2022年陕西省西安市周至县高考数学三模试卷（文科）

2022年陕西省西安市周至县高考数学三模试卷（文科）

1. 设全集，，，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数z满足，则

A.  B.  C.  D.

3. 已知组成北斗三号全球卫星导航系统的卫星中包含地球静止轨道卫星，它的运行轨道为圆形轨道，每小时运行的轨迹对应的圆心角为，若将卫星抽象为质点，以地球球心为原点，在卫星运行轨道所在平面建立平面直角坐标系，则以下函数模型中最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是

A. 指数函数型 B. 对数函数型 C. 幂函数模型 D. 三角函数模型

4. 已知向量，，，若A，C，D三点共线，则

A. 2 B.  C.  D.

5. 函数的图象大致是

A.  B.
C.  D.

6. 下列区间中，函数单调递增的区间是

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，，则以下不等式正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程单位：公里，现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中错误的是
    

A. 甲跑步里程的极差等于110
B. 乙跑步里程的中位数是273
C. 分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为，，则
D. 分别记甲、乙下半年每月跑步里程的标准差为，，则

9. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是

A.  B. 0 C. 1 D. 3

10. 设a，b是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

11. 《几何原本》里提出：“球的体积与它的直径的立方成正比”，即，其中常数k称为“立圆率”．对于等边圆柱轴截面是正方形的圆柱、正方体也可利用公式求体积在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长假设运用此体积公式求得等边圆柱底面圆的直径为、正方体棱长为、球直径为的“立圆率”分别为、、，则

A.  B.  C.  D.

12. 已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，是平面内一定点，下列说法正确的序号为
    ①抛物线准线方程为；
    ②若，则线段AB中点到x轴距离为3；
    ③以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切；
    ④的周长的最小值为

A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④

13. 在等差数列中，，设数列的前n项和为，则______.
14. 双曲线的一条渐近线的斜率，则m的取值范围是______.
15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为______.
16. 已知函数的图像在处的切线过坐标原点，则函数的最小值为______.
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
    求B；
    若，的周长为9，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC的中点．
    求证：平面PAD；
    当时，求三棱锥的体积．
    
    
    
    
    
    
     
19. “双减”政策明确指出要通过阅读等活动，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间．同学甲和同学乙约定周一到周日每天的阅读时间不能比前一天少．某周甲乙两人每天的阅读时间单位：，如表所示，其中学生甲周日的阅读时间m忘了记录，但知道，

若m的取值是随机的，求同学甲的本周阅读时间之和超过同学乙的本周阅读时间之和的概率；
根据同学甲本周前5天的阅读时间，求其阅读时间y关于序号x的线性回归方程，并估计同学甲周日阅读时间m的值．
参考数据：，
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，






 

20. 已知椭圆的离心率为，且短轴长等于双曲线：的实轴长．
    求椭圆C的标准方程；
    若A、B为椭圆C上关于原点O对称的两点，在圆D：上存在点P，使得为等边三角形，求直线AB的方程．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数
    当时，求的单调区间；
    若对于任意的实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：为参数，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为：
    求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
    若直线l与曲线C交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．
    
    
    
    
    
    
     

已知函数
求不等式的解集；
若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围．







答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：全集，，，
，，
，
故选：
先求出A、B的补集，然后进行交集运算即可．
本题主要考查了交集、补集的运算，属于基础题．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：，
，

故选：
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：由题意可知地球静止轨道卫星的运动模型近似为匀速圆周运动模型，具有周期性，故可用三角函数模型拟合．
故选：
由题意分析地球静止轨道卫星的运动模型近似为匀速圆周运动模型，即可得到答案．
本题考查了根据实际问题选择函数模型，属于基础题．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：，，
，
若A，C，D三点共线，
则，又，
，解得，
故选：
根据向量的坐标运算求出，根据，得到关于m的方程，解出即可．
本题考查了向量的坐标运算，考查转化思想，是基础题．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：因为，
所以定义域为，
，
所以为奇函数，排除B；
令，得或，即只有2个零点，排除A；
当时，，所以，排除
故选：
选求出定义域，再判断奇偶性和零点个数，最后判断函数在上的正负即可．
本题考查了函数的奇偶性、零点个数，属于基础题．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：对于函数，令，，
求得，
可得函数的单调递增的区间是，，
故选：
由题意，利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
本题主要考查诱导公式、正弦函数的单调性，属于基础题．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：由题意，故A错误；
，
当且仅当时，等号成立，故B正确；
，，故C错误；
，故D错误．
故选：
根据条件结合基本环等式进行求解．
本题考查命题真假的判断，考查基本不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：对于A，甲跑步里程的极差为，故A正确；
对于B，乙跑步里程的中位数为，故B正确；
对于C，甲跑步里程的平均数为，
乙跑步里程的平均数为，
，故C错误；
根据折线图可知，甲的波动大，乙的波动小，，故D正确．
故选：
根据极差、中位数、平均数、标准差的定义直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】A
 

【解析】解：命题“，”为真命题，
，
设，，
当时，取得最小值，，
实数a可取的最小整数值是，
故选：
由题意可知，再利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了存在性问题，考查了二次函数的性质，属于基础题．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：，，，a与b可能：、相交或为异面直线，因此不是的一个充分条件；
B.，，，可得，反之不一定成立，因此，，是的一个充分不必要条件；
C.，，，可得或为异面直线，因此不是的一个充分条件；
D.，，与b可能：、相交或为异面直线，因此不是的一个充分条件．
故选：
利用空间位置关系的判定与性质定理即可判断出结论．
本题考查了空间位置关系的判定与性质定理、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：设等边圆柱、正方体、球的体积分别为，，，
所以，
所以，，，
因为，所以，
故选：
计算出等边圆柱、正方体、球的体积，再利用公式求解出、、，即可求得答案．
本题主要考查空间几何体的计算，立体几何中的数学文化等知识，属于中等题．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：抛物线的焦点为，准线方程为，故①错误；
设A，B的纵坐标分别为，，可得，即，
则A，B的中点的纵坐标为3，即线段AB的中点到x轴的距离为3，故②正确；
因为点A在抛物线上，所以AF的长与A到准线的距离相等，故以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切，故③正确．
设为A在准线上的射影，
由抛物线的定义可得，则，当且仅当P，A，三点共线时，取得等号，
所以的周长的最小值为，故④正确；
故选：
求得抛物线的准线方程，可判断①；由抛物线的定义和中点坐标公式，可判断②；由抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，可判断③；由于A，B两点不确定，可判断④．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】143
 

【解析】解：因为等差数列中，，
所以，
则
故答案为：
由已知结合等差数列的性质可求，然后结合求和公式可求．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：因为的一条渐近线的斜率，
所以，
所以，
又，
所以m的取值范围是，
故答案为：
结合双曲线的渐近线的方程由条件列不等式可求m的取值范围．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
 

15.【答案】134
 

【解析】解：由题意得：新数列14，29，44，，是首项为14，公差为15的等差数列，
设新数列为，则通项公式为，
令，解得，
，这个数列的项数为
故答案为：
先得到新数列14，29，44，，是首项为14，公差为15的等差数列，求出通项公式，解不等式能求出数列的项数．
本题考查数列的项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：由，得，
，又，
函数的图象在处的切线方程为，
把代入，可得，即
，得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
则
故答案为：
求出函数在处的切线方程，代入原点坐标求解a，得到函数解析式，再由导数分析单调性，即可求得函数的最小值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：由，可得，
即，由，可得，则内角；
由，
由，的周长为9，可得，
所以，即有，
所以的面积为
 

【解析】由三角形的正弦定理和两角和的正弦公式、诱导公式和特殊角的三角函数值，可得所求角；
由三角形的余弦定理和面积公式，化简整理可得所求面积．
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：点M，N分别为线段PB，PC的中点，
，
又四边形ABCD为正方形，，

又平面PAD，平面PAD，
平面PAD；
解：，四边形ABCD为正方形，
，
平面ABCD，N为线段PC的中点．
点N到平面ACD的距离

 

【解析】利用中位线定理以及平行线的传递性证明，再由判定定理证明即可；
求出点N到平面ACD的距离，再由体积公式求解即可．
本题考查了线面平行的证明以及三棱锥体积的计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：，，
的取值一共有25个不同的结果，且它们等可能；
令，
解得；
故同学甲的本周阅读时间之和超过同学乙的本周阅读时间之和的概率为；
，，
故，
，
故，
故当时，
 

【解析】分析可知，利用古典概率模型求概率即可；
利用线性回归方程的公式求回归方程即可．
本题考查了古典概率模型及线性回归的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：依题意有，解得，
椭圆C的标准方程为
点P在圆D：上，
，
又为等边三角形，且O为线段AB的中点，
，，
①当直线AB的斜率不存在时，A，B为椭圆C的上下顶点，
，不符合题意；
②当直线AB的斜率存在时，设，直线AB的方程为，
联立
解得，，
，解得，
直线AB的方程为：
 

【解析】根据题意直接列方程组求解即可；
根据题意可得，设直线AB的方程代入求解，注意讨论斜率是否存在．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

21.【答案】解：
当时，令解得，
当时，，当时，，
函数单调递减区间为，单调递增区间为；
不等式，等价于，则，
令，则
令，得或，令，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
又当，，，，
实数a的取值范围为
 

【解析】由已知可得令可求的单调区间；
参变分离得，，通过求的最大值即可求解．
本题考查不等式恒成立问题，参变分离后构造函数，通过函数的最值求解，属中档题．
 

22.【答案】解：直线l的参数方程为：为参数，
直线l的普通方程为
曲线C的极坐标方程为，
根据，可得曲线C的直角坐标方程为
联立，解得或
，
AB的中点坐标为
以AB为直径的圆的直角坐标方程为，
即
根据，
可得以AB为直径的圆的极坐标方程为
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用方程组的解法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：，
不等式等价于，
或，
不等式的解集为
由易知，
关于x的不等式的解集为R等价于，
，解得，
实数a的取值范围为
 

【解析】通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
根据的最小值，得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数最值以及转化思想，是中档题．