北师大版 (2019)必修 第一册第五章 函数应用1 方程解的存在性及方程的近似解1.2 利用二分法求方程的近似解习题
展开利用二分法求方程的近似解
[A级 基础巩固]
1．(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝log4x D．f(x)＝ex－2
解析：选ACD f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．故选A、C、D.
2．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根落在区间( )
A．(2，2.25) B．(2.25，2.5)
C．(2.5，2.75) D．(2.75，3)
解析：选C 因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由零点存在定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)内，故选C.
3．已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间(0，4)，(0，2)，(1，2)，内，则与f(0)符号相同的是( )
A．f(1) B．f(2)
C．f D．f(4)
解析：选A 零点在(0，4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2；
零点在(0，2)内，则有f(0)·f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，取中点1；零点在(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0，取中点；零点在内，则有f(1)·f<0，则f(1)>0，f<0.
所以与f(0)符号相同的是f(1)．
4．(多选)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
f(2)≈－1.307 | f(3)≈1.099 | f(2.5)≈－0.084 |
f(2.75)≈0.512 | f(2.625)≈0.215 | f(2.562 5)≈0.066 |
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为( )
A．2.52 B．2.56
C．2.66 D．2.75
解析：选AB 由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似根在(2.5，2.562 5)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选A、B.
5．若函数f(x)＝log3x＋x－3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：
f(2)＝－0.369 1 | f(2.5)＝0.334 0 |
f(2.25)＝－0.011 9 | f(2.375)＝0.162 4 |
f(2.312 5)＝0.075 6 | f(2.281 25)＝0.031 9 |
那么方程x－3＋log3x＝0的一个近似根(精确度为0.1)为( )
A．2.1 B．2.2
C．2.26 D．2.4
解析：选C 根据题意，方程x－3＋log3x＝0的根就是函数f(x)＝log3x＋x－3的零点，由题中表格可得f(2.25)<0，f(2.281 25)>0，有f(2.25)·f(2.281 25)<0且|2.281 25－2.25|＝0.031 25<0.1，则函数f(x)的零点在区间(2.25，2.281 25)中，即方程x－3＋log3x＝0的一个近似根在区间(2.25，2.281 25)内，只有C选项的数值在区间(2.25，2.281 25)内，则方程x－3＋log3x＝0的一个近似根为2.26，故选C.
6．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度为0.1，需将区间等分________次．
解析：开区间(2，4)的长度等于2，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，因为用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，要求精确度为0.1，所以≤0.1，解得n≥5.
答案：5
7．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．
解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．
答案：1.5，1.75，1.875，1.812 5
8．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是____________．
解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.
答案：a2＝4b
9．在一个风雨交加的夜里，某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段查找，困难很多，每查一个点需要很长时间．
(1)维修线路的工人师傅应怎样工作，才能每查一次，就把待查的线路长度缩减一半？
(2)要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右，最多要查多少次？
解：(1)如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E查，依次类推…
(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此最多只要7次就够了．
10．已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，用二分法求方程f(x)＝0的正根(精确度为0.01)．
解：由于函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，因此f(x)＝0的正根最多有一个．
因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，
所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间 | 中点值 | 中点函数近似值 |
(0，1) | 0.5 | 0.732 |
(0，0.5) | 0.25 | －0.084 |
(0.25，0.5) | 0.375 | 0.328 |
(0.25，0.375) | 0.312 5 | 0.124 |
(0.25，0.312 5) | 0.281 25 | 0.021 |
(0.25，0.281 25) | 0.265 625 | －0.032 |
(0.265 625，0.281 25) | 0.273 437 5 | －0.005 43 |
(0.273 437 5，0.281 25) |
|
|
因为|0.273 437 5－0.281 25|＝0.007 812 5<0.01，所以方程的根的近似值为0.273 437 5，即f(x)＝0的正根约为0.273 437 5.
[B级 综合运用]
11．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0，则( )
A．f(x)在上有零点
B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点
D．f(x)在上无零点
解析：选B 由f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0可知f·f(b)<0，根据零点存在定理可知f(x)在上有零点．
12．已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数．
(1)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围；
(2)若m＝－4，判断f(x)在(－1，1)上是否存在零点？若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．
解：(1)易知函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，
∵f(x)在区间[－1，1]上存在零点，∴
即∴－13≤m≤3，
∴实数m的取值范围是[－13，3]．
(2)当m＝－4时，f(x)＝2x2－8x－1，
易求出f(－1)＝9，f(1)＝－7.
∵f(－1)·f(1)<0，f(x)在区间(－1，1)上单调递减，
∴函数f(x)在(－1，1)上存在唯一零点x0.
∵f(0)＝－1<0，∴f(－1)·f(0)<0，
∴x0∈(－1，0)．
∵f＝>0，∴f·f(0)<0，
∴x0∈.
∵f＝>0，∴f·f(0)<0，
∴x0∈.
∵f＝>0，∴f·f(0)<0，
∴x0∈.
∵＝<＝0.2，
∴所求区间为.
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