北师大版高中数学必修第一册第三章指数运算与指数函数章末复习与总结练习含答案

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章末复习与总结一、数学运算数学运算核心素养在本章中主要体现在指数幂的运算、幂的运算及函数求值(最值)等问题中． 指数与指数幂的运算[例1]　(1)若x>0，则－4x·＝________；(2)已知a＝－，b＝，则÷＝________．[解析]　(1)原式＝4x－33－4x＋4＝－27＋4＝－23.(2)原式＝÷＝×＝＝＝a.由题意得，a＝－，∴a＝.[答案]　(1)－23　(2) 条件求值问题[例2]　已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值．[解]　8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)[(2x＋2－x)2－3]＝a(a2－3)． 与指数函数有关的最值问题[例3]　已知函数y＝4x－2x＋1＋5的定义域为[－1，3]．(1)求函数在[－1，3]的单调区间；(2)求函数在[－1，3]的最大值和最小值．[解]　由题意得，y＝4x－2x＋1＋5＝(2x)2－2×2x＋5.(1)令t＝2x，故y＝t2－2t＋5，对称轴为t＝1，由于－1≤x≤3，所以t∈，根据复合函数单调性可知，函数y＝(2x)2－2×2x＋5在t∈，即x∈[－1，0)上递减，在t∈[1，8]，即x∈[0，3]上递增．(2)由(1)知，当x＝0时，函数y＝(2x)2－2×2x＋5有最小值为4；当x＝－1时，y＝；当x＝3时，y＝53.所以函数y＝(2x)2－2×2x＋5的最大值为53.二、直观想象直观想象核心素养在本章中主要体现在指数函数图象的识别与应用问题中．指数函数图象的识别[例4]　定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是(　　)[解析]　由题意，知f(x)＝1⊕2x＝只有选项A中的图象符合要求．故选A.[答案]　A 指数函数图象的应用[例5]　(1)若函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图象如图所示，则g(x)＝a－x＋b的图象可能是(　　)(2)已知f(x)＝|3x－1|＋1，若关于x的方程[f(x)]2－(2＋a)f(x)＋2a＝0有三个实根，则实数a的取值范围是(　　)A．1<a<2　　　　　　　 B．a>2C．2<a<3  D．a>1[解析]　(1)根据函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图象知a>1，－1<b<0，g(x)＝a－x＋b＝＋b，根据函数平移变换知选项C满足条件，故选C.(2)由题得[f(x)－2]·[f(x)－a]＝0，所以f(x)＝2或f(x)＝a，所以|3x－1|＋1＝2或|3x－1|＋1＝a，所以|3x－1|＝1或|3x－1|＝a－1，|3x－1|＝1有一个根，所以方程|3x－1|＝a－1有两个不同的实根，函数y＝|3x－1|的图象如图所示，所以0<a－1<1，所以1<a<2.故选A.[答案]　(1)C　(2)A三、逻辑推理逻辑推理核心素养在本章中主要体现在性质判断、比较大小和不等式的求解问题中．性质的判断[例6]　(多选)设y＝[x]，x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是(　　)A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)在R上是增函数D．g(x)的值域是{－1，0}[解析]　∵f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∵函数f(x)＝－，∴f(x)＝－，又y＝ex＋1在R上为增函数，∴f(x)＝－在R上为增函数．∵ex＋1>1，∴0<<1，∴－<－<，∴当f(x)∈时，[f(x)]＝－1，当f(x)∈时，[f(x)]＝0，当f(x)＝0时，[f(x)]＝0，∴函数g(x)＝[f(x)]的值域为{－1，0}．综上，可知B、C、D正确．[答案]　BCD[例7]　若实数x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则S＝2x＋2y的取值范围是________．[解析]　4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1⇒(2x)2＋(2y)2＝2(2x＋2y)⇒(2x＋2y)2－2×2x×2y＝2(2x＋2y)，即S2－2S＝2×2x×2y，又0<2×2x×2y≤＝，即0<S2－2S≤，解得2<S≤4.[答案]　(2，4] 比较大小[例8]　已知a＝0.3－2，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>c  B．a>c>bC．c>b>a  D．b>a>c[解析]　∵b＝<c＝<1，a＝0.3－2>1，∴a>c>b.故选B.[答案]　B 解不等式[例9]　若2≤的解集是函数y＝2x的定义域，则函数y＝2x的值域是(　　)A.  B．C.  D．[2，＋∞)  [解析]　由2≤得2≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)≤0，解得－3≤x≤1，即函数y＝2x的定义域为[－3，1]．由于函数y＝2x在R上递增，故当x＝－3时，取得最小值，当x＝1时，取得最大值2，所以函数的值域为.故选B.[答案]　B