人教版八年级数学下册【学案】 三角形的中位线

三角形的中位线

学习目标：理解三角形中位线的概念，把握它的性质。

学习重点：把握和运用三角形中位线的性质．

学习难点：三角形中位线性质的证明（帮助线的添加方法）．

学习过程：

一、复习提问

1.什么叫中心对称图形？中心对称图形有什么性质？

2.平行四边形是中心对称图形吗？假如是，对称中心在哪里？

二、问题导入：

五一放假的时候，小明和小亮去乡下老家玩，发觉村头有一水塘，于是小许拿一根皮尺去测量这水塘两端点A、B之间的距离．可当他将皮尺的一端系在A处时发觉皮尺短了，拉不到B处，怎样才能既测出AB间的距离？小明和小亮商量 了一会，他们不愧是数学高手，有方法了？你知道是什么方法吗？

同学自习教材内容，得出三角形中位线的定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

自主探究一：

1、任意画一个三角形并画出它的一条中位线

2、量出中位线和第三边的长度

3、量出所画图形中一组同位角的度数

4、你发觉了什么？

探究沟通：

探究点拨：从数量和位置两方面来考察三角形的中位线与第三边的关系。

猜想得出

三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．

自主探究二:

探究一的证明

如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．

探究沟通：

探究点拨

思路点拨：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的学问，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的帮助线来构造平行四边形．

    方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，由于DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．

（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）

从而得出三角形中位线定理：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．

三、实践应用：

例1.已知：如图（2），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

同学解答

1. 沟通汇报
2. 老师点拨规范解答

思路点拨：

由于已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加帮助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．

证明：连结AC（图（2）），△DAC中，

∵  AH=HD，CG=GD，

∴  HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．

同理EF∥AC，EF=AC．

∴  HG∥EF，且HG=EF．

∴  四边形EFGH是平行四边形．

此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．

四、课堂小结：

1.什么叫做三角形的中位线？一个三角形有几条中位线？

2. 三角形中位线定理是什么？

五、达标检测：

   必做题

1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，假如测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是      m，理由是                               ．

2．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是             cm．

3．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，假如△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是      cm．

4. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.

5.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、 CD、 DA的中点，若AC=3，BD=8，则四边形EFGH的周长是           。

6．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

（1）若EF=5cm，则AB=     cm；若BC=9cm，则DE=      cm；

（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．

选作题：

1.A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地间的距离，在地面上选一点C，连结AC和BC，分别取AC和BC的中点D、E，

①假如DE=20m，那么A、B两点间的距离是多少？为什么？

②假如D、E两点之间还有阻隔，你有什么解决方法？

2.已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

参考答案：

必做题：1. 40，MN为△ABC的中位线  2. 270  3. 24  4. 60°  5. 11  6. （1）10， 4.5

        （2）相互平分

选做题：1.略

        2.连接AC，易得EF∥AC，EF=AC， HG∥AC，HG=AC，从而得出四边形EFGH是平行四边形