北师大版高中数学必修第一册第五章函数应用章末复习与总结练习含答案

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章末复习与总结一、数学运算数学运算核心素养在本章中主要体现在方程根(函数零点)的求解及存在区间的判断问题中.求函数的零点[例1]　函数f(x)＝则函数g(x)＝3f2(x)－8f(x)＋4的零点个数是(　　)A．5　　　　　　　　 B．4C．3  D．6[解析]　函数g(x)＝3f2(x)－8f(x)＋4＝[3f(x)－2][f(x)－2]的零点，即方程f(x)＝和f(x)＝2的根．函数f(x)＝的图象如图所示，由图可得，方程f(x)＝和f(x)＝2共有5个根，即函数g(x)＝3f2(x)－8f(x)＋4有5个零点，故选A.[答案]　A函数零点、方程的根所在区间的判断[例2]　方程6－2x＝ln x必有一根的区间是(　　)A．(2，3)  B．(3，4)C．(0，1)  D．(4，5)[解析]　由6－2x＝ln x，得2x＋ln x－6＝0，构造函数f(x)＝2x＋ln x－6.∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，f(4)＝ln 4＋2>0，f(5)＝ln 5＋4>0，f(1)＝－4<0，∴由零点存在定理可知，方程6－2x＝ln x必有一根的区间是(2，3)．[答案]　A二、直观想象在本章中，根据函数零点或方程解的情况求参数等问题均突出体现了直观想象这一核心素养.根据函数零点或方程解的情况求参数[例3]　已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　)A．(0，1)  B．(0，2)C．(0，3)  D．(1，3)[解析]　∵函数f(x)＝∴作出函数f(x)图象，如图所示．方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，等价于函数y＝f(x)的图象与y＝a有三个不同的交点，根据图象可知，当0<a<1时，函数y＝f(x)的图象与y＝a有三个不同的交点，即方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，故a的取值范围是(0，1)，故选A.[答案]　A三、数学建模根据具体问题，选择合适的数学模型解决实际问题，突出体现了数学建模这一核心素养.函数模型的应用[例4]　汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料．某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240 km的平坦高速路段进行测试．经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的数据如下表：v0406080F010 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：F(v)＝av3＋bv2＋cv；F(v)＝＋a；F(v)＝klogav＋b.(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？[解]　(1)由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为[0，120]，且在[0，120]上为增函数．因为函数F(v)＝＋a在[0，120]是减函数，所以不符合题意．因为函数F(v)＝klogav＋b的v≠0，即定义域不可能为[0，120]，所以不符合题意．所以最符合实际的函数模型为F(v)＝av3＋bv2＋cv.由已知数据得解得所以F(v)＝v3－v2＋v(0≤v≤120)．(2)设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t.由题意得y＝F·t＝·＝v2－v＋70＝(v－80)2＋30.因为0≤v≤120，所以当v＝80时，y有最小值30.所以这辆车在该测试路段上以80 km/h的速度行驶时总耗油量最少，最少为30 L.