人教B版 (2019)必修 第四册9.1.1 正弦定理学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册9.1.1 正弦定理学案，共6页。学案主要包含了学习目标，学习过程，学习小结，当堂检测，作业布置等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1． 掌握正弦定理的内容；
2． 掌握正弦定理的证明方法；
3． 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。
【学习过程】
一、课前准备
试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而 ．（简：大角对大边）能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
二、新课导学
学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有，，又，
从而在直角三角形ABC中，．
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD=，则，
同理可得，从而．

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的比相等，即．
试试：
（1）在中，一定成立的等式是（ ）．
A．
B．
C．
D．
（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．
理解定理
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使， ，；
（2）等价于 ，，．
（3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； ．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如； ．
（4）一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边叫做 .
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ．
典型例题
例1． 在中，已知，，cm，解三角形。
变式：在中，已知，，cm，解三角形。
例2．在。
变式：在．
三、总结提升
【学习小结】
1． 正弦定理：
2．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．
知识拓展
，其中为外接圆直径.
【当堂检测】
1．根据下列条件，解△ABC．
（1）已知b=4，c=8， B=30；
（2）已知B=30，b=，c=2 ；
（3）已知b=6，c=9，B=45.

2． 在△ABC中，解三角形
（1）a=3，b=2，A=30 ； （2）a=2， b=，A=45 ；
（3）a=5，b=2，B=120 ； （4）a=，b=，B=45 .
3．在△ABC中，a:b:c=1:3:3，求的值.
4． 在中，若，则是（ ）.
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
5． 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶ D．2∶2∶
6． 在△ABC中，若，则与的大小关系为（ ）.
A． B． C． ≥ D． 、的大小关系不能确定
7． 已知ABC中，，则= ．
8． 已知ABC中，A，，则= ．(合比性质)
9． 在△ABC中,a=5,b=3,C=120,则sinA:sinB的值是（ ）
10．已知△ABC外接圆半径是2cm，A=60,求BC边长.

11．在△ABC中，，试判断△ABC的形状.
12．已知，试判定△ABC形状.
【作业布置】
1． 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形．
2． 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为。