高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第二章 函数2 函数2.2 函数的表示法达标测试

函数的表示法

[A级　基础巩固]

1．(多选)已知f(2x＋1)＝4x2，则下列结论正确的是(　　)

A．f(3)＝36　　　　　　 B．f(－3)＝16

C．f(x)＝16x2＋16x＋4  D．f(x)＝x2－2x＋1

解析：选BD　当2x＋1＝3时，x＝1，因此f(3)＝4×12＝4，所以A不符合题意；

当2x＋1＝－3时，x＝－2，因此f(－3)＝4×(－2)2＝16，所以B符合题意；

令t＝2x＋1，则x＝，因此f(t)＝4×＝t2－2t＋1，所以f(x)＝x2－2x＋1，所以D正确，C不正确．

2．以下形式中，不能表示y是x的函数的是(　　)

A.

B.

C．y＝x2

D．(x＋y)(x－y)＝0

解析：选D　根据函数的定义及表示方法可知，只有选项D中可化为y＝x或y＝－x，不满足函数的定义，故选D.

3．函数y＝－的大致图象是(　　)

解析：选B　函数y＝－的图象是由函数y＝－的图象向左平移1个单位长度得到的，而函数y＝－的图象在第二、第四象限，结合所给的四个图象只有B符合，故选B.

4．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”．这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，都有一个确定的y与之对应，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式．已知函数f(x)由下表给出，则f的值为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选D　∵∈(－∞，1]，

∴f＝1，

则10f＝10，

∴f＝f(10)．

又∵10∈[2，＋∞)，∴f(10)＝3，故选D.

5．已知等腰三角形的周长是20，底边长y是腰长x的函数，则(　　)

A．y＝10－x，0<x<10

B．y＝10－x，5<x<10

C．y＝20－2x，0<x<10

D．y＝20－2x，5<x<10

解析：选D　∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.由20－2x>0，得x<10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)，得2x>20－2x，得x>5.综上，可得5<x<10，所以y＝20－2x，5<x<10.

6．设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x)＋2f＝3x，则f(2 022)＝________．

解析：分别令x＝1和x＝2 022得解得f(2 022)＝－2 020.

答案：－2 020

7．(2020·南京高一月考)已知f＝x2＋，则f(2)＝________．

解析：f＝x2＋＝＋2，把x－整体换成x，可得f(x)＝x2＋2，所以f(2)＝22＋2＝6.

答案：6

8．已知f(＋1)＝x，则函数f(x)的解析式为________．

解析：令t＝＋1，则t≥1.

所以x＝(t－1)2＋.故f(t)＝(t－1)2＋(t≥1)．

所以函数解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≥1)．

答案：f(x)＝x2－x＋1(x≥1)

9．已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间满足关系式t＝ax＋(a∈R，b∈R)．当x＝2时，t＝100，当x＝4时，t＝53，且参加此项任务的人数不能超过8.

(1)写出t关于x的函数解析式；

(2)用列表法表示此函数；

(3)画出此函数的图象．

解：(1)由题意，可得解得

所以t＝x＋.

又x≤8，x为正整数，所以此函数的定义域是{x|0<x≤8，x∈N＋}．

故此函数的解析式是t＝x＋(0<x≤8，x∈N＋)．

(2)由(1)知x＝1，2，3，4，5，6，7，8，

t与x的对应关系列表如下：

(3)此函数的图象如图所示：

10．已知函数f(x)＝.

(1)把函数f(x)化为f(x)＝a＋的形式；

(2)用平移变换的方法作出函数f(x)的图象，并说明作图过程；

(3)若定义域为∪(1，＋∞)，通过观察图象直接写出函数f(x)的值域．

解：(1)f(x)＝＝＝1－＝1＋.

(2)函数y＝的图象向右平移个单位长度得函数y＝的图象，再向上平移1个单位长度得函数y＝1＋的图象，如图所示．

(3)通过观察图象可知，函数f(x)的值域为(－1，1)∪(3，＋∞)．

[B级　综合运用]

11．已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(2－x)的图象为(　　)

解析：选B　对应函数y＝f(x)图象上的点(0，0)，(1，1)，(2，1)，y＝－f(2－x)的图象应过点(2，0)，(1，－1)，(0，－1)，故B中图象正确．

12．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，利用函数图象解决下列问题：

(1)若x1<x2≤1，试比较f(x1)与f(x2)的大小；

(2)若f(x)的定义域和值域都是[1，b]，试求b的值．

解：(1)f(x)＝(x－1)2＋1，作出函数f(x)的图象，如图所示：

由函数f(x)的图象，可知当x1<x2≤1时，f(x1)>f(x2)．

(2)由函数f(x)的图象，可知当f(x)的定义域是[1，b]时，其值域应为[f(1)，f(b)]．

又f(x)的值域是[1，b]，且f(1)＝1，

所以f(b)＝b，即b2－2b＋2＝b，

解得b＝1或b＝2.

又b>1，所以b＝2.