高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念精练

对数函数的概念　对数函数y＝log2x的图象和性质

[A级　基础巩固]

1．对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　)

A．y＝log4x　　　　　　　 B．y＝logx

C．y＝logx  D．y＝log2x

解析：选D　设该函数为y＝logax(a>0，且a≠1)，由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.

2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)

A．log2x  B．

C．logx  D．2x－2

解析：选A　函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.

3．已知x＝20.2，y＝log20.2，z＝0.20.3，则下列结论正确的是(　　)

A．x<y<z  B．y<z<x

C．z<y<x  D．z<x<y

解析：选B　∵x＝20.2>20＝1，y＝log20.2<log21＝0，0<z＝0.20.3<0.20＝1，∴y<z<x.故选B.

4．函数f(x)＝1＋log2x和g(x)＝21＋x在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　)

解析：选D　因为f(x)＝1＋log2x的图象过点(1，1)，而g(x)＝21＋x的图象过点(－1，1)，结合图象，知D符合要求．

5．已知函数f(x)＝|log2x－1|，若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根x1，x2，则x1x2的值为(　　)

A．1  B．2

C．4  D．不确定

解析：选C　由|log2x－1|＝k有两个不同的实根x1，x2，可设x1>x2，则则故x1x2＝2k＋1·2－k＋1＝4，故选C.

6．已知函数y＝log2(x＋2)＋m的图象不过第四象限，则实数m的取值范围为________．

解析：由题意，知log22＋m≥0，所以m≥－1.

答案：[－1，＋∞)

7．函数f(x)＝log2(x2－4x－5)的单调递减区间为________．

解析：由题意得x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5，所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．令t＝x2－4x－5(x<－1或x>5)，由二次函数的图象与性质 ，知t＝x2－4x－5的单调递减区间为(－∞，－1)．所以函数f(x)＝log2(x2－4x－5)的单调递减区间为(－∞，－1)．

答案：(－∞，－1)

8．函数y＝log2(x2＋1)在(0，＋∞)上是单调递________函数，其值域为________．

解析：t＝x2＋1在(0，＋∞)上为增函数，而y＝log2t在(0，＋∞)上也是增函数，由复合函数单调性知函数是单调递增函数，又因为x2＋1≥1，故值域为[0，＋∞)．

答案：增　[0，＋∞)

9．若函数y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)的图象过点(－1，0)．

(1)求a的值；

(2)求函数的定义域．

解：(1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)中，

有0＝loga(－1＋a)，

则－1＋a＝1，所以a＝2.

(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，

所以函数的定义域为{x|x>－2}．

10．已知函数f(x)＝|log2x|，若0<a<b，且f(a)>f(b)，证明ab<1.

证明：作出f(x)＝|log2x|的图象，如图所示．

由图可以看出，若0<a<b<1满足f(a)>f(b)，此时有ab<1成立；若0<a<1<b，则f(a)＝|log2a|＝－log2a，f(b)＝|log2b|＝log2b，

因为f(a)>f(b)，所以－log2a>log2b，即log2a＋log2b<0，log2ab<0，所以ab<1；

若1<a<b，则f(a)<f(b)与条件f(a)>f(b)相矛盾．

综上可知，若0<a<b，且f(a)>f(b)，则ab<1.

[B级　综合运用]

11．若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同形函数”．给出下列四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则是“同形函数”的是(　　)

A．f2(x)与f4(x)  B．f1(x)与f3(x)

C．f1(x)与f4(x)  D．f3(x)与f4(x)

解析：选A　∵f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，∴f2(x)＝log2(x＋2)的图象沿x轴先向右平移2个单位长度，得到y＝log2x的图象，然后沿着y轴向上平移1个单位长度，得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，根据“同形函数”的定义，可知选A.

12．已知函数f(x)＝log2(2＋x)＋log2(2－x)．

(1)求函数y＝f(x)的定义域；

(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性；

(3)若f(m－2)<f(m)，求实数m的取值范围．

解：(1)要使函数有意义，则得－2<x<2，

∴函数y＝f(x)的定义域为{x|－2<x<2}．

(2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为{x|－2<x<2}，关于原点对称，对任意x∈(－2，2)，－x∈(－2，2)．

∵f(－x)＝log2(2－x)＋log2(2＋x)＝f(x)，

∴函数y＝f(x)为偶函数．

(3)函数f(x)＝log2(2＋x)＋log2(2－x)＝log2(4－x2)，由复合函数单调性判断法则知，当0≤x<2时，函数y＝f(x)为减函数，又函数y＝f(x)为偶函数，则不等 式f(m－2)<f(m)等价于|m|<|m－2|<2，解得0<m<1，故实数m的取值范围是(0，1)．