高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 必要条件与充分条件巩固练习

充要条件

[A级　基础巩固]

1．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．x2≠1是x≠1的必要条件

B．x＞5是x＞4的充分不必要条件

C．xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件

D．x2＜4是x＜2的充分不必要条件

解析：选BD　A中，x2≠1时，一定有x≠1，但x≠1时，不一定推出x2≠1，如x＝－1，故x2≠1是x≠1的充分不必要条件，故A不正确；B中，x＞5能推出x＞4，但x＞4不能推出x＞5，故x＞5是x＞4的充分不必要条件，故B正确；C中，由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，故C不正确；D中，x2＜4，则－2＜x＜2，能推出x＜2，但x＜2不能推出x2＜4，故x2＜4是x＜2的充分不必要条件，故D正确．故选B、D.

2．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C　因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件．

3．若p：|x|≤2，q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)

A．[2，＋∞)　　　　　　　 B．(－∞，2]

C．[－2，＋∞)  D．(－∞，－2]

解析：选A　p：－2≤x≤2，q：x≤a.因为p是q的充分不必要条件，所以p对应的集合是q对应的集合的真子集，所以a≥2.

4．已知p：{x|x＋2≥0且x－10≤0}，q：{x|4－m≤x≤4＋m，m＞0}．若p是q的充要条件，则实数m的值为(　　)

A．4  B．5

C．6  D．7

解析：选C　由已知得p：{x|－2≤x≤10}．由p是q的充要条件得{x|－2≤x≤10}＝{x|4－m≤x≤4＋m，m＞0}，因此解得m＝6，故选C.

5．命题p：x＜－1，则使p成立的一个充分不必要条件为(　　)

A．x＜－1  B．x＜2

C．－8＜x＜2  D．－10＜x＜－3

解析：选D　由于－10＜x＜－3⇒x＜－1，反之不成立，所以命题p的一个充分不必要条件为－10＜x＜－3，其他选项均不符合．故选D.

6．“x＞1”是“x2≥1”的____________．

解析：由“x＞1”可以推出“x2≥1”，所以具有充分性；

由“x2≥1”可以推出“x＜－1或x＞1”，推导不出“x＞1”，所以不具有必要性；

故“x＞1”是“x2≥1”的充分不必要条件．

答案：充分不必要条件

7．若不等式－a＜x－1＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是________．

解析：∵－a＜x－1＜a，∴1－a＜x＜1＋a.

又∵不等式－a＜x－1＜a成立的充分条件是0＜x＜4，

∴即∴a≥3.

答案：[3，＋∞)

8．0＜a≤1是方程ax2＋2x＋1＝0只有负实根的________条件；0≤a≤2是方程ax2＋2x＋1＝0只有负实根的________条件．

解析：若方程ax2＋2x＋1＝0只有负实根，

当a＝0时，方程2x＋1＝0的根为x＝－，符合；

当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a，

当Δ＝0，即a＝1时，方程根为x1＝x2＝－1，符合，

当Δ＞0，即a＜1且a≠0时，有两个不相等实数根x1，x2，若都是负根，则解得a＞0，∴0＜a＜1，

综上所述0≤a≤1.

反之，若0≤a≤1，则方程只有负实根，也就是说ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是0≤a≤1.故0＜a≤1是方程ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充分不必要条件；0≤a≤2是方程ax2＋2x＋1＝0只有负实根的必要不充分条件．

答案：充分不必要　必要不充分

9．设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0，q：实数x满足2＜x＜3.

(1)若a＝1，且p和q均为真，求实数x的取值范围；

(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，若命题p为真，则1＜x＜3，若命题q为真，则2＜x＜3，∵p，q均为真，∴2＜x＜3，即实数x的取值范围是{x|2＜x＜3}．

(2)若q是p的充分不必要条件，则⇒1≤a≤2，

所以，实数a的取值范围是{a|1≤a≤2}．

10．已知集合M＝{x|x＜－3或x＞5}，P＝{x|a≤x≤8}．

(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件；

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件；

(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个必要不充分条件．

解：(1)M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，所以实数a的取值范围是{a|－3≤a≤5}．

(2)结合(1)可知，满足－3≤a≤5的任意一个值都可以．如取a＝0.

(3)若a＝－5，显然M∩P＝{x|－5≤x<－3或5<x≤8}是M∩P＝{x|5＜x≤8}的必要不充分条件．

再结合图象可知a＜－3时它是M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个必要不充分条件，即此时a的取值范围是(－∞，－3)．

[B级　综合运用]

11．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合的条件，用序号填空：

(1)“使a，b都为0”的必要条件是________．

(2)“使a，b都不为0”的充分条件是________．

(3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是________．

解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；

②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；

③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或

④ab>0⇔或则a，b都不为0.

答案：(1)①②③　(2)④　(3)①

12．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.则△ABC为直角三角形的充要条件是a2＋b2＝c2.试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明．

解：△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2＞c2.

证明：充分性．若a2＋b2＞c2，则△ABC不是直角三角形，如果△ABC为钝角三角形，则∠C＞90°，过点B作AC的延长线的垂线，垂足为D(图①)，由勾股定理知c2＝BD2＋(b＋CD)2＝BD2＋CD2＋b2＋2·CD·b＝a2＋b2＋2·CD·b＞a2＋b2，与a2＋b2>c2相矛盾，故△ABC为锐角三角形．

必要性：过点A作边BC的垂线，垂足为D(图②)，由勾股定理知，

c2＝AD2＋BD2

＝AD2＋(a－CD)2

＝b2－CD2＋(a－CD)2

＝a2＋b2－2·CD·a＜a2＋b2，

故必要性成立，故△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2>c2.