2022年江西省赣州市石城县中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2022年江西省赣州市石城县中考数学模拟试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年江西省赣州市石城县中考数学模拟试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共6小题，共30.0分）的个位数字A.  B.  C.  D. 若实数，满足，则的值是A.  B.  C.  D. 如图，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠后，恰好是等腰直角三角形，若，则的长度为
A.  B.  C.  D. 如图，是的直径，，是半径上的一动点，交于点，在半径上取点，使得，交于点，点，位于两侧，连接交于点，点从点出发沿向终点运动，在整个运动过程中，与的面积和的变化情况是A. 一直减小 B. 一直不变 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接若平分，反比例函数的图象经过上的两点，，且，的面积为，则的值为
A.  B.  C.  D. 若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”例如：、都是“整点”抛物线与轴交于、两点，若该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域包括边界恰有个整点，则的取值范围是A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）已知，满足，，则______．已知正整数满足是完全平方式，则的值是______．如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，，那么的长等于_______．

  如图，是等边三角形，点为边上一点，，以点为顶点作正方形，且，连接，若将正方形绕点旋转一周，当取最小值时，的长为______．如图，邻边长为和的矩形分割成，，，四块后，拼接成如图不重叠、无缝隙的正方形，则图中的长为______．
平面直角坐标系中，交轴正负半轴于点、，点为外轴正半轴上一点，为第三象限内上一点，交延长线于点，已知，，，则的值为______．
 三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）已知、是关于的方程两个实数根，并且．
求实数的取值范围；
若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值；
若，求的值．






 已知，且，求证：．






 正方形的边长为，，交于点在点处建立平面直角坐标系如图所示．
如图，双曲线过点，完成填空：点的坐标是______，点的坐标是______，双曲线的解析式是______；
如图，双曲线与，分别交于点，求证；
如图，将正方形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点当为等腰三角形时，求的值．







 如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点．
求证：直线是的切线；
求证：；
若点是半圆的一个三等分点，直接写出阴影部分的面积．






 如图，菱形中，，四边形的顶点，分别在边和上，，，连接．
若平分，求证：四边形为菱形；
在中的条件下，当时，将四边形绕点顺时针旋转至图所示的位置，连接．
猜想与的数量关系，并加以证明；
当过点时，求的值．







 定义：点是平面直角坐标系内一点，将函数的图象位于直线左侧部分，以直线为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数的函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折的部分记作，图象和合起来记作图象．
例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为．
如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为______．
函数的解析式为，当时，图象上某点的纵坐标为，求该点的横坐标．
已知函数的解析式为，
已知点、的坐标分别为、，图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围；
若点是图象上任意一点，当时，的最小值始终保持不变，求的取值范围直接写出结果．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：原式



，
，，，，，，，，
的个位数字为，，，四个数字的循环．
，
的个位数字是．
故选：．
在代数式前面乘以，代数式的值不变，连续使用平方差公式，找到规律即可求出代数式的值；通过列举，找到的个位数字的循环规律即可．
本题考查了平方差公式，尾数特征，解题的关键是在代数式前面乘以，构造平方差公式．
 2.【答案】
 【解析】解：实数，满足，
，，
，
将代入得，，
解得，或，
当时，，
当时，，
，
故选：．
把和看成一个整体解方程组即可求出，，再把代入，解出，的值，再利用幂的乘方进行求解即可．
本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握解方程组的方法和幂的运算法则是解答此题的关键．
 3.【答案】
 【解析】解：由折叠补全图形如图所示，

四边形是矩形，
，，，
由第一次折叠得：，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
由第二次折叠知，，
．
故选：．
先判断出，进而判断出，利用勾股定理即可得出结论．
此题主要考查了折叠问题，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关键．
 4.【答案】
 【解析】解：连接，，，设，，，

，，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，

故选：．
连接，，，设，，，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出即可判断；
本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．
 5.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
连接，，过点作于，过点作于证明，推出，推出，可得，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接，，过点作于，过点作于．

，，
，
，
点，在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．  6.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，抛物线与轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键．
画出图象，利用图象可得的取值范围
【解答】
解：且，
该抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线．
由此可知点、点、顶点符合题意．
当该抛物线经过点和时，这两个点符合题意．

将代入得到解得．
此时抛物线解析式为．
令得．
解得，．
轴上的点、、符合题意．
则当时，恰好有 、、、、、、这个整点符合题意．
当该抛物线经过点和点时，这两个点符合题意．

此时轴上的点 、、也符合题意．
将代入得到解得．
此时抛物线解析式为．
当时，得点符合题意．
当时，得点符合题意．
综上可知：当时，点、、、、、、、、，共有个整点，
不符合题意．
的值越大，抛物线的开口越小，的值越小，抛物线的开口越大，
综合可得：当时，该函数的图象与轴所围成的区域含边界内有七个整点．  7.【答案】
 【解析】解：，满足，，
，为方程的两根，
，，
则原式．
故答案为：．
根据题意得到，为方程的两根，利用根与系数的关系求出与的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，再利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，以及分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 8.【答案】或
 【解析】解：设且为整数，
因为方程有正整数解，所以方程中，
应是一个完全平方数，设且为整数，
，即，
，或，
或，
当时，，
舍去，，
当时，，
舍去，，
的值为或，
故答案为：或．
设且为整数，设且为整数，根据题意可得，或，求解可得答案．
此题考查的是完全平方式，根据题意列出方程组求解是解决此题的关键．
 9.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，解答本题要充分利用正方形的性质，圆的性质，三角形的相似等知识点．注意在正方形中的特殊三角形的应用，可有助于提高解题速度和准确率首先作出辅助线：过点作垂直，点是垂足．然后开始求值，可分成三步．第一步：求的值，利用∽，第二步：在直角中，求的值，第三步：求的值．
【解答】
解：如图，过点作垂直，点是垂足，

，
四点共圆，

是等腰直角三角形，
，
，
，，
∽，
，
，，
，
在直角中，，又是斜边上的高，
，
而，，
，
，
故AC边的长是．
故答案为．  10.【答案】
 【解析】解：过点作于，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在中，，
当正方形绕点旋转到点、、在同一条直线上时，，
即此时取最小值，
在中，，
在中，；
故答案为：．
【分析】
     过点作于，由已知得出，得出，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形绕点旋转到点、、在同一条直线上时，，即此时取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由勾股定理即可得出．
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．  11.【答案】
 【解析】解：如图，

矩形邻边长为和，
，
正方形由拼成，不重叠且无缝隙，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用两图形面积相等先求出，再利用求出，从而求出，即可求出．
本题考查正方形和矩形性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是将求解转化为求解，利用进行求解．
 12.【答案】
 【解析】解：设交于点，连接，延长、交于点，
是直径，
，
，
由圆的对称性可得，，，
，
，
≌，
，
由得，，
，
，
，
由∽，
，
设，，，则，，
，
，
在中，，
，，
，，则，
在中，，，
，
故答案为：．
要求的值，可以先求、即可，通过作辅助线，利用圆的对称性、相似三角形、全等三角形的性质求出相应的边长即可．
考查圆、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质以及直角三角形的边角关系等知识，综合应用知识能力是本题的鲜明特点．
 13.【答案】解：依题意得，
解得：；

因为且为正整数，
所以或，
当时，方程化为，，此方程无整数根；
当时，方程化为 解得，，
故所求的值为；

、是关于的方程两个实数根，
，，
，
，
，
，
，
．
 【解析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可得到的范围；
先确定整数的值为或，然后把或代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程确定方程有整数解的方程即可；
由根与系数的关系可得，，利用完全平方公式得到，根据，那么，求出，计算出，进而求出的值．
本题考查了根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 14.【答案】证明：



，
或或，
即或或，
不妨设，代入所要证等式左边，得：
左边

，
又且，
，
左边，
右边，
如果或，结论同样成立，所以所证等式成立．
 【解析】根据已知可得或或，然后再代入要证等式的左边进行计算即可解答．
本题考查了分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 15.【答案】解：正方形的边长为，，交于点，
，，
将点坐标代入双曲线得，，
解得，
双曲线的解析式为，
故答案为：，，；
双曲线与，分别交于点，，
设，，
，
，
，
由正方形可知，，
，，
，
；
正方形边长为，
由知，
，
当时，
，，，在反比例函数图象上，
，
；
当时，点与点重合，
，，，在反比例函数图象上，
，
；
当时，、不可能都在反比例函数图像上，故此情况不存在；
综上所述，满足条件的的值为或．
 【解析】根据正方形的边长可确定点的坐标，再利用正方形的性质得出点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可；
设出点和点的坐标，根据坐标的性质得出，推出即可得出；
根据点的坐标求出的长，再分三种情况讨论分别求出的值即可．
本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键．
 16.【答案】解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线是的切线；
连接，
为直径，
，
，
，
而，
∽，
，即，
，，
，
，
；
连接，作于点，
点是半圆的一个三等分点，
或，
当时，由得，，
，
．
当时，则，，
，，
．
．
综上所述，阴影部分的面积是或．
 【解析】本题属于圆的综合题，综合考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，三角形的面积以及扇形面积计算等，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．
连接，由，证明即可；
连接，由∽，可得，即，再证明即可；
连接，作于点，根据已知求出或，然后分两种情况求出和，即可得到答案．
 17.【答案】证明：如图，连接、，
四边形是菱形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形；
，，，
≌，
，，
，
，
；
，，
，
≌，
，
四边形是菱形．
．
证明：如图，连接、，作于点，则，
，，
，
，
，，
由旋转得，，
同理，，，
，，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
如图，作交的延长线于点，作于点，则，
在图中，，，由旋转得，，
，
，
，
，
，
，
，
由得，，
解得，，
．
 【解析】连接、，先证明≌，再证明≌，由菱形的定义可判定四边形为菱形；
连接、，作于点，先证明∽，再证明∽，可求出与的比值；
作交的延长线于点，作于点，根据勾股定理、用面积等式列方程可求出线段的长，从而得出要求的结果．
此题重点考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、二次根式的化简以及用面积等式列方程等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，属于考试压轴题．
 18.【答案】
 【解析】解：根据题意，将函数的解析式为的图象沿直线翻折，设所得函数的解析式为，
在取两点，，可得到这两点关于直线的对称点和，
把和分别代入，
得：，
解得：，
函数的解析式为．
根据题意，可得图象的解析式为：，
当时，，，
解得：，，
该点的横坐标为或；
根据题意，得图象的解析式为：，
当经过点或当时，，
解得：；
当经过点或当时，，
解得：或；
当经过点时，，
解得：；
当经过点时，，
解得：；
随着的增大，图象的左端点先落在上两个交点，的端点落在上一个交点，图象经过点两个交点，图象的左端点再次落在上一个交点，图象的端点落在上无交点，图象经过点一个交点，
的取值范围为：，或．
的最小值始终保持不变，
，
，
，整理得：，
令，
解得：，，
．
运用“相关函数”的定义结合待定系数法解答即可；
先写出图象的解析式，再分别将代入，解得值，即可得出该点的横坐标；
先根据“相关函数”的定义得出图象的解析式，再运用二次函数图象和性质分类讨论：当经过点时，当经过点时，当经过点时，当经过点时，综合得出结论即可；
由的最小值始终保持不变，结合抛物线对称轴为直线，可得出，再由，结合二次函数增减性列不等式求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了新定义在函数中的应用、抛物线的图象与线段的交点个数问题、二次函数的图象与性质、一元二次方程等知识点，数形结合、分类讨论、读懂定义并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．