高中北师大版 (2019)2.1 古典概型达标测试

古典概型的概率计算公式

[A级　基础巩固]

1．某天放学后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们随机依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是(　　)

A．　　　　　　　　 B．

C．    D．

解析：选A　2位男同学和2位女同学走出教室的所有可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6种，所以第2位走出的是男同学的概率P＝＝.故选A.

2．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条线段，则以这三条线段为边，可以构成三角形的概率是(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选D　∵试验所包含的样本点为(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共4种，则可以构成三角形所包含的样本点为(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，共3种，∴所求的概率是.故选D.

3．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选D　个位数与十位数之和为奇数的两位数一共有45个，其中个位数为0的有5个，概率为.

4．两个骰子的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有两个实根的概率为(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选C　(b，c)共有36个结果，方程有解，则Δ＝b2－4c≥0，∴b2≥4c，满足条件的数记为(b2，4c)，共有(4，4)，(9，4)，(9，8)，(16，4)，(16，8)，(16，12)，(16，16)，(25，4)，(25，8)，(25，12)，(25，16)，(25，20)，(25，24)，(36，4)，(36，8)，(36，12)，(36，16)，(36，20)，(36，24)，19个结果，P＝.

5．将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选B　在这27个小正方体中，只有原正方体的8个顶点所对应的小正方体的3面是涂色的，故概率P＝.

6．甲、乙两人随意入住两间客房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．

解析：甲、乙两人入住两间客房有甲、乙两人同住一间房，甲、乙两人各住一间房共4种情况，其中甲、乙两人各住一间房的概率为P＝＝.

答案：

7．设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的概率是________．

解析：将a，b的取值记为(a，b)，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9种可能．

当直线与圆有公共点时，可得≤1，从而符合条件的有(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共5种可能，故所求概率为.

答案：

8．从集合A＝{2，3，－4}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2，－3，4}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第二象限的概率为________．

解析：依题意k和b的所有可能的取法有(2，－2)，(2，－3)，(2，4)，(3，－2)，(3，－3)，(3，4)，(－4，－2)，(－4，－3)，(－4，4)，共9种，因为题中k，b均不为0，所以当直线y＝kx＋b不经过第二象限时，应有k>0，b<0，满足条件的取法有(2，－2)，(2，－3)，(3，－2)，(3，－3)，共4种，故所求概率为.

答案：

9．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).

(1)用表中字母列举出所有可能的结果；

(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．

解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛，则试验的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，X)，(A，Y)，(A，Z)，(B，C)，(B，X)，(B，Y)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，(C，Z)，(X，Y)，(X，Z)，(Y，Z)}，共15种可能的结果．

(2)M＝{(A，Y)，(A，Z)，(B，X)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)}，共6种可能的结果．

因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.

10．将一枚骰子连续抛掷两次，第一次抛掷的点数记为a，第二次抛掷的点数记为b.

(1)求直线ax＋by＝0与直线x＋2y＋1＝0平行的概率；

(2)求长度依次为a，b，2的三条线段能构成三角形的概率．

解：(1)依题意以数对(a，b)表示可能的结果，连续抛掷两次所有可能的结果共有36种，满足要求的(a，b)有(1，2)，(2，4)，(3，6)三种．

故所求概率为P＝＝.

(2)由于a，b，2是三角形的三边，所以a＋b>2，|a－b|<2，满足要求的(a，b)有(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共15种，故所求概率为P＝＝.

[B级　综合运用]

11．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)

A．　　　　　　　　　 B．

C．    D．

解析：选C　从A，B中各任意取一个数记为(x，y)，则有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6个样本点．而这两数之和为4的有(2，2)，(3，1)，共2个样本点．又从A，B中各任意取一个数的结果是等可能的，故所求的概率为＝.

12．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．

(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；

(2)若以B表示事件“和大于4而小于9”，求P(B)；

(3)这种游戏公平吗？试说明理由．

解：将所有可能情况列表如下：

由上表可知，该试验样本空间共有25个样本点，每个样本点出现的可能性相等，属于古典概型．

(1)“和为6”的结果有：(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个样本点，故所求的概率P(A)＝＝.

(2)“和大于4而小于9”包含了(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共16个样本点，所以P(B)＝.

(3)这种游戏不公平．因为“和为偶数”包括13个样本点，即甲赢的概率为，乙赢的概率为＝，所以它不公平．