2022年天津市河北区中考数学一模试卷（含解析）

2022年天津市河北区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

2. 的值为

A.  B.  C.  D.

3. 年冬奥会颁奖花束采用了“海派绒线编结技艺”这一上海非遗手工艺技术，共用花束束，累计花材支．仅一朵玫瑰，就需要一位编结师耗费至少小时，所有花束的全部手工制作时间近万小时．将用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

4. 下列交通标志中，是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

5. 一个由个相同的正方体组成的立体图形，如图所示，则这个立体图形的左视图是

A.
B.
C.
D.

6. 估计的值在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7. 方程组的解是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，四边形是菱形，，两点的坐标分别是，，，则点的坐标为

A.
B.
C.
D.

9. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

10. 已知点，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，设交于点，连接，若，则旋转角的度数为

A.
B.
C.
D.

12. 已知抛物线是常数，且的图象的对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点在和不包括这两点之间，有下列结论：
    ；函数可取得最大值；．
    其中，正确结论的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 计算的结果______．
14. 计算：______．
15. 小明把一副扑克牌中带数字的扑克牌全部拿出给小华抽，则小华抽到黑桃的概率为______．
16. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是______．
17. 如图，点为正方形的边的中点，连接，，交对角线于点，连接交于点，如果，那么的长为______．
     

18. 如图，在每个边长为的小正方形网格中，点，均在格点上，以为直径作圆，点为的中点．
    Ⅰ线段的长度等于______．
    Ⅱ请用无刻度的直尺，在圆上找一点，使得，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）

19. 解不等式组．
    请结合解题过程，完成本题的解答．
    Ⅰ解不等式，得______；
    Ⅱ解不等式，得______；
    Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来；
    Ⅳ原不等式组的解集为______．

20. 某校初中年级举行防疫知识竞赛，随机抽取了一个班的竞赛成绩单位：分，绘制出如下的统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题．
    Ⅰ本次接受调查的学生人数为______，图中的值为______．
    Ⅱ求统计的这个班竞赛成绩数据的平均数、众数和中位数．

21. 已知为的直径，为上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接．
    Ⅰ如图，连接，若，求的大小；
    Ⅱ如图，为上一点，连接，，若四边形为平行四边形，求的大小．

22. 如图，小明、小华分别位于一条笔直公路上的两点，处，点处为一超市．测得，，，之间距离为，求小明、小华分别距离超市多少千米结果保留小数点后一位．
    参考数据：，，，，，．

23. 某校计划从甲、乙两家体育用品店中选择一家购买一批乒乓球拍以丰富学生的校园生活．已知甲、乙两家体育用品店的每副乒乓球拍标价均为元，现两家分别推出以下优惠方案：甲体育用品店：购买副以上，从第副开始按标价的七折出售：乙体育用品店：从第副起就按标价的八五折出售．
    设该校计划购买乒乓球拍的副数为为正整数．
    Ⅰ根据题意，填写表：

Ⅱ若该校计划用元购买乒乓球拍，则该校选择在哪一家体育用品店购买的兵乓球拍比较多？
Ⅲ当时，该校在哪家体育用品店购买更合算？并说明理由．






 

24. 将一个含角的直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，，点是边上一点不与点，重合，沿折叠该纸片，得点的对应点．
    Ⅰ如图，当点落在边上时，求的长；
    Ⅱ如图，当轴时，求点的坐标；
    Ⅲ当所在直线与轴的夹角为时，求点的坐标直接写出结果即可．

已知抛物线为常数与轴交于，两点，与轴相交于点，点为线段上一点．
Ⅰ当时，求该抛物线的顶点坐标；
Ⅱ若点是抛物线在第三象限内的点，有一点，当时，求的值；
Ⅲ在Ⅰ的条件下，，点是轴上一点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：原式．
故选：．
根据有理数乘法法则进行计算．
本题考查了有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数同零相乘，都得．
 

2.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】
 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

5.【答案】
 

【解析】解：从左面看易得有两列，从左到右小正方形的个数分别为，．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
，
故选：．
用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
代入，可得：，
解得：，
把代入，可得：，
原方程组的解是．
故选：．
应用代入消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

8.【答案】
 

【解析】解：连接、交于点，过作于，如图所示：

，
，
四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
点的横坐标为：，

故选：．
连接、交于点，过作于，证是等边三角形，得，，再由勾股定理得，因而可得答案．
此题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：原式


，
故选：．
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
，
反比例函数的图象位于第一三象限，且在每一个象限内随的增大而减小，
，，都在反比例函数图象上，
，，
．
故选：．
先判断出函数图象位于第一三象限，在每一个象限内随的增大而减小判断出、、的大小关系，然后即可选取答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：绕点按逆时针方向旋转角得到，
，，
，
，
，
，
，
解得；
故选：．
根据旋转的性质得，，则，利用三角形外角的性质得，，利用等腰三角形的性质得，即可得到的值．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质．
 

12.【答案】
 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
设抛物线的解析式为，
即，
，，
抛物线与轴的交点在和，
，即，
，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
当时，有最大值，最大值为：，
而当时，，
，
函数不可能取得最大值，所以错误；
，
，
，所以正确．
故选：．
利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，设交点式得到抛物线的解析式为，则，，再利用抛物线与轴的交点在和，所以，即，解得，则利用同号可判断，从而可对进行判断；由于当时，有最大值，则最大值为，若当时，不满足，则可对进行判断；利用得到，则可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，反过来，通过抛物线与轴的交点坐标确定关于的一元二次方程的解．也考查了二次函数的性质．
 

13.【答案】
 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用积的乘方的法则对式子进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用．
 

14.【答案】
 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接利用完全平方公式化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用完全平方公式是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：一副扑克牌有张，只有张是黑桃，
小明把一副扑克牌中带数字的扑克牌全部拿出给小华抽，则小华抽到黑桃的概率为，
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数事件可能出现的结果数．
 

16.【答案】
 

【解析】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
根据一次函数的图象经过第一、二、三象限，可知，解不等式即可．
本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
∽，
，
点是的中点，
，
，
正方形关于对称，
，
，
，
设，则，，
，
，
即，
解得，
先证明∽，得到与的数量关系，进而求得，设正方形的边长为，再根据勾股定理列出的方程求得结果便可．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是应用相似三角形求得的长度．
 

18.【答案】
 

【解析】解：Ⅰ，
故答案为：；


Ⅱ如图，点即为所求．
Ⅰ利用勾股定理求解即可；
Ⅱ取格点，连接，，交于点，连接，取的中点，连接交于点此时，连接，，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】   
 

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来，如下：

Ⅳ原不等式组的解集为．
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】 
 

【解析】解：Ⅰ人，
，
，
故答案为：，；
Ⅱ分，
在这组数据中，出现了次，次数最多，
众数是分，
将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的两个数都是，
中位数是分，
即这个样本数据平均数、众数、中位数分别是分，分，分．
Ⅰ根据扇形统计图和条形统计图中分的数据，可以求得本次接受调查的学生人数，即可得的值；
Ⅱ根据条形统计图中的数据，可以得到这个样本数据平均数、众数、中位数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：Ⅰ为的切线，
．
，
；
Ⅱ连接，如图，

为的切线，
．
四边形为平行四边形，
．
．
．
，
．
四边形为平行四边形，
．
．
．
 

【解析】Ⅰ利用弦切角定理解答即可；
Ⅱ连接，利用切线的性质定理和平行四边形的性质求得，利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质求得，再利用三角形的内角和定理和圆周角定理即可求得结论．
本题主要考查了圆的切线的性质，弦切角定理，平行四边形的性质，三角形的内角和定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，

设米，
千米，
千米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
千米，
在中，千米，
在中，千米，
小明距离超市约为千米，小华距离超市约为千米．
 

【解析】过点作，垂足为，设米，从而表示出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，从而求出的长，最后在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】     
 

【解析】解：Ⅰ根据题意，在甲体育用品店购买副乒乓球拍费用为元，购买副乒乓球拍费用为元，
在乙体育用品店购买副乒乓球拍费用为元，购买副乒乓球拍费用为元．
故答案为：，，，；
Ⅱ在甲店购买时，，
解得，
在乙店购买时，，
解得，
，
该校选择在甲体育用品店购买的兵乓球拍比较多；
Ⅲ若，
解得，
即购买副乒乓球拍时，两个体育用品店费用相同，
若，
解得，
即时，到甲体育用品店购买更合算，
若，
解得，
即时，到乙体育用品店购买更合算，
综上所述，时，到乙体育用品店购买更合算，时，两个体育用品店费用相同，时，到甲体育用品店购买更合算．
Ⅰ根据优惠方案，分别算出购买副数为和时，两店的费用即可；
Ⅱ分别列方程，算出在甲、乙体育用品店所买兵乓球拍数量，再比较即可；
Ⅲ分三种情况列出方程，不等式，即可解得答案．
本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会利用不等式或方程解决实际问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：Ⅰ由题意知，，，，，
沿折叠该纸片，得点的对应点，
，，，
，，
，
在上，，，
是等边三角形，
，
；
Ⅱ轴，
，轴，设交轴于点，
，
，
，
，
，
，，
；
Ⅲ设与交于点，如图，

，
当点刚好落在轴上时满足要求，此时与点重合，
，
点的横纵坐标相等，
过点作于点，则有，
在中，，
，
解得，
；
当时，也满足要求，如图，
作于点，

，
是等边三角形，
，
，
，，
，
即，
，
，，
，
，
，
，
综上所述，点的坐标为或
 

【解析】Ⅰ由折叠的性质得出，，，证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则可得出答案；
Ⅱ证出，由直角三角形的性质可得出答案；
Ⅲ当点刚好落在轴上时满足要求，此时与点重合，由直角三角形的性质及等边三角形的性质可求出答案；当时，也满足要求，如图，作于点，解直角三角形可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：Ⅰ当时，，将代入，得：，
解得：，
，
该抛物线的顶点坐标为；
Ⅱ抛物线经过点，
，
，
，
点是抛物线在第三象限内的点，
，
，
，
解得：，
，
，
即，
解得：，
，
；
Ⅲ抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形．
由知：，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
如图，过点作轴于点，设，，
则是等腰直角三角形，
，
，
，
当为平行四边形的边时，则，，
与的横坐标差为，
与的横坐标差为，即的横坐标为或，如图，
，，
当为▱的对角线时，如图，与互相平分，即中点重合，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为：，，．
 

【解析】Ⅰ运用待定系数法可求得抛物线的解析式，化为顶点式即可得出顶点坐标；
Ⅱ由抛物线经过点，可得：，进而得出，再求得，根据点在第三象限可得，由，建立方程求解即可求得的值；
Ⅲ如图，过点作轴于点，设，，则是等腰直角三角形，可求得，再分两种情况：当为平行四边形的边时，可得出点的横坐标为或，当为▱的对角线时，利用中点公式可求得点的横坐标为，即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的顶点式，两点间距离公式，等腰直角三角形性质，平行四边形的性质，中点公式等，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．