高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2 指数幂的运算性质课后复习题

简单幂函数的图象和性质

[A级　基础巩固]

1．(多选)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．－1

C．3  D．－3

解析：选AC　当α＝－1时，y＝x－1＝，为奇函数，但值域为{y|y≠0}，不满足条件．

当α＝1时，y＝x为奇函数，值域为R，满足条件．

当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为{y|y≥0}，不满足条件．

当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R，满足条件．故选A、C.

2．幂函数f(x)＝x的大致图象为图中的(　　)

解析：选B　由于f(0)＝0，所以排除C、D选项．又f(－x)＝(－x)＝＝＝f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．

3．若f(x)是幂函数，且满足＝4，则f＝(　　)

A．－4  B．4

C．－  D．

解析：选D　设f(x)＝xα，则f(4)＝4α＝22α，f(2)＝2α.

∵＝＝2α＝4＝22，

∴α＝2，∴f(x)＝x2，

∴f＝＝，故选D.

4．函数y＝x(m，n∈N＋，且m，n互质)的图象如图所示，则(　　)

A．m，n是奇数，<1

B．m是偶数，n是奇数，>1

C．m是偶数，n是奇数，<1

D．m是奇数，n是偶数，>1

解析：选C　由函数图象可知y＝x是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数．又当x∈(1，＋∞)时，y＝x的图象在y＝x的图象下方，故<1.

5．已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)

A．(0，1]∪[2，＋∞)  B．(0，1]∪[3，＋∞)

C．(0， ]∪[2，＋∞)  D．(0， ]∪[3，＋∞)

解析：选B　当0<m≤1时，≥1，y＝(mx－1)2在[0，1]上单调递减，值域为[(m－1)2，1]；y＝＋m在[0，1]上单调递增，值域为[m，1＋m]，此时两个函数图象有且仅有一个交点．当m>1时，0<<1，y＝(mx－1)2在上单调递增，所以要与y＝＋m的图象有且仅有一个交点，需(m－1)2≥1＋m，即m≥3.综上所述，0<m≤1或m≥3.故选B.

6．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋1)x的图象不经过原点，则实数m的值为________．

解析：依题意得m2－3m＋1＝1，解得m＝0或m＝3.当m＝0时，f(x)＝x，其图象经过原点，不符合题意；当m＝3时，f(x)＝x－2，其图象不经过原点，符合题意，因此实数m的值为3.

答案：3

7．若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值是________．

解析：由题意可知m2－2m－2＝1，得m＝3或m＝－1.当m＝3时，－4m－2＝－14，幂函数y＝x－14在(0，＋∞)上单调递减，满足题意；当m＝－1时，－4m－2＝2，幂函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意，所以m＝－1舍去．故m＝3.

答案：3

8．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：

(1)是偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．

如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号)．

解析：对于函数①，f(x)＝x－1是一个奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f(x)＝x－2是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件．

答案：②

9．已知幂函数y＝x (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．

解：∵m∈Z，且图象与x轴、y轴均无交点，

∴m2－2m－3＝(m＋1)(m－3)≤0，

即－1≤m≤3(m∈Z)．

又∵图象关于y轴对称，

∴m2－2m－3的值是偶数，得m＝－1或m＝1或m＝3.

其中当m＝1时，函数为y＝x－4，图象如图①所示；

当m＝－1或m＝3时，

函数为y＝x0＝1(x≠0)，图象如图②所示．

10．已知幂函数f(x)＝x，其中－2<m<2，且m∈Z，满足：

①在区间(0，＋∞)上是增函数；

②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.

求同时满足条件①②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时，f(x)的值域．

解：因为－2<m<2，且m∈Z，所以m＝－1，0，1.

因为对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②；

当m＝1时，f(x)＝x0，条件①②都不满足；

当m＝0时，f(x)＝x3，条件①②都满足．

因此f(x)＝x3，且f(x)在区间[0，3]上是增函数，所以0≤f(x)≤27，

故f(x)的值域为[0，27]．

[B级　综合运用]

11．有一种密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理为：发送方根据加密密钥把明文转为密文(加密)，接收方根据加密密钥把密文转为明文(解密)．现在已知加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．

解析：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝x.由x＝3，得x＝9.

答案：9

12．已知幂函数f(x)＝x (m∈N＋)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

解：(1)∵m∈N＋，

∴m2＋m＝m(m＋1)为偶数．

令m2＋m＝2k，k∈N＋，

则f(x)＝，

∴f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数．

(2)由题意可得＝2＝2，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2(舍去)，

∴f(x)＝x，

由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，

∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，解得1≤a<，故实数a的取值范围为.