高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质练习题

对数函数图象及性质的应用(习题课)

[A级　基础巩固]

1．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)

A．0<k<1　　　　　　 B．0≤k<1

C．k≤0或k≥1  D．k＝0或k≥1

解析：选C　令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.

2．(多选)设集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中不正确的有(　　)

A．A∪B＝B  B．A∩B＝∅

C．A＝B  D．A⊆B

解析：选BC　由题意知集合A＝{x|x>0}，B＝{y|y∈R}，所以A⊆B.

3．已知函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)，其中a>0且a≠1，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是(　　)

A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数

B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数

C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数

D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数

解析：选B　F(x)，G(x)的定义域为(－2，2)．∵F(－x)＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)，G(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)，∴F(x)是偶函数，G(x)是奇函数．

4．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0，1)上是增函数

B．奇函数，且在(0，1)上是减函数

C．偶函数，且在(0，1)上是增函数

D．偶函数，且在(0，1)上是减函数

解析：选A　由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0，1)上为增函数，故f(x)在(0，1)上为增函数，故选A.

5．(多选)关于函数f(x)＝lg ，正确的结论是(　　)

A．函数f(x)的定义域是(0，＋∞)

B．函数f(x)是奇函数

C．函数f(x)的最小值为－lg 2

D．当0<x<1时，函数f(x)是增函数；当x>1时，函数f(x)是减函数

解析：选AD　由>0知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，则函数f(x)是非奇非偶函数，所以A正确，B错误；f(x)＝lg ＝－lg≤－lg 2，即函数f(x)的最大值为－lg 2，所以C错误；令y＝x＋，当0<x<1时，该函数是减函数；当x>1时，该函数是增函数．而函数y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以D正确．

6．函数y＝log(1－x2)的单调递减区间是________；其值域是________．

解析：函数y＝log(1－x2)的定义域是(－1，1)．函数t＝1－x2在(－1，0)上是增函数，在(0，1)上是减函数，且值域是(0，1)，而y＝logt在(－1，1)上是减函数，因此函数y＝log(1－x2)的单调递减区间是(－1，0)，其值域是(0，＋∞)．

答案：(－1，0)　(0，＋∞)

7．已知函数f(x)＝|lg x|＋2，若实数a，b满足b>a>0，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．

解析：由f(x)的图象可知，0<a<1<b，

又f(a)＝f(b)，因此|lg a|＝|lg b|，于是lg a＝－lg b，则b＝，所以a＋2b＝a＋，

设g(a)＝a＋(0<a<1)．

因为g(a)在(0，1)上为减函数，所以g(a)>g(1)＝3，即a＋>3，所以a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．

答案：(3，＋∞)

8．已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等 式f(log4x)<0的解集是________．

解析：由题意可知，f(log4x)<0⇔－<log4x<⇔4<x<4⇔<x<2.

答案：

9．已知函数f(x)＝lg(x＋2)－lg(2－x)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)求不等式f(x)>1的解集．

解：(1)要使函数f(x)有意义 ，

则解得－2<x<2.

故所求函数f(x)的定义域为(－2，2)．

(2)f(x)为奇函数，证明如下：

由(1)知f(x)的定义域为(－2，2)关于原点对称，

设任意的x∈(－2，2)，则－x∈(－2，2)，

且f(－x)＝lg(－x＋2)－lg(2＋x)＝－f(x)，

故f(x)为奇函数．

(3)因为f(x)在定义域(－2，2)上是增函数，

所以f(x)>1等价于>10，解得x>.

所以不等式f(x)>1的解集是.

10．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，∴a＋5＝4，得a＝－1，

∴f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3>0，得－1<x<3，

即函数f(x)的定义域为(－1，3)．

令g(x)＝－x2＋2x＋3，

则g(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．

又y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，

∴f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)．

(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，

令h(x)＝ax2＋2x＋3，则h(x)min＝1，

∴解得a＝，

∴存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.

[B级　综合运用]

11．(2021·杭州西湖区高一月考)若定义运算f(a⊗b)＝则函数f(log2(1＋x)⊗log2(1－x))的值域是(　　)

A．(－1，1)  B．[0，1)

C．[0，＋∞)  D．[0，1]

解析：选B　因为f(a⊗b)＝

所以y＝f(log2(1＋x)⊗log2(1－x))＝

当0≤x<1时，函数y＝log2(1＋x)，因为y＝log2(1＋x)在[0，1)上为增函数，所以y∈[0，1)．

当－1<x<0时，函数y＝log2(1－x)，因为y＝log2(1－x)在(－1，0)上为减函数，所以y∈(0，1)．

综上可得y∈[0，1)，

所以函数f(log2(1＋x)⊗log2(1－x))的值域为[0，1)，故选B.

12．(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　)

A．f(4)＝－3

B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点

C．函数y＝f(x)的最小值为－4

D．函数y＝f(x)的最大值为4

解析：选ABC　A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．

13．若函数f(x)＝对任意x1≠x2，都有<0，则实数a的取值范围是________．

解析：由条件知，分段函数f(x)在R上单调递减，

则

所以所以≤a<.

答案：

14．已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1.

(1)求a的值；

(2)解不等式log(x－1)>log(a－x)；

(3)求函数g(x)＝|logax－1|的单调区间．

解：(1)∵loga3>loga2，∴a>1，

∴y＝logax在[a，2a]上为增函数，

∴loga(2a)－logaa＝loga2＝1，∴a＝2.

(2)依题意可知解得1<x<，

∴不等式的解集为.

(3)g(x)＝|log2x－1|，

∴当x＝2时，g(x)＝0，

则g(x)＝

∴函数g(x)在(0，2]上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，

∴g(x)的单调递减区间为(0，2]，单调递增区间为(2，＋∞)．

[C级　拓展探究]

15．定义在区间D上的函数f(x)满足：若对任意x1，x2∈D，都有f≥[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)是D上的上凸函数．

(1)判断函数y＝是否为上凸函数？为什么？

(2)若函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是上凸函数，求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当x∈(0，1]时，不等式f(mx2＋x)≤0恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)函数y＝是上凸函数．理由如下：

设x1，x2∈[0，＋∞)，欲证函数y＝是上凸函数，需证≥(＋)，即证≥(x1＋x2＋2)，即证x1＋x2≥2，

由不等式知识可得上式显然成立，故函数y＝是上凸函数．

(2)由函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是上凸函数，

可得对任意x1，x2∈(0，＋∞)，loga ≥(logax1＋logax2)＝loga.

又x1＋x2≥2，所以a>1.

(3)当x∈(0，1]时，不等式f(mx2＋x)≤0恒成立，即

loga(mx2＋x)≤0，即0<mx2＋x≤1恒成立，

可得－<m≤在x∈(0，1]时恒成立．

因为x∈(0，1]，

所以≥1，－∈(－∞，－1]，所以m>－1.

由＝－，及≥1，可得≥0，

所以m≤0.

故－1<m≤0.