2022年湖南省长沙市宁乡市高考数学模拟试卷（5月份）（含答案解析）

2022年湖南省长沙市宁乡市高考数学模拟试卷（5月份）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 函数的定义域为

A.  B.
C.  D. R

3. 化简

A.  B.  C.  D.

4. 不等式的解集是

A. 或 B. 或
C.  D.

5. 设i为虚数单位，则复数

A.  B.  C.  D.

6. 某地区连续六天的最低气温单位：为：9，8，7，6，5，7，则该六天最低气温的平均数和方差分别为

A. 7和 B. 8和 C. 7和1 D. 8和

7. 如图，长方体中，，，则

A. 1
B.
C. 2
D.
 

8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则

A.  B. 或 C.  D. 或

9. 已知平面，和直线l，则下列说法正确的是

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

A.  B.  C.  D.

11. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是

A.  B.  C.  D.

12. 若，，则

A.  B.  C.  D.

13. 设a，，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

14. 如图，在三棱锥中，E为棱SC的中点，若，，则异面直线AC与BE所成的角为
    
     

A.  B.  C.  D.

15. 若平面向量，的夹角为，且，则

A.  B.  C.  D.

16. 小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为v，则

A.  B.
C.  D.

17. 某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的，因库存积压，若按9折出售，每件还可获利

A. 15 B. 25 C. 35 D. 45

18. 函数的最小正周期为______.
19. 已知平面向量，满足，，，则______ .
20. 命题“，”的否定是______.
21. 袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是______.
22. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩单位：秒全部介于13与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组第二组…，第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩一个在第一组，一个在第五组的概率．

23. 如图，三棱锥中，，，，，E是AC的中点，点F在线段PC上.
    求证：；
    若平面BEF，求四棱锥的体积.
    参考公式：锥体的体积公式，其中S是底面积，h是高

已知定义域为R的函数是奇函数．
求b的值；
判断函数的单调性并证明；
若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．







答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：集合，，

故选：
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：由题意得：，解得，
故函数的定义域是，
故选：
根据分母不为0，求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，是基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：，
故选：
利用向量加法计算公式，即可直接解出．
本题考查了向量的加法，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：，
，
故选：
利用二次不等式的解法直接写出答案即可．
本题主要考查了一元二次不等式的应用，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：
故选：
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：由题意，六天最低气温的平均数，
方差
故选：
先求出该组数据的平均数，由此能求出该组数据的方差．
本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：长方体中，，
则，
解得
故选：
设出长方体的高，利用勾股定理转化求解即可．
本题考查几何体的点线面的距离的求法，是基本知识的考查．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：由正弦定理及得，，
因为，
所以，
故或
故选：
由已知结合正弦定理进行化简即可求解．
本题主要考查了正弦定理，属于基础题．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：对于A选项，若，，则与平行或相交，故A错误；
对于B选项，若，，则或相交，故B错误；
对于C选项，若，，则，为面面垂直的判定定理，故C选项正确；
对于D选项，若，，则，故D选项错误；
故选：
根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案．
本题考查了空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判断，属于基础题．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：，
故选：
由条件利用二倍角的余弦公式计算求得结果．
本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，
则所得图象的函数解析式为，
故选：
由条件根据函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
 

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查同角三角函数间的关系与两角和与差的正弦函数，属于较易题．
利用同角三角函数间的关系，可求得，再由两角差的正弦即可求得答案．
【解答】
解：，，
，
，
故选：  

13.【答案】A
 

【解析】解：若，则，即出成立．
若则，或
所以“是”的充分不必要条件．
故选：
根据：若则，或；由充分必要条件的定义可判断．
本题简单的考查了作差分解因式，判断大小；充分必要条件的判断方法．
 

14.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查异面直线及其所成的角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线及其所成的角是关键．
取SA的中点F，连接EF，BF，则或其补角为异面直线AC与BE所成的角，求出三角形的三边，即可求出异面直线AC与BE所成的角．
【解答】
解：取SA的中点F，连接EF，BF，则
为棱SC的中点，
，
或其补角为异面直线AC与BE所成的角，
，，
，

故选：  

15.【答案】B
 

【解析】解：由题意可得，
，
，
故选：
由题意可得，再根据，可得 ，从而得到答案．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的条件，属于基础题．
 

16.【答案】D
 

【解析】解：设甲地到乙地的距离为
则他往返甲乙两地的平均速度为，
，
，


故选：
设甲地到乙地的距离为可得他往返甲乙两地的平均速度为，由于，利用不等式的基本性质可得即可得出．
本题考查了路程与速度时间之间的关系、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】B
 

【解析】解：由题意可得每件还可获利：
每件还可获利25元．
故选：
由题意可得每件还可获利：，即可得出．
本题考查了指数幂的运算性质及其应用，属于基础题．
 

18.【答案】
 

【解析】解：函数的最小正周期为：
故答案为：
直接利用三角函数的周期求解即可．
本题考查三角函数周期的求法，是基础题．
 

19.【答案】
 

【解析】解：，，，
，

故答案为：
根据数量积的运算即可求出的值，进而得出的值．
本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
 

20.【答案】，
 

【解析】解：根据题意，命题，是全称量词命题，
其否定为，；
故答案为：，
根据题意，由全称量词命题的否定方法，分析可得答案．
本题考查命题的否定，涉及全称量词命题与存在量词命题的关系，属于基础题．
 

21.【答案】
 

【解析】解：记2个白球分别为白1，白2，3个黑球分别为黑1，黑2，黑3，从这5个球中任取两球，所有的取法有白1，白，白1，黑，白1，黑，白1，黑，白2，黑，白2，黑，白2，黑，黑1，黑，黑1，黑，黑2，黑，共10种．其中取出的两球颜色相同取法的有4种，
所以所求概率为
故答案为：
记2个白球分别为白1，白2，3个黑球分别为黑1，黑2，黑3，从这5个球中任取两球，列出所有的取法，得到取出的两球颜色相同取法的有4种，然后求解即可．
本题考查古典概型概率的求法，考查转化思想以及计算能力．
 

22.【答案】解：由频率分布直方图知
成绩在第一组的人数为人，设这3人的成绩分别为a，b，------
成绩在第五组的人数为人，设这2人的成绩分别为x，------
用表示从第一、五组随机取出两个成绩的基本事件，
当m，时，有，，，共3种情况------
当m，时，有种情况--------
当m，n分别在和时，有，，，，，，共6种情况，-------
所以基本事件总数为10，所求事件所包含的基本事件数为6-------
所以，所求事件的概率为------
 

【解析】求出第一组和第五组的人数，利用组合数公式求出从第一、五组所有成绩中随机取出两个的抽法种数及其中两个成绩分别来自不同组的抽法种数，根据古典概型概率公式计算．
本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，比较基础．
 

23.【答案】解：，，平面PAC，平面PAC，，
平面
又平面PAC，
平面BEF，平面PAC，平面平面，
又E为AC的中点，为PC的中点．

，，

由得平面PAC，
是四棱锥的高．

 

【解析】证明平面然后推出
求出通过求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力以及空间想象能力．
 

24.【答案】解：根据题意，
因为在定义域为R上是奇函数，
所以，即；
由知，
可得在上为减函数．
理由：设则，
函数在R上是增函数且，
又，
即
在上为减函数．
因是奇函数，从而不等式：
等价于，
因为减函数，由上式推得：
即对一切有：，
从而判别式，
即k的取值范围是
 

【解析】根据题意，由奇函数的性质可得，即，解可得b的值；
有函数的单调性的定义，用作差法证明即可得答案；
由奇函数与单调性的性质分析可得不等式：等价于，由减函数的性质可得，由二次函数的性质分析可得答案．
本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，关键是求出b的值．