北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.2 一元二次不等式及其解法课时作业

一元二次不等式及其解法

[A级　基础巩固]

1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)

A.

B.

C．∅

D.

解析：选D　原不等式可化为(3x＋1)2≤0，

∴3x＋1＝0，∴x＝－.

2．若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是，则a的值为(　　)

A．－　　　　　　　　 B．2

C．－2  D.

解析：选C　因为不等式ax2＋5x－2＞0的解集为，

所以，2为方程ax2＋5x－2＝0的两根，

所以根据根与系数的关系可得

×2＝－，所以a＝－2.

3．在R上定义运算⊗：a⊗b＝ab＋2a＋b，则满足x⊗(x－2)＜0的实数x的取值范围为(　　)

A．(0，2)

B．(－2，1)

C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

D．(－1，2)

解析：选B　∵x⊗(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0，

∴x2＋x－2＜0，即(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1.故选B.

4．(2021·武汉模考)已知关于x的不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则关于x的不等式bx2－5x＋a＞0的解集为(　　)

A.

B.

C．{x|－3＜x＜2}

D．{x|x＜－3或x＞2}

解析：选A　∵不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，

∴方程ax2－5x＋b＝0的两根为－3，2，

即－3＋2＝，－3×2＝，

解得a＝－5，b＝30，

则不等式bx2－5x＋a＞0可化为30x2－5x－5＞0，

即6x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞，故选A.

5．(多选)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是(　　)

A．6　　　　　　　 B．7

C．8  D．9

解析：选ABC　设y＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是直线x＝3的抛物线，如图所示．

若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为x＝3，

则

解得5＜a≤8.

又a∈Z，故a可以为6，7，8.故选A、B、C.

6．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集为{x|1＜x＜m}，则实数a的值为________，实数m的值为________．

解析：由题意可知不等式ax2－6x＋a2＜0可化为a(x－1)(x－m)＜0的形式且a＞0，

所以解得m＝2，a＝2.

答案：2　2

7．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是________．

解析：x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，

把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，

解得k≥4或k≤2.

答案：{k|k≥4或k≤2}

8．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N＋)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．

解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N＋)时，[x]＝n，所以[x]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x|2≤x<8}．

答案：{x|2≤x<8}

9．已知函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2.

(1)当a＝2时，解关于x的不等式y≤0；

(2)当a＞0，解关于x的不等式y≤0.

解：(1)当a＝2时，y＝2x2－5x＋2≤0，

可得(2x－1)(x－2)≤0，

∴≤x≤2，∴解集为.

(2)ax2－(2a＋1)x＋2≤0，即a(x－2)≤0.

①当0＜a＜时，有＞2，解得2≤x≤；

②当a＝时，有＝2，解得x＝2；

③当a＞时，有＜2，解得≤x≤2.

综上，当0＜a＜时，不等式的解集为；

当a＝时，不等式的解集为{x|x＝2}；

当a＞时，不等式的解集为.

10．已知一元二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y＞0的解集为{x|－3＜x＜2}．

(1)求一元二次函数的解析式；

(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．

解：(1)因为y＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，

所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，

所以解得

所以y＝－3x2－3x＋18.

(2)因为a＝－3＜0，所以一元二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－.

所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.

[B级　综合运用]

11．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为(　　)

解析：选B　因为不等式的解集为{x|－2<x<1}，所以a<0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B.

12．(2021·苏州月考)若－1＜a＜0，则关于x的不等式(a－x)＞0的解集是________．

解析：原不等式可化成(x－a)＜0，因为－1＜a＜0，所以a＞，故原不等式的解集为.

答案：