2021-2022学年河南省郑州中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省郑州中学七年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列计算结果正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为纳米，纳米米，若用科学记数法表示纳米，则正确的结果是

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3. 小明在爬泰山的活动中，先跑步上山，累了停下来休息了一段时间后，慢慢走完剩下的路程，下面能反映小明离山顶的路程与登山时间关系的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是

A.  B.  C.  D.

5. 给出下列说法：内错角相等；平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；相等的两个角是对顶角；直线外一点与直线上各点的连接的所有线段中，垂线段最短其中正确的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 已知，，，则、、的大小关系是            

A.  B.  C.  D.

7. 若中不含的一次项，则

A.  B.  C.  D.

8. 如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与、对应，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

9. 我们知道，同底数幂的乘法法则为其中，、为正整数，类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，则当时，点应运动到

A. 处 B. 处 C. 处 D. 处

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 计算： ______ ．
12. 立定跳远时，老师测量跳远距离，其中数学原理是______．
13. 已知是完全平方式，则______．
14. ，，，则的度数为______．
    
    
     

15. 甲、乙两名同学进行登山比赛，甲同学和乙同学沿相同的路线同时在早：从山脚出发前往山顶，甲同学到达山顶后休息小时，沿原路以每小时千米的速度下山，在这一过程中，各自行进的路程随所用时间变化的图象如图所示，根据提供信息得出以下四个结论：甲同学从山脚到达山顶的路程为千米；乙同学登山共用小时；甲同学在：返回山脚；甲同学返回与乙同学相遇时，乙同学距登到山顶还有千米的路程．以上四个结论正确的有______．

三、解答题（本大题共8小题，共55.0分）

16. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
17. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，已知，，求作，使不写作法，保留作图痕迹．

19. 已知，．
    求的值；
    求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 完成下面的证明过程：
    已知：如图，，，．
    
    求证：．
    证明：，已知
    
    ______ ______
    又已知
    ______ 内错角相等，两直线平行
    ______ ______
    两直线平行，同位角相等
    
    
    
    
    
    
     
21. 年全国中小学生“安全教育日”主题：“强化安全意识，提升安全素养”，小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
    
    小刚家到学校的路程是______米；小刚在书店停留了______分钟；
    本次上学途中，小刚一共行驶了______米；一共用了______分钟； 
    我们认为骑单车的速度超过米分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请给小刚提一条合理化建议．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形如图．
    
    图中的阴影部分的面积为______ ；
    观察图请你写出、、之间的等量关系是______ ．
    根据中的结论，若，则 ______ ．
    实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示如图，它表示了______ ．
    试画出一个几何图形，使它的面积能表示．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，，为定点，，分别是，上的动点．
    求证：；
    若为上一点，如图，，且交于试说明与的关系，并证明你的结论；
    移动，使得，如图，作，请直接写出与的关系．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、，故原题计算错误；
B、，故原题计算错误；
C、，故原题计算错误；
D、，故原题计算正确；
故选：．
根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．
此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和积的乘方，关键是掌握计算法则．
 

2.【答案】
 

【解析】解：纳米米米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，根据题意可以判断哪个选项中的函数图象符合题意，从而可以解答本题．
【解答】

解：由题意可得，
刚开始，小明跑步上山，随着的增加而减小，变化趋势比较快，
休息一段时间，这个过程，随着的增加不变，
慢慢走完剩下的路程，随着的增加而减小，变化趋势比较缓慢，
故选：．

4.【答案】
 

【解析】解：、、符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选B．
根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．
本题主要考查了平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．
 

5.【答案】
 

【解析】解：内错角只是一种位置关系，只有两条直线平行时，内错角才相等，故此说法错误；
在平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故此说法正确；
相等的两个角不一定是对顶角，故此说法错误；
直线外一点与直线上各点的连接的所有线段中，垂线段最短，故此说法正确；
故选：．
利用对顶角、同位角、相交线、平行线、垂线段最短等定义定理，逐一判断即可得解．
此题考查了内错角等知识，正确理解对顶角、同位角、相交线、平行线、垂线段最短等定义定理是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解本题的关键．
先把，，转化为底数为的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．
【解答】
解：
；
．
则．
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】解：，
由结果中不含的一次项，得到，即．
故选C．
原式利用多项式乘以多项式法则计算，再根据结果中不含的一次项即可确定出的值．
此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由翻折的性质可知：，
，
，
，设，则，
，
，
，
故选：．
由题意，设，易证，构建方程即可解决问题．
本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用方程思想解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，，




，
故选：．
根据，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．
本题考查整式的混合运算化简求值、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值．
 

10.【答案】
 

【解析】解：当点运动到上时，的面积达到最大，且保持一段时间不变；
到点以后，面积开始减小；
故当时，点应运动到处．
故选：．
注意分析随的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
本题考查动点问题的函数图象问题，有一定难度，注意要仔细分析．
 

11.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
根据零次幂、负整数指数幂的计算法则进行计算即可．
本题考查零次幂、负整数指数幂的运算，掌握计算法则是正确计算的前提．
 

12.【答案】垂线段最短
 

【解析】解：立定跳远时，老师测量跳远距离，其中数学原理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．
此题主要考查了垂线段的性质，比较简单，掌握定理即可．
 

13.【答案】或
 

【解析】解：是完全平方式，
而，
或，
或．
故答案为：或．
由于是完全平方式，而，然后根据完全平方公式即可得到关于的方程，解方程即可求解．
本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
 

14.【答案】
 

【解析】解：延长交于点．
，，
，
，
．
故答案为：．
延长交于点，根据三角形外角的性质可求得的度数，由两直线平行同位角相等可得，即求得的度数．
此题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质的综合运用．
 

15.【答案】
 

【解析】解：值的最大值为，
甲同学从山脚到达山顶的路程为千米，结论正确；
乙同学登山的速度为千米时，
乙同学登山所用时间为小时，
乙同学登山共用小时，结论错误；
甲同学登山的速度为千米时，
甲同学登山所用时间为小时，
甲同学下山所用时间为小时，
甲同学返回山脚的时间为时，结论错误；
设二者相遇的时间为时，
根据题意得：，
解得：，
二人相遇时，乙同学距山顶的距离为千米，
结论错误．
综上所述：正确的结论有．
故答案为：．
由的最大值为，可得出甲同学从山脚到达山顶的路程为千米，结论正确；利用速度路程时间可求出甲登山的速度，由时间路程速度可求出甲登山及下山所用时间，再结合甲的出发时间及中间休息一小时，可得出甲同学在：返回山脚，结论错误；设二者相遇的时间为时，根据路程甲下山的路程乙上山的路程，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再根据离山顶的距离山顶到山脚的路程乙登山的路程，即可得出二人相遇时，乙同学距山顶的路程为千米，结论错误．综上即可得出结论．
本题考查了函数图象以及解一元一次方程，观察函数图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

；
原式

；
原式
；
原式

．
 

【解析】先算乘方，再算乘除，最后合并同类项；
先算乘方，再算乘除，最后合并同类项；
先展开，再合并同类项；
先算零指数幂，负整数指数幂，逆用积的乘方公式，再算乘除，最后算加减．
本题考查整式运算及实数运算，解题的关键是掌握整式混合运算、实数运算的相关法则．
 

17.【答案】解：原式

，
当，时，
原式
．
 

【解析】先根据整式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案．
本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：如图，为所作．

 

【解析】先作，再作，则满足条件．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

19.【答案】解：，
，
，
；




，
．
 

【解析】由平方和的形式联想到完全平方公式，题中有条件，所以两边平方，构造完全平方公式；
要求，先求出的值，再求的值．
本题考查了完全平方公式，熟悉完全平方公式的结构特点是解题的关键，在第问中注意不要漏解．
 

20.【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；；平行于同一条直线的两直线平行
 

【解析】证明：，已知，
，
同旁内角互补，两直线平行，
又已知，
内错角相等，两直线平行，
平行于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；；平行于同一条直线的两直线平行．
根据题意，平行线的性质和判定以及平行公理的推论进行求解即可．
本题考查了平行线的性质和判定以及平行公理的推论，属于中档题．
 

21.【答案】，；
，；
由图象可知：分钟时，平均速度米分，
分钟时，平均速度米分，
分钟时，平均速度米分，
所以，分钟时速度最快，不在安全限度内，
“珍重生命，注意安全”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．
 

【解析】

解：根据图象，学校的纵坐标为，小明家的纵坐标为，
故小刚家到学校的路程是米；
根据题意，小刚在书店停留的时间为从分到分，
故小刚在书店停留了分钟．
故答案为：，；
一共行驶的总路程
米；
共用了分钟．
故答案为：，；
见答案．
【分析】
根据函数图象的纵坐标，可得答案，根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案；
根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度．
本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系．  

22.【答案】     
 

【解析】解：根据题意得：阴影部分的面积为； 
；
，，
；
；
根据题意得：
  
故答案为：；；；；
阴影部分为一个正方形，其边长为，即可求出面积；
利用完全平方公式找出、、之间的等量关系即可；
将与的值代入即可求出所求式子的值；
由已知的恒等式，画出相应的图形，如图所示．
此题考查了整式混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
 

23.【答案】解：如图，过点作，则．

又，
，
，
，
即；
．
证明：由知，．
，
．
又．
；
．

证明：由知．
．
又，
，
即．
 

【解析】如图，过点作，根据平行线的性质进行证明；
利用中的结果和三角形外角的性质可以推知；
利用中的结论得到，结合已知条件，即得到，易求与度数的数量关系．
本题考查了平行线的性质，三角形外角性质以及平角定义的运用，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．