2020-2021学年4.3 一元二次不等式的应用练习

一元二次不等式的应用

[A级　基础巩固]

1．不等式＜的解集是(　　)

A．{x|x＜2}　　　　　　 B．{x|x＞2}

C．{x|0＜x＜2}  D．{x|x＜0或x＞2}

解析：选D　不等式＜等价于－＜0，

等价于＜0，等价于2x(2－x)＜0，

解得x＜0或x＞2.故选D.

2．若不等式＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．{m|1＜m＜3}  B．{m|m＜3}

C．{m|m＜1或m＞2}  D．R

解析：选A　由4x2＋6x＋3＝＋＞0对一切x∈R恒成立，从而原不等式等价于2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3(x∈R)，即2x2＋(6－2m)x＋(3－m)＞0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＝4(m－1)(m－3)＜0，解得1＜m＜3.

3．(多选)已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是(　　)

A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1，或m>9}

B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}

C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}

D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}

解析：选BCD　在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B正确；在C中，由题意得解得0<m≤1，故C正确；在D中，由Δ＝(m－3)2－4m<0得1<m<9，又{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故D正确．故选B、C、D.

4．某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P(单位：元/件)与月销售量x(单位：件)之间的关系为P＝160－2x，生产x件的成本(单位：元)R＝500＋30x.若每月获得的利润y(单位：元)不少于1 300元，则该厂的月销售量x的取值范围为(　　)

A．(20，45)　　　　　　　 B．[20，45)

C．(20，45]  D．[20，45]

解析：选D　由题意，得y＝x(160－2x)－(500＋30x)，∴y＝－2x2＋130x－500，令y≥1 300，得－2x2＋130x－500≥1 300，∴x2－65x＋900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，∴20≤x≤45.

5．(2021·黄冈中学月考)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则(　　)

A．－1＜a＜1  B．0＜a＜2

C．－＜a＜  D．－＜a＜

解析：选C　根据题意，不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1可变形为(x－a)(1－x－a)＜1，∴x2－x－a2＋a＋1＞0.要使x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，则Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)＜0，即4a2－4a－3＜0，∴－＜a＜，故选C.

6．不等式＜2的解集为________．

解析：原不等式等价于x2－2x－2＜2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4＞0⇔(x＋2)2＞0⇔x≠－2.∴原不等式的解集为{x|x≠－2}．

答案：{x|x≠－2}

7．(2021·济南外国语学校高一段考)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的取值范围是________．

解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100≥3 000，整理得5x－14－≥0，又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.故x的取值范围为[3，10]．

答案：[3，10]

8．在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．

解析：原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，

即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，

因为x2－x－1＝－≥－，

所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.

所以a的最大值为.

答案：

9．设函数y＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围；

(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．

解：(1)若m＝0，显然－1＜0恒成立；

若m≠0，则⇒－4＜m＜0.

∴m的取值范围为{m|－4＜m≤0}．

(2)y＜－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6＜0恒成立，

∵x2－x＋1＝＋＞0，∴m＜.

∵函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，∴只需m＜即可．

∴m的取值范围为.

10．某小商品在2020年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2021年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格之差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．

(1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y(单位：元)与实际价格x(单位：元/件)的函数关系式；

(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2021年的收益比2020年至少增长20%?

解：(1)由题意知，该商品价格下调后为x元/件，则年销量增加到件，故经销商的年收益y＝(x－3)，5.5≤x≤7.5.

(2)当k＝2a时，依题意有(x－3)≥(8－3)a×(1＋20%)，化简得≥0，解得x≥6或4＜x≤5.

又5.5≤x≤7.5，故6≤x≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2021年的收益比2020年至少增长20%.

[B级　综合运用]

11．已知不等式(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3＞0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．

解析：①当m2＋4m－5＝0时，m＝－5或m＝1.

若m＝－5，则不等式化为24x＋3＞0，对任意实数x不可能恒大于0.

若m＝1，则3＞0恒成立．

②当m2＋4m－5≠0时，根据题意应有

∴∴1＜m＜19.

综上可知，{m|1≤m＜19}．

答案：{m|1≤m＜19}

12．已知函数y＝x2－2ax＋a＋2，a∈R.

(1)若方程y＝0有两个小于2的不等实根，求实数a的取值范围；

(2)若不等式y≥－1－ax对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)因为方程y＝0，即x2－2ax＋a＋2＝0有两个小于2的不等实根，

所以即

所以a＜－1，

故实数a的取值范围为(－∞，－1)．

(2)由y≥－1－ax可得x2－2ax＋a＋2≥－1－ax，

所以x2－ax＋a＋3≥0对任意x∈R恒成立，

所以Δ＝a2－4(a＋3)≤0，

即a2－4a－12≤0，解得－2≤a≤6.

故实数a的取值范围为[－2，6]．