北师大版 (2019)3.2 指数函数的图像和性质精练

指数函数的概念、图象与　性质

[A级　基础巩固]

1．已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为(　　)

A．(0，1)　　　　　　　 B．(2，3)

C．(3，2)  D．(2，2)

解析：选B　令x－2＝0，可得x＝2，且f(2)＝a2－2＋2＝3，所以函数的图象恒过定点(2，3)，即A的坐标为(2，3)．

2．已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝1，则a＝(　　)

A.  B．

C．1  D．2

解析：选A　根据题意可得f(－1)＝21＝2，

∴f(f(－1))＝f(2)＝a·22＝1，解得a＝，故选A.

3．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0，2)上的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是(　　)

解析：选B　对于函数f(x)＝ax，当x＝0时，f(0)＝a0＝1，当x＝2时，f(2)＝a2.

由于指数函数是单调函数，则有a2>1，即a>1.

所以函数y＝f(x)的图象是上升的，且在x轴上方，结合选项可知B正确．

4．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称

B．函数y＝3x与y＝的图象关于x轴对称

C．函数y＝3x与y＝－的图象关于原点对称

D．函数y＝3x与y＝－3x的图象关于x轴对称

解析：选ACD　易知函数y＝ax与y＝＝a－x的图象关于y轴对称，且函数y＝与y＝－的图象关于x轴对称，所以函数y＝ax与y＝－的图象关于原点对称，所以B说法错误．

5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)

解析：选C　由函数f(x)的图象可知，－1＜b＜0，a＞1，则g(x)＝ax＋b为增函数，当x＝0时，g(0)＝1＋b＞0，故选C.

6．函数f(x)＝2x－3(1<x≤5)的值域是________．

解析：因为1<x≤5，所以－2<x－3≤2.而函数f(x)＝2x－3在其定义域上是增函数，所以<f(x)≤4，即所求函数的值域为.

答案：

7．函数y＝的定义域是________．

解析：要使函数有意义，必有32x－1－≥0，即32x－1≥3－3，由指数函数的单调性可得2x－1≥－3，解得x≥－1.所以函数的定义域为[－1，＋∞)．

答案：[－1，＋∞)

8．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，其图象经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为________．

解析：由已知得解得所以f(x)＝＋3，所以f(－2)＝＋3＝4＋3＝7.

答案：7

9．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，求实数a的值．

解：当0<a<1时，函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)为减函数，所以无解．当a>1时，函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)为增函数，所以解得a＝.

综上a的值为.

10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0，且a≠1.

(1)求a的值；

(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．

解：(1)函数图象经过点，所以a2－1＝，则a＝.

(2)由(1)知函数为f(x)＝(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜≤＝2，所以函数的值域为(0，2]．

[B级　综合运用]

11．已知函数f(x)满足f(x＋1)的定义域是[0，31)，则f(2x)的定义域是(　　)

A．[1，32)  B．[－1，30)

C．[0，5)  D．(－∞，30]

解析：选C　∵f(x＋1)的定义域是[0，31)，即0≤x<31，∴1≤x＋1<32，∴f(x)的定义域是[1，32)，

∴f(2x)有意义必须满足20＝1≤2x<32＝25，∴0≤x<5.

12．(多选)如图，某湖泊的蓝藻的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系满足y＝at，则下列说法正确的是(　　)

A．蓝藻面积每个月的增长率为100%

B．蓝藻每个月增加的面积都相等

C．第6个月时，蓝藻面积就会超过60 m2

D．若蓝藻面积蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有t1＋t2＝t3

解析：选ACD　由题图可知，函数y＝at的图象经过点(1，2)，即a1＝2，则a＝2，∴y＝2t；

∴2t＋1－2t＝2t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，因而每个月的增长率为100%，A对，B错；

当t＝6时，y＝26＝64>60，C对；

若蓝藻面积蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2＝2，2＝3，2＝6，于是2·2＝2×3，即2＝6，因而t1＋t2＝t3，D对．

13．已知－1≤x≤2，则函数f(x)＝3＋2·3x＋1－9x的值域为________．

解析：f(x)＝3＋2·3x＋1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3.令3x＝t，则－(3x)2＋6·3x＋3＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12.

∵－1≤x≤2，∴≤t≤9.∴当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24.∴函数f(x)的值域为[－24，12]．

答案：[－24，12]

14．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．

(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；

(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；

(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．

解：(1)因为f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，

所以

又因为a>0，且a≠1，所以a＝，b＝－3.

(2)因为f(x)单调递减，所以0<a<1，又f(0)<0.

即a0＋b<0，所以b<－1.

故a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为(－∞，－1)．

(3)画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．

[C级　拓展探究]

15．设f(x)＝3x，g(x)＝.

(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；

(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？

解：(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：

(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3；

f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π；

f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m.

从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．