线的判定，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△CAE≌△ATP．

考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
3．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
6．三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性．
7．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
8．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

9．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
10．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
11．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
12．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
13．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
14．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
15．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
16．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
17．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

18．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
19．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
20．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
21．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
22．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
23．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
24．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
25．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
26．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
27．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
28．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
29．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．