高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.1 正弦定理导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.1 正弦定理导学案，共4页。学案主要包含了学习目标，学习过程，学习小结，学习评价等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．掌握正弦定理内容；
2．掌握正弦定理证明方法；
3．会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。
【学习过程】
一、课前准备
试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而 。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。 如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有，，又，
从而在直角三角形ABC中，。
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD=，则，同理可得， 从而。
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。请你试试导。
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即。
试试：
（1）在中，一定成立的等式是（ ）。
A． B． C． D．
（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 。
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数
k使， ，；
（2）等价于 ，，。
（3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； 。
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
如； 。
（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形。
※ 典型例题
例1． 在中，已知，，cm，解三角形。
变式：在中，已知，，cm，解三角形。
例2． 在。
变式：在。
【学习小结】
1． 正弦定理：
2． 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法。
3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角。
※ 知识拓展
，其中为外接圆直径。
【学习评价】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）。 A． 很好 B． 较好 C． 一般 D． 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1． 在中，若，则是（ ）。
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
2． 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（ ）。
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶ D．2∶2∶
3． 在△ABC中，若，则与的大小关系为（ ）。
A． B． C． ≥ D． 、的大小关系不能确定
4． 已知ABC中，，则= 。
5． 已知ABC中，A，，则= 。
课后作业
1． 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形。
2． 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围。