高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 样本的数字特征同步训练题

样本的数字特征

[A级　基础巩固]

1．(多选)为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．根据统计图的数据，下列结论错误的是(　　)

A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次

B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次

C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320

D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为32

解析：选ABC　由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次.1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为160.D是错误的．

2．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA，xB，样本标准差分别为sA，sB，则(　　)

A．A>B，sA>sB　　　　　 B．A<B，sA>sB

C．A>B，sA<sB  D．A<B，sA<sB

解析：选B　∵样本A的数据均不大于10，样本B的数据均不小于10，∴A<B.

由题图可知样本A中数据波动程度较大，样本B中数据较稳定，∴sA>sB.故选B.

3．某中学高一年级从甲、乙两个班级中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)如下：

甲　78　79　80　8x　85　96　92

乙　76　81　81　8y　91　96　91

其中x，y处污损．若甲班学生成绩的平均数是85分，乙班学生成绩的中位数是83分，则x＋y的值为(　　)

A．7  B．8

C．9  D．16

解析：选B　甲班学生成绩的平均数为甲＝×(78＋79＋80＋80＋x＋85＋96＋92)＝85(分)，解得x＝5，乙班学生成绩的中位数是83分，所以y＝3，所以x＋y＝8.

4．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，则该射手成绩的极差和方差分别是(　　)

A．0.2，0.127  B．0.3，0.016

C．9.4，0.080  D．0.3，0.216

解析：选B　由题意得，该射手在一次训练中五次射击的成绩的极差为9.7－9.4＝0.3，平均值为×(9.4＋9.4＋9.4＋9.6＋9.7)＝9.5，

所以该射手成绩的方差s2＝×[(9.4－9.5)2×3＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016，故选B.

5．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(　　)

A．甲地：总体平均数为3，中位数为4

B．乙地：总体平均数为1，总体方差大于0

C．丙地：中位数为2，众数为3

D．丁地：总体平均数为2，总体方差为3

解析：选D　根据信息可知，连续10天内，每天新增的疑似病例不能超过7人．

选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，选项C中也有可能存在大于7的数；

选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；

选项D中，设连续10天，每天新增疑似病例分别为x1，x2，x3，…，x10，并设有一天超过7人，如第一天为8人，则s2＝[(8－2)2＋(x2－2)2＋…＋(x10－2)2]>3，因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人．

6．对共有10人的一个数学小组做一次数学测试，测试题由10道单项选择题构成，每答对1题得5分，答错或不答得0分，批阅后的统计得分情况如表所示：

则这次测试的平均成绩为________分．

解析：由题意得50分的有2人，得45分的有2人，得40分的有4人，得35分的有2人，则平均成绩为＝42(分)．

答案：42

7．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么当这组数据的方差最大时，被污损的两个数据分别是________．

解析：设这组数据的最后两个数分别是10＋x，y，则9＋10＋11＋(10＋x)＋y＝50，得x＋y＝10，所以s2＝[1＋0＋1＋x2＋(－x)2]＝＋x2，所以当x＝9时，s2最大，为，故被损的两个数据分别是19，1.

答案：19，1

8．小明5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．

解析：由题意可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，

设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，|t|＝2，故|x－y|＝2|t|＝4.

答案：4

9．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：

分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适．

解：甲赛手最大速度数据的平均数甲＝＝33，

方差s＝×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67，

极差为11.

乙赛手最大速度数据的平均数乙＝＝33，

方差s＝×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67，

极差为10.

综合比较以上数据可知，选乙参加比赛比较合适．

10．某超市从甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，整理得到甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图.

(1)求出频率分布直方图中a的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；

(2)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位：箱)的方差分别为s，s，试比较s和s的大小；

(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月(按30天计算)的销售总量．

解：(1)由乙种酸奶日销售量的频率分布直方图可得

10a＝1－(0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.15，解得a＝0.015.

根据表中数据可作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如图所示：

(2)法一：记甲、乙两种酸奶日销售量的平均数分别为甲，乙，

则甲＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5(箱)，

乙＝5×0.2＋15×0.1＋25×0.3＋35×0.15＋45×0.25＝26.5(箱)，

所以s＝(5－26.5)2×0.1＋(15－26.5)2×0.2＋(25－26.5)2×0.3＋(35－26.5)2×0.25＋(45－26.5)2×0.15＝142.75，

s＝(5－26.5)2×0.2＋(15－26.5)2×0.1＋(25－26.5)2×0.3＋(35－26.5)2×0.15＋(45－26.5)2×0.25＝202.75，所以s<s.

法二：比较两种酸奶的频率分布直方图，数据越集中，则方差越小，由频率分布直方图可得，甲种酸奶对应的数据更集中，故甲的方差小于乙的方差，即s<s.

(3)由(2)得乙种酸奶的平均日销售量为26.5箱，

故乙种酸奶未来一个月的销售总量为26.5×30＝795(箱)．

[B级　综合运用]

11．(多选)某同学的6次数学测试成绩(满分100分)分别为：78，83，83，85，91，90，给出关于该同学数学成绩的以下说法，其中正确的是(　　)

A．最大值为91  B．中位数为83

C．众数是83  D．平均数是85

解析：选ACD　由题中数据可知，最大值为91，故A正确；中位数为84，故B错误；众数为83，故C正确；平均数为＝85，故D正确．故选A、C、D.

12．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：

甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67；

乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75.

经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获得冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？

解：甲的平均成绩和方差如下：

甲＝×(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69(m)，

s＝×[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.

乙的平均成绩和方差如下：

乙＝×(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68(m)，

s＝×[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.

显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛．

在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m方可获得冠军，应派乙参赛．