2021-2022学年北京市首都师范附属实验学校八年级（上）周练数学试卷（14）（含解析）

2021-2022学年北京市首都师范附属实验学校八年级（上）周练数学试卷（14）

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 下列图形中，是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 若分式的值为，则的取值为

A.  B.  C.  D. 无法确定

3. 下列各式中，运算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，菊花角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为

A.
B.
C.
D.

5. 下列各式由左到右是分解因式的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图所示，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则

A.
B.
C.
D.

8. ，，都有意义，下列等式；；；中一定不成立的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

9. 计算： ______ ．
10. 如果是一个完全平方式，那么的值是______ ．
11. 如图，在中，，，，垂足为若，则的长为______．
     

12. 如图，，，垂足分别为，只需添加一个条件即可证明≌，这个条件可以是______写出一个即可
     

13. 如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．
    
     

14. 如图，，，的垂直平分线交于点则的大小为______．
    
     

15. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点关于轴对称，点在轴上，若为等腰直角三角形，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共9小题，共55.0分）

16. 对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：
    若点满足，则称为线段的“轴点”，其中，当时，称为线段的“远轴点”；当时，称为线段的“近轴点”．
    如图，点，的坐标分别为，，则在，，，中，线段的“轴点”是______；线段的“近轴点”是______．
    如图，点的坐标为，点在轴正半轴上，若为线段的“远轴点”，请直接写出点的横坐标的取值范围______．

17. 因式分解：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知，求代数式的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简，然后从，，中选一个合适的的值，代入求值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，点在线段上，，，求证：．

22. 如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
    求证：是等腰三角形；
    若，，，求的周长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或时，的值均为；当，即或时，的值均为于是小明给出一个定义：
    对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．
    请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
    多项式关于______对称；
    若关于的多项式关于对称，求的值；
    整式关于______对称．
    
    
    
    
    
    
     
24. 是等边三角形，，点关于对称的点为，点是直线上的一个动点，连接，作交射线于点．
    若点在线段上不与点，点重合．
    如图，若点是线段的中点，则的长为______；
    如图，点是线段上任意一点，求证：；
    若点在线段的延长线上．
    依题意补全图；
    直接写出线段，，之间的数量关系为：______．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】
 

【解析】解：分式的值为，
且，
解得，
的取值为．
故选A．
根据分式的值为的条件得到且，解得，而，则．
本题考查了分式的值为的条件：分式的分子为且分母不时，分式的值为．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、，故本选项不合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：该正九边形内角和，
则每个内角的度数．
故选：．
先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
 

5.【答案】
 

【解析】解：等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
B.等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C.等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D.等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
 

6.【答案】
 

【解析】解：过作于点，

平分，于点，
，
的面积，
故选：．
根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．
此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答．
 

7.【答案】
 

【解析】解：作于，
，
，
，
，
，
，
故选：．
作于，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由，，都有意义，可得，，，
当时，，，因此可能成立，故不符合题意；
根据分式的基本性质可得，因此不符合题意；
若成立，则有，即，
关于的一元二次方程的根的判别式，
因此不存在这样的、的值使原式成立，故一定不成立，
因此，一定不成立的只有，
故选：．
根据分式的基本性质逐项进行判断即可．
本题考查分式的基本性质和分式有意义的条件，掌握分式的基本性质是正确判断的前提．
 

9.【答案】
 

【解析】解：原式，
故答案为：．
根据整式的除法运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

10.【答案】
 

【解析】解：是一个完全平方式，
．
故答案为：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用含的直角三角形的性质解答即可．
此题考查含的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半解答．
 

12.【答案】或或或答案不唯一
 

【解析】解：若添加，且，由“”可证≌；
若添加，且，由“”可证≌；
若添加，且，由“”可证≌；
若添加，且，由“”可证≌；
故答案为：或或或答案不唯一．
由全等三角形的判定定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：两个阴影部分正方形的面积和为：，
两个阴影部分正方形的面积和为：，
可以得到等式，
故答案为：．
根据图形可以得到：两个正方形的面积和有两种计算方法，一种是根据正方形的面积等于边长的平方计算；另一种方法是图形中大正方形面积减去两个长方形的面积的和，即可得到等式．
此题考查完全平方公式的几何背景，利用面积、边的关系建立等量关系是解决问题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
，
的垂直平分，
，
，
．
故答案为：．
先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出及的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出的度数即可进行解答．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：点的坐标为，点与点关于轴对称，
点，
，
又，，
，
点或，
故答案为：或．
由轴对称的性质可求点坐标，由等腰直角三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是本题的关键．
 

16.【答案】，    或
 

【解析】解：，，
、关于轴对称，
，
点在轴上，
线段的“轴点”是，，
当时，，
，
，
是线段的“近轴点”，
故答案为：，；；
如图，，
，
，
，
，
当点在轴上时，，
当时，为线段的“远轴点”；
如图，当轴时，
，
，
，
，
此时点是线段的“远轴点”，
，
，
，
，
时为线段的“远轴点”；
综上所述：或时为线段的“远轴点”，
故答案为：或．
由题意可知、关于轴对称，则线段的“轴点”在轴上；
分两种情况：当点在线段上方时，当点在线段下方时，分别求为等边三角形时的值，即可确定的取值范围．
本题考查坐标与图形，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；

原式
．
 

【解析】直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可；
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

．
原式

．
 

【解析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
根据分式的除法运算法则即可求出答案．
本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的除法运算法则，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：

，
当时，原式．
 

【解析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式化简，把代入计算，得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式

，
由分式有意义的条件可知：不能取，，
当时，
原式
．
 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

21.【答案】证明：如图，，
．
在与中，

≌，
．
 

【解析】由全等三角形的判定定理证得≌，则对应角相等：．
本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

22.【答案】证明：，
，．
平分，
．
．
．
是等腰三角形．
是的中点，
．
，
．
由对顶角相等可知：．
在和中
≌．
．
，
．
．
的周长．
 

【解析】首先依据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形；
首先证明≌，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长．
本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．
 

23.【答案】 
 

【解析】解：，
则多项式关于对称，
故答案为：；
，
关于的多项式关于对称，
，
；
原式




，
当和时，原式，
关于对称，
故答案为：．
对多项式进行配方，根据新定义判断即可；
求出的对称轴，令对称轴即可；
对多项式进行配方，根据新定义判定即可．
本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．
 

24.【答案】 
证明：如图中，作交于点．

是等边三角形，
，
点与点关于对称，
，
．
是等边三角形，
，．
，，
，
在和中，

≌．
．

解：补全图形，如图所示：


 

【解析】

解：如图中，连接．

是等边三角形，
，
点与点关于对称，
，，
是等边三角形，
，
，
．
故答案为．

见答案
见答案
解：结论：．
理由：如图中，在上取一点，使得．
，，
是等边三角形，
由可知：是等边三角形，
，
，
，，
≌，
，
．
故答案为．
【分析】
如图中，连接只要证明是等边三角形，由，推出，可得解决问题；
如图中，作交于点，只要证明≌即可解决问题；
根据要求画出图形即可解决问题；
结论：如图中，在上取一点，使得只要证明≌，即可解决问题；
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．