2022年重庆市渝中区中考数学二调试卷（含解析）

2022年重庆市渝中区中考数学二调试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 在，，，，中，无理数的个数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示，该几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.

3. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

4. 下列调查适合用全面调查的是

A. 了解朝天门长江水域的水质情况
B. 了解全国中学生周末体育锻炼的时间
C. 调查某班级学生接种新冠疫苗的人数
D. 调查某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数

5. 如图，点，，，在同一条直线上，≌，若，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

6. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动绳索与滑轮之间没有滑动，则重物上升的高度为

A.
B.
C.
D.

8. 如图所示是我国现存最完整的古代计时工具元代铜壶滴漏，该滴漏从上至下通过多级滴漏，使得上层“壶”中的水可以匀速滴入最下层的的圆柱形“壶“中，“壶“中漂浮的带有刻度的木箭随水面匀速缓缓上移，对准标尺就可以读出时辰．如果用表示时间，用表示木箭上升的高度，那么下列图象能表示与的函数关系的是

A.
B.
C.
D.
 

9. 正整数至按一定的规律排列如表所示，若将表中三个涂黑的方框同时移动到表中其它的位置，使它们重新框出三个数，那么方框中三个数的和可能是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，是等边三角形的边上一点，四边形是平行四边形，点在的延长线上，为的中点．连接，若，，则的长为

A.  B.  C.  D.

11. 若关于的不等式组有解，且最多有个整数解，关于的方程有两个实数根，则所有符合条件的整数的和为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，则下列结论：时，随的增大而减小；；当为直角三角形时，的值有个；若点为对称轴上的动点，则的最大值为，其中正确的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 计算：______．
14. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字，，，把这四张卡片背面朝上放在桌上，随机抽取一张不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张．若将第一次抽取的卡片上的数字记为，第二次抽取的卡片上的数字记为，则点落在反比例函数的图象上的概率为______．
15. 如图，菱形中，，于点，为的中点，连接，，若，则的外接圆半径为______．
    
     

16. 北京冬奥会特许商品官方网站推出了冰墩墩手办、盲盒和钥匙扣等纪念品，并以零售和礼盒两种方式销售礼盒售价为各产品零售价之和其中甲种礼盒装有个手办，个盲盒，个钥匙扣；乙种礼盒装有个手办，个盲盒，个钥匙扣；丙种礼盒装有个手办，个盲盒，个钥匙扣．甲种礼盒的售价比乙种礼盒的售价多元，比丙种礼盒售价的倍少元，已知手办的单价不超过元，且各产品的零售单价均为的正整数倍，则盲盒的单价为______元．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 某校党委为提高党员教师使用“学习强国”的积极性，月份开展了一分钟答题挑战赛．规定：答对一道记分，下列数据是分别从初中组和高中组随机抽取的名党员教师的成绩单位：分．
    初中组：，，，，，，，，，；
    高中组：，，，，，，，，，．
    通过以上数据得到如下不完整的统计表：

根据以上信息，回答下列问题：
______，______，______；
该校初中组和高中组党员教师人数分别为人和人，若答对道题以上包括道为优秀等级，请估计该校共有多少名党员教师获得优秀等级；
已知，求，并说明哪个组党员教师的成绩波动性较小．






 

19. 如图，在中，．
    请用尺规完成以下基本作图：
    在上截取，使；
    作的平分线交于点；保留作图痕迹，不写作法．
    在的条件下，连接，若，，求的长．

20. 如图，当时，反比例函数与正比例函数的图象交于点．
    求反比例函数的解析式；
    观察图象，直接写出当时，的取值范围；
    若点在反比例函数的图象上，直线向上平移后经过点，交轴于点，求的面积．

21. 年月，央视财经频道献礼建党周年大型纪录片大国建造第二集栋梁之材中专门报道了重庆来福士塔楼．王老师为了测量来福士塔楼的高度，他在江北嘴嘉陵江边处沿坡角为的斜坡走了米到达点，此时正好与江对岸的朝天门广场及来福士塔楼底部在同一水平线上．在处测得观景台的仰角为，测得塔楼最高点的仰角为在同一平面据央视报道可知米．
    求朝天门广场与嘉陵江江面的垂直距离；结果取整数
    求塔楼高度的值．结果取整数．
    参考数据：，，；，，；，，

22. 某水果专卖店月份推出“红颜草莓“和“隋珠草莓”两个品种的新鲜草莓．已知每千克“隋珠草莓”比每千克“红颜草莓”多元，且用元购买到的红颜草莓与用元购买到的隋珠草莓的重量相同．
    求每千克红颜草莓和隋珠草莓的价格分别是多少元？
    月份第一周“红颜草莓”和“隋珠草莓”按原售价分别卖出千克和千克．第二周该水果店对这两种草莓进行降价促销，红颜草莓每千克降价元，销量比第一周增加了；隋珠草莓每千克降价元，销量比第一周增加了千克，结果第二周这两种草莓的销售总额比第一周增加了元．降价促销活动中，隋珠草莓的价格仍然高于红颜草莓的价格，求隋珠草莓降价后每千克多少元？
    
    
    
    
    
    
     
23. 阅读理解下列材料：
    “数形结合“是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：如图所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图，从整体看是一个边长为的正方形，其面积为从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为因为它们表示的是同一个图形的面积，所：以这两个代数式应该相等，即．
    同理，图可以得到一个等式：．
    根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
    由图可得等式：______；
    由图可得等式：______；
    若，，，且，，求的值．
    为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式．
    根据你画的图形可得等式：______．
    利用的结论，求的值．

24. 如图，已知抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上第四象限内的一个动点，连接交于点．
    求直线的解析式；
    当时，求点的坐标；
    如图，在的条件下，过点作轴于点，连接，再将轴右侧的抛物线沿直线翻折，交轴于点，求点的坐标．

25. 如图，四边形是正方形，点在的延长线上，连接，绕点逆时旋转得到，连接，，与对角线交于点．
    求的度数；
    试探究线段，，之间有何数量关系？请证明；
    若点在直线上运动，与对角线所在直线交于点，且，当时，请直接写出的长度．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：在，，，，中，无理数有，这个，
故选：．
根据无理数的概念求解即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】
 

【解析】解：从正面看，外面是一个正方形，里面右上角是一个小正方形．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

3.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算后直接选取答案．
本题考查积的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、了解朝天门长江水域的水质情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B、了解全国中学生周末体育锻炼的时间，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C、调查某班级学生接种新冠疫苗的人数，适合全面调查，故本选项符合题意；
D、调查某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，适合抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

5.【答案】
 

【解析】解：≌，，
，
，
．
故选：．
根据全等三角形的对应角相等求出，然后利用三角形外角的性质即可得解．
本题主要考查了全等三角形对应角相等，三角形外角的性质，是基础题，准确识图，找出对应角是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：

，
故选：．
先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

7.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：，
则重物上升了，
故选：．
根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为转过的弧长，利用弧长公式计算即可．
此题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解本题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：最下层的“壶”是圆柱形，
最下层的“壶”中水面上升的高度，即“壶”中漂浮的带有刻度的木箭上升的高度与时间是正比例关系，
即与的函数图象是正比例函数图象．
故选：．
根据最下层的“壶”是圆柱形，可得最下层的“壶”中水面上升的高度，即“壶”中酒浮的带有刻度的木箭上升的高度与时间是正比例关系，进而即可判断求解．
本题考查函数图象的应用，解题的关键正确解读题意和函数图象．
 

9.【答案】
 

【解析】解：设最左边数为，则另外两个数分别为、，
三个数之和为．
根据题意得：、，解得：，
B、，解得，
C、，解得，
D、，解得，
是最左边的数，
为整数且不能在第六列，也不能在第七列，
，，，都不可能，
故选：．
设最左边数为，则另外两个数分别为、，进而可得出三个数之和为，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出的值，由为整数、不能为第六列及第七列数，即可得到答案．
本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：延长交于点，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
为的中点，
是的中位线，
，
故选：．
延长交于点，易得是等边三角形，从而可求，为的中点由中位线定理可得．
本题考查了等边三角形的性质及判定和三角形中位线定理，解题关键是延长交于点，将构造为三角形中位线从而解题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
由得，
由得．
关于的不等式组有解，且最多有个整数解，
，
即可取，，或，或．
，
．
关于的方程有两个实数根，
，且，
解得且，
且，
整数的取值为，，，，，
所有整数的和为．
故选：．
表示出不等式组的解集，由不等式组最多有个整数解确定出的取值，再由关于的方程有两个实数根，求出满足题意整数的值，进而求出和．
本题考查了一元二次方程的定义，一元一次不等式组的整数解和根的判别式等知识点，能求出的范围和不等式组的范围是解此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：抛物线与轴交于点，，
对称轴，
时，随的增加而减少，时，随的增加而增大，
时，随的增大而减小，错误，故错误．
，
即，
将代入，则，
．则，故正确；
当为直角三角形时，有两种情况，一是，二是，
的值有个，故正确；
如图，连接，则，延长交直线：于点，

当点、、共线时取等号，
设直线的解析式为，
当时，，即，
当达到最大值时，点的坐标为，
，，
，
点的坐标为．
有最大值，最大值为，故错误．
综上所述，正确．
故选：．
求出对称轴再根据函数的增减性即可判断；
根据即，将代入，则，替换即可得，则，判断；
当为直角三角形时，有两种情况，一是，二是，的值有个，即可判断；
当点、、共线时，可取最大值求解即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点进行计算．
 

13.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据绝对值，零指数幂计算即可．
本题考查了零指数幂，绝对值，掌握是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：

共有个可能的结果，点在反比例函数的图象上的结果有个
点落在反比例函数的图象上的概率为：．
故答案为：．
直接利用树状图法列举出所有可能，进而得出答案．
此题主要考查了树状图法求概率、概率公式、反比例函数图象上点的坐标特征，正确列举出所有可能是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解答】解：延长交的延长线于，如图所示：
四边形是菱形，
，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
设，则，
，，是的中点，
，，
，
在和中，由勾股定理得：，
即，
解得：，或舍去，
，
，
，
是的外接圆的直径，
的外接圆半径为，
故答案为：．
延长交的延长线于，由菱形的性质得出，，证明≌，得出，，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，由直角三角形斜边上的中线性质得出，得出，在和中，由勾股定理得出方程，解方程求出，进而求出，即可得到的外接圆半径．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设手办的单价为元，盲盒的单价为元，钥匙扣的单价为元，
依题意得：，
化简得：．
，，均为的正整数倍，且，
或．
将，代入得：，
解得：不符合题意，舍去；
将，代入得：，
解得：．
盲盒的单价为元．
故答案为：．
设手办的单价为元，盲盒的单价为元，钥匙扣的单价为元，根据“甲种礼盒的售价比乙种礼盒的售价多元，比丙种礼盒售价的倍少元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由方程结合且，均为的正整数倍，可求出，的值，将其代入方程中结合为的正整数倍，即可得出结论．
本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；



．
 

【解析】根据完全平方公式、单项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
先算括号内的减法，然后算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、完全平方公式、单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．
 

18.【答案】   
 

【解析】解：由题意知，
高中组成绩重新排列为：，，，，，，，，，．
，
，
故答案为：，，；
名．
答：估计该校共有名党员教师获得优秀等级；
，
，
，
答：高中组党员教师的成绩波动性较小．
根据平均数、众数和中位数的概念求解可得；
利用样本估计总体思想求解可得；
求出，比较、的大小即可得．
本题主要考查众数、平均数、中位数、方差，掌握众数、平均数、中位数、方差的定义及其意义是解题的关键．
 

19.【答案】解：图形如图所示：


在和中，
，
≌，
，，
，，
，
．
 

【解析】根据要求作出图形即可；
证明≌，推出，，求出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：将代入得，
点坐标为，
将代入，
解得，
反比例函数的解析式．
由图象可得：时，．
将代入得：，
解得，
点坐标为，
将代入得：，
，
直线向上平移个单位得到，即直线表达式为，
将代入得：，
点坐标为，
过点作轴交于点，

设直线解析式为，
将，代入得：，
解得，
，
将代入得，
点坐标为，，
．
 

【解析】将点坐标代入一次函数解析式求出，然后通过待定系数法求解．
根据图象求解．
先求出点坐标，过点作轴交于点，由求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程及不等式的关系．
 

21.【答案】解：如图，过点作于点，

由，
可设米，米，
，且米，
，
解得：，
朝天门广场与嘉陵江江面的垂直距离为米；
在处测得观景台的仰角为，测得塔楼最高点的仰角为，米．
，，
，
，
，
米．
答：塔楼高度的值约为米．
 

【解析】过点作于点，根据锐角三角函数和勾股定理即可解决问题；
根据锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角、仰角俯角问题．考查的知识面比较多，利用仰角、俯角构造直角三角形是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：设每千克红颜草莓的价格为元，则每千克隋珠草莓的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：每千克红颜草莓的价格为元，则每千克隋珠草莓的价格为元；
由题意得：，
整理得：，
解得：或不合题意舍去，
，
则，
答：隋珠草莓降价后每千克元．
 

【解析】设每千克红颜草莓的价格为元，则每千克隋珠草莓的价格为元，由题意：用元购买到的红颜草莓与用元购买到的隋珠草莓的重量相同．列出分式方程，解方程即可；
由题意：第一周“红颜草莓”和“隋珠草莓”按原售价分别卖出千克和千克．第二周红颜草莓每千克降价元，销量比第一周增加了；隋珠草莓每千克降价元，销量比第一周增加了千克，结果第二周这两种草莓的销售总额比第一周增加了元，列出一元二次方程，解方程即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】   
 

【解析】解：图的面积，
又图的面积，
，
故答案为：；
由图可知长方形的长为，宽为，
长方形的面积，
故答案为：，
图形如下：

图形的面积，
又图形的面积，
，
故答案为：．
将，代入上述等式，
得，
解得．
用两种方法表示图的面积即可；
用两种方法表示图的面积即可；
根据题意可得图形；
用两种不同的方法表示图形的面积即可；
将条件代入上述等式即可求值．
本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

24.【答案】解：令，则．
．
令，则，
解得：或．
点在点的左侧，
，．
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为．
过点作于点，过点作于点，如图，

则．
．
设点，则．
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为．
．
解得：．

．
，
．
，
．
．
解得：．
．
设直线与抛物线交于点，如图，

轴于点，，
．
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为．
．
解得：，．
．
沿直线翻折得到抛物线是一条开口方向向右的抛物线，
设它的解析式为，
，
解得：．
．
令，则．
．
解得：或．
．
 

【解析】利用抛物线的解析式求得点，坐标，再利用待定系数法解解答即可；
利用待定系数法求得直线的解析式，再与直线解析式联立求得点坐标，过点作于点，过点作于点，利用平行线分线段成比例定理得到比例式，列出方程即可求解；
设直线与抛物线交于点，利用待定系数法求得的解析式，与抛物线解析式联立求得点坐标，再利用待定系数法求出翻折后的抛物线的解析式，再令，解方程即可求得点的纵坐标．
本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度，和利用待定系数法是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，连接，

四边形是正方形，
，
绕点逆时旋转得到，
，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
；
，理由如下：
如图，延长，交于点，

，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
如图，当点在线段的延长线上时，连接，延长交于，

，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∽，
，
，
，
四边形是正方形，，
，，
，
，
，
；
如图，当点在线段的延长线上时，

同理可求：，，，
，
，
，
综上所述：的长为或．
 

【解析】通过证明点，点，点，点四点共圆，可得；
通过证明四边形是平行四边形，可得，可求，由相似三角形的性质可得，即可求解；
分两种情况讨论，通过相似三角形的性质和直角三角形的性质可求，，，由线段的和差关系可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．