云南省2022届高三下学期4月第二次高三毕业生复习统一检测数学（理）试题（Word版含答案）

秘密★启用前    【考试时间：4月21日15：00-17：00】

2022年云南省第二次高中毕业生复习统一检测

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小跨给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则

A．                B．               C．              D．

2．已知i为虚数单位，设，则复数z在复平面内对应的点位于

A．第一象限           B．第二象限             C．第三象限             D．第四象限

3．已知a、b是函数的两个零点，若，，则

A．       B．         C．        D．

4．设，为平面向量．若为单位向量，，与的夹角为，则

A．              B．                C．               D．

5．若执行右边的程序框图，则输出的结果

A．                B．                  C．                 D．

6．某超市为庆视开业举办酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店的顾客，都能抽一次奖，每位进店的顾客得到一个不透明的盒子，盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个，其中红球2个，黄球3个，蓝球1个，除颜色外，小球的其它方面，诸如形状、大小、质地等完全相同，每个小球上均写有获奖内容，顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球，然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖．设X表示某顾客在一次抽奖时，从自己得到的那个盒子取出的2个小球中红球的个数，则X的数学期望

A．                 B．                   C．                  D．

7．已知长方体的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段的长为

A．              B．                 C．               D．

8．若，，，则

A．           B．            C．            D．

9．设等差数列的前n项和为．若，，则数列的前n项和是

A．             B．              C．              D．

10．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭图E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为

A．        B．          C．         D．

11．

A．3                  B．4                    C．                D．

12．三棱性P-ABC的项点都在以PC为直径的球M的球面上，．若球M的表面积为，，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为

A．24                 B．                C．27                   D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，则的值为          ．

14．设曲线关于直线对称，则          ．

15．设数列的前n项和为，若，，则数列的通项公式为          ．

16．已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为          ．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，．

（1）求A；

（2）若，，求△ABC的面积．

18．（12分）

某地举行以“决胜全而建成小康社会，决战脱贫攻坚”为主题的演讲比赛，有60名选手参加了比赛，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果、综合印象四个分项为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占40%，演讲能力占40%，演讲效果占15%、综合印象占5%，计算选手的比赛总成绩（百分制）．

甲、乙两名选手的单项成绩如下表：

（1）分别计算甲，乙两名选于的比赛总成绩；

（2）比赛结束后，对参赛的60名选于的性别和获奖情况进行统计，情况如下表：

能否有90%的把握认为这次演讲比赛，选手获奖与选手性别有关？

附：，其中．

19．（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．

（1）证明：平面BDF；

（2）若，，，，求平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值．

20．（12分）

已知e是自然对数的底数，．

（1）设，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，都有，求实数a的取值范围．

21．（17分）

已知由线C的方程为，点D的坐标为，点P的坐标为．

（1）设E是曲线C上的点，且E到D的距离等于4，求E的坐标；

（2）设A，R是曲线C上能坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PR与x轴分别交于M、N两点，线段AN的直平分线经过点P．证明：直线AB的斜率为定值．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）射线：与曲线交于点A，射线：与曲线交于点B．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；

（1）直接写出曲线、射线的极坐标方程．

（2）求△AOB的面积．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知的最小值为m．

（1）求m；

（2）若a、b都为正实数，且，证明：．

2022年云南省第二次高中毕业生复习统一检测

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．C    2．C    3．B    4．B    5．A    6．C    7．A    8．D    9．B    10．D    11．B    12．A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．；     14．；     15．；     16．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．（12分）

解：（1）

∵，，，

∴．

∴，即．

∴．

∵，

∴．

（2）在△ABD中，由，和余弦定理，得

．

∵D是AC的中点，

∴

∴，化简得，即．

∵，

∴，解得．

∴．

∴△ABC的面积为．

18．（12分）

解：（1）甲选手的比赛总成绩：

（分）．

∴甲选手的比赛总成绩为87.25分．

乙选手的比赛总成绩；

（分）．

∴乙选手的比赛总成绩为87.85分．

（2）∵，

∴没有90%的把握认为选手获奖与选手性别有关．

19．（12分）

（1）证明：连接AC，设，连接FM．

∵ABCD是平行四边形，

∴M是AC的中点．

∵F是PC的中点，

∴MF是△ACP的中位线．

∴．

又∵平面BDF，平面BDF，

∴平面BDF．

（2）解：设AD的中点为E，连接BE，PE．

∵E为AD的中点，

∴，．

∵ABCD是平行四边形，，，

∴

．

∵，，

∴，．

∵，平面PAD，平面PAD，

∴平面PAD．

∴是平面的一个法向量．

分别以射线EA，EB，EP为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz，由题意可得，，，．

∴，，．

设平面BFP的一个法向量为，则．

取，得，．

∴是平面BFP的一个法向量．

∴．

设平面BFP与平面PAD所成二面角的大小为，则的取值范围为，

∴．

∴平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值为．

20．（12分）

解：

（1）设，则．

∴，．

∴．

∴曲线在点处的切线方程头，即．

∴曲线在点处的切线方程为．

（2）设，，

则．

设，则．

∴函数在单调递增．

当时，．

∴，故在单调递增．

又∵，故对任意都成立．

即当时，，都有．

当时，，，

．

∴，使．

∵函数在单调递增，

∴，都有．

∴在单调递减．

∴，使，即，使，与，矛盾．

综上所述，a的取值范围为．

21．（12分）

（1）解：

∵曲线C的方程为，

由化简得，

∴曲线C的方程为．

∴为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线．

设，则．

∵，

∴，解得．

∴，解得．

∴E的坐标为或．

（2）证明：

∵，曲线C的方程为，，

∴点在曲线C上．

∵A、B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA、PB与y轴分别交于点M、N，

∴直线PA、PB的斜率都存在，且都不为0，分别设为k、，则，直线PA的方程为，即．

当时，，即．

同理可得．

∵线段MN的垂直平分线经过点P，

∴，即．

由，得：．

设，则1，是的解．

由韦达定理得：．

∴．

∴．

同理可得．

∴．

∴直线AB的斜率为定值．

22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：

（1）曲线的极坐标方程为，

射线的极坐标方程为；

注：没有注明也是正确的．

（2）的极坐标方程为，

射线的极坐标方程．

由得点A的一个极坐标为．

由，得点B的一个极坐标为．

∴

．

23．（10分）选修4-5；不等式选讲

（1）解：

由已知得：．

∵在上是减函数，在上是增函数，

∴．

∴．

（2）证明：

∵，，，

∴，即．

∴

．

∴．

请注意：以上参考答案与评分标准仅供阅卷时参考，其他答案请参考评分标准酌情给分．