2021-2022学年江西省吉安市十校联盟七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省吉安市十校联盟七年级（下）第一次月考数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 计算，正确结果是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，，，，，则点到的距离为

A.  B.  C.  D.

3. 某种病毒的直径是纳米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，下列条件不能判断的是

A.  B.
C.  D.

5. 已知，，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示的是正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都是正方形，其面积之和比其余面积阴影部分多，则主卧与客卧的周长差是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 若有意义，则的取值范围是______．
8. 一个角的补角是它的倍，则这个角是______．
9. 若，则代数式的值为______．
10. 若，则______．
11. 如图，已知，，所以与重合的理由是：______．
    
     

12. 若，则的值为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分）

13. 
    已知，，求：
    
    
    
    
    
    
     
14. 
    
    
    
    
    
    
     
15. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     
16. 如图已知三角形，按要求作图：
    并取的中点；
    过点作于点；
    根据所作图形回答，线段，，，中最短的线段是______，理由是______．

17. 如图，直线，相交于点，平分，，垂足为．
    的余角是______；
    若，求的度数．
    
     

18. 已知：，，分别求和的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且求证：．
    证明：平分已知，
    ______
    平分已知，
    ______角的平分线的定义．
    ______
    已知，
    ______
    ______
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知的乘积中不含项和项．
    求，的值；
    求代数式．
    
    
    
    
    
    
     
21. 仔细阅读材料，尝试解决问题．
    完全平方式以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求的最大小值时，我们可以这样处理：
    例如：用配方法解题如下：．
    原式．
    因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为；
    此时时，的最小值是；所以当时，原多项式的最小值是．
    请根据上面的解题思路，探求：
    若，则 ______，______；
    若，求，的值；
    求的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 年冬奥会的一次主题活动中，班某学生设计了如图的“红色徽章”，其设计原理是，如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了大正方形，并画出阴影部分图形，形成“”红色徽章的图标．
    求阴影部分图形的面积；
    将阴影部分图形面积记作，每个边长为的小正方形的面积记作，如果，求的值．

23. 如图，为线上一点，过点作射线，使：：，的一边在射线上，另一边在直线的下方，且．
    如图，求的度数：
    将图中的绕点沿逆时针方向旋转至图，使在的内部且恰好平分，请问此时直线是否平分，请说明理由．
    将图中的绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转周，在旋转的过程中，若直线恰好平分锐角，求所运动的时间．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：由幂的乘方与积的乘方法则可知，．
故选B．
根据幂的乘方法则进行计算即可．
本题考查的是幂的乘方法则，即底数不变，指数相乘．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，，，，
点到直线的距离为的长，
故选：．
直线外一点到这条直线的垂线段的长叫作这点到这条直线的距离，据此解答即可．
此题主要考查了点到直线的距离，正确把握点到直线的距离是解题关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：纳米米米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，
，
故此选项不符合题意；
B、，，
，
，
故此选项不合题意；

C、，
，
故此选项不合题意；
D、不能判断，故此选项符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
，
故选：．
将的值进行进行计算化简可比较容易地比较出此题结果．
此题考查了有理数的大小比较能力，关键是能准确进行计算化简与比较．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设主卧边长为，客卧边长为，
主卧与客卧面积之和为，
阴影部分面积为：，
主卧与客卧面积之和比其余面积阴影部分多，
，
，
，
主卧与客卧的周长差为：，
故选：．
先设主卧边长为，客卧边长为，求出主卧与客卧面积之和为，再求出阴影部分面积为，再根据主卧与客卧面积之和比其余面积阴影部分多列出关系式，求出，最后求主卧与客卧的周长差即可．
本题主要考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示图中各部分的面积及各部分面积之间的关系是解答此题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：若有意义，则，
解得：．
故答案为：．
直接利用零指数幂：，即可得出答案．
此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的定义是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设这个角的度数为，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
设这个角的度数为，根据题意，列出方程，解答即可．
本题主要考查余角和补角，解决此题时，需要利用方程解决，能找到题目中的关键词“等于”是关键．此外还有注意，本题中要求的是这个角的补角，要认真读题．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，即，
原式．
故答案为：．
已知等式左边利用完全平方公式展开求出的值，原式变形后将的值代入计算即可求出值．
此题考查了完全平方公式，代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
，
，，
，
故答案为：．
因式分解的结果利用多项式乘多项式的运算法则计算，利用多项式相等的条件求出、的值即可求解．
此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．
 

11.【答案】平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
 

【解析】解：，，
与重合平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故答案为：平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可得结论．
本题考查了垂线，利用了垂线的性质：平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
 

12.【答案】或或
 

【解析】解：任何非零数的零次幂等于，
，，
；
的任何次幂都等于，
，
；
的偶数次幂等于，
，
，
，
符合题意；
故答案为：或或．
分三种情况：任何非零数的零次幂等于；的任何次幂都等于；的偶数次幂等于分别计算即可．
本题考查了零指数幂，有理数的乘方，考查分类讨论的思想，掌握：任何非零数的零次幂等于；的任何次幂都等于；的偶数次幂等于是解题的关键．
 

13.【答案】解：原式
；

，，


．
 

【解析】直接利用单项式乘单项式计算得出答案；
直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则，进而将原式变形得出答案．
此题主要考查了单项式乘单项式以及幂的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

14.【答案】解：




．
 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

15.【答案】解：原式


，
，
，，
，，
原式．
 

【解析】首先计算括号里面的乘法，然后再合并同类项，最后计算括号外的除法，利用非负数的性质可得、的值，然后代入计算即可．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，关键是掌握整式的乘除运算法则．
 

16.【答案】  垂线段最短
 

【解析】解：如图，点即为所求；

如图，点即为所求；
最短的线段是，理由是：垂线段最短．
故答案为：，垂线段最短．
根据网格即可取的中点；
根据网格即可过点作于点；
结合根据垂线段最短即可解决问题．
本题考查了作图复杂作图，线段的性质：两点之间线段最短，垂线段最短，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

17.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
的余角是．
故答案为：；
，
，
平分，
，
．
根据垂线的性质可得，由，即可得出答案；
先计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，再根据对顶角的定义即可得出答案．
本题主要考查了垂线的性质，角平分线的定义，余角和对顶角，熟练掌握垂线的性质，角平分线的定义，余角和对顶角的性质进行求解即可得出答案．
 

18.【答案】解：，，
两式相加，得，
则；
两式相减，得，
则．
 

【解析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案．
此题主要考查了完全平方公式的运用，正确将已知条件变形是解题的关键．
 

19.【答案】角平分线的定义    等式的性质  等量代换  同旁内角互补，两直线平行
 

【解析】证明：平分已知，
 角平分线的定义，
平分已知，
角的平分线的定义，
 等式的性质，
已知，
 等量代换，
 同旁内角互补，两直线平行，
故答案为：角平分线的定义；；等式的性质；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
由角平分线的定义可得出得出，，结合可得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”即可证出．
本题考查了平行线的判定以及角平分线的定义，牢记平行线的判定定理是解题的关键．
 

20.【答案】解：


的乘积中不含项和项，
，，
解得：，；
原式


．
 

【解析】先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出两个方程，解方程可得结论；
先根据积的乘方，零次幂进行计算，再加减即可．
本题考查了多项式乘以多项式和积的乘方，零次幂的运算，能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．
 

21.【答案】 
 

【解析】解：，
，，
，，
故答案为：，．
，
，；
，．
，
又，
，
的最小值为．
根据完全平方式的非负性，即可求解；
先将条件配方成，即可求出和的值；
先将代数式配方成完全平方式，即可求出最小值．
本题考查了配方法，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：阴影部分的面积为：

；
，
，
，
，
，
．
 

【解析】用大正方形面积减去个三角形面积即可列出算式，再计算即可；
根据，列出含、的方程，再变形即可得答案．
本题考查求阴影部分面积，解题的关键是掌握三角形面积公式及整式的相关运算法则．
 

23.【答案】解：：：，，
，
，
，
；
平分，理由如下：
如图：延长至，

：：，，
，，
在的内部且恰好平分，
，
．
，
，
，
平分；
延长到点，如图，


，
由得当直线恰好平分锐角时，
，
此时旋转的度数为，
由题意得，
，
当平分，如图，
，
即旋转的度数为，
，
，
或．
所运动的时间为秒或秒．
 

【解析】由角的比值，求解的度数，结合，利用可求的度数；
延长至，计算出的度数，即可求解；
由逆时针旋转或时平分，据此求解．
此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．