高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率2 古典概型2.1 古典概型同步练习题

古典概型的概率计算

[A级　基础巩固]

1．甲、乙两人一起去游览公园，他们约定各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们在同一个景点的概率是(　　)

A．　　　　　　　　 B．

C．    D．

解析：选D　甲、乙最后一小时所在的景点共有36个样本点，甲、乙最后一小时在同一个景点共有6个样本点．由古典概型公式，知最后一小时他们在同一个景点的概率是P＝＝.

2．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选C　正方形四个顶点可以确定6条直线，甲、乙各自任选一条共有36个样本点．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，其包含10个样本点，所以所求概率等于＝.

3．设a是从集合中随机取出的一个数，b是从集合中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b).记“这些样本点中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选B　试验发生包含的样本点是分别从两个集合中取1个数字，共有12种结果，满足条件的事件是满足logba≥1，可以列举出所有的样本点，当b＝2时，a＝2，3，4，当b＝3时，a＝3，4，共有3＋2＝5(个)，∴根据古典概型的概率公式得到概率是.

4．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选C　当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”).共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率P＝＝.故选C.

5．(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是(　　)

A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是

B．每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16

C．每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是

D．每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16

解析：选ACD　记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品．A选项，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝＝，A正确；B选项，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)}，共12个样本点，B错误；C选项，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为，C正确；D选项，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，共16个样本点，D正确．故选A、C、D.

6．若f(x)＝2x－1(x＝1，2，3，4，5，6)的值域构成集合A，g(x)＝3x＋1(x＝1，2，3，4，5，6)的值域构成集合B.任取一实数a∈A∪B，则a∈A∩B的概率是________．

解析：由已知，得A＝{1，2，4，8，16，32}，B＝{4，7，10，13，16，19}，

所以A∪B＝{1，2，4，7，8，10，13，16，19，32}，A∩B＝{4，16}.

所以所求概率P＝＝.

答案：

7．现有A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).小莉掷A立方体朝上的数字为x、小花掷B立方体朝上的数字为y来确定点P(x，y)，则她们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为________．

解析：由题意知，点P的横坐标有6种可能，纵坐标也有6种可能，因此点P的坐标共有36种可能的结果．其中坐标(1，3)，(2，4)，(3，3)能使解析式y＝－x2＋4x成立，所以点P落在抛物线y＝－x2＋4x上共有3种可能的结果，其概率P＝＝.

答案：

8．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________．

解析：连续2次抛掷一枚骰子，向上的数字之和的结果如表所示．

m可能取到的值有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，对应的样本点个数依次为1，2，3，4，5，6，5，4，3，2，1，因此“两次向上的数字之和为7”时P(A)最大．

答案：7

9．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛．

(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；

(2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率．

解：根据题意可知其样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，共6个样本点．

(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，事件A包含的样本点有：(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，共2个，所以P(A)＝＝.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.

(2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B，事件B包含的样本点有：(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共4个，所以P(B)＝＝.

所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为.

10．一个盒子中装有1个黑球和2个白球，这3个球除颜色外完全相同．有放回地连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球．计算下列事件的概率：

(1)取出的两个球都是白球；

(2)第一次取出白球，第二次取出黑球；

(3)取出的两个球中至少有一个白球．

解：(1)把2个白球记为白1，白2.

其样本空间Ω＝{(黑，黑)，(黑，白1)，(黑，白2)，(白1，黑)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，黑)，(白2，白1)，(白2，白2)}，共9个样本点．

设“取出的两个球都是白球”为事件A，则事件A包含的样本点有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4个．

故取出的两个球都是白球的概率P(A)＝.

(2)设“第一次取出白球，第二次取出黑球”为事件B，则事件B包含的样本点有(白1，黑)，(白2，黑)，共2个．

故第一次取出白球，第二次取出黑球的概率为P(B)＝.

(3)设“取出的两个球中至少有一个白球”为事件C，则C包含的样本点有8个，故取出的两个球中至少有一个白球的概率P(C)＝.

[B级　综合运用]

11．某中学为了加强艺术教育，促进学生全面发展，要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课，某班有50名学生，选择音乐的有21人，选择美术的有39人，从全班学生中随机抽取一人，那么这个人两种兴趣班都选择的概率是________．

解析：由题意可知，两种兴趣班都选择的人数为21＋39－50＝10(人)，所以所求概率为＝.

答案：

12．一个盒子中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

(1)从盒子中不放回地随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(2)先从盒子中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．

解：(1)从盒子中不放回地随机抽取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个，

其中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2，1和3两个．

因此所求事件的概率为＝.

(2)先从盒子中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从盒子中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共16个，其中满足条件n<m＋2的结果共有13个，

所以满足条件n<m＋2的概率为.