2021学年2.1 函数概念精练

函数概念

[A级　基础巩固]

1．(多选)设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A可能是(　　)

A．{1}　　　　　　　　　 B．{－1}

C．{－1，1}  D．{－1，0}

解析：选ABC　若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02＝0∉B，故D不符合题意，A、B、C都符合题意．

2．(2021·温州十校联考)已知函数f(x)＝，则f(x)的值域是(　　)

A.  B．

C.  D．(0，＋∞)

解析：选C　∵x2＋2≥2，∴0<≤，∴f(x)的值域为.故选C.

3．(多选)下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是(　　)

A．y＝x－1  B．y＝

C．y2＝4x  D．y2＝x2

解析：选CD　选项C中，当x＝1时，y＝±2，不符合函数的定义；选项D中，当x＝1时，y＝±1，不符合函数的定义．故选C、D.

4．已知a，b为实数，集合A＝{a＋6，－2}，B＝{b2－2b－1，3}，函数f：A→B的解析式为f(x)＝x，则a－b＝(　　)

A．4  B．－1

C．－2  D．－4

解析：选D　∵A＝{a＋6，－2}，B＝{b2－2b－1，3}，函数f：A→B的解析式为f(x)＝x，

∴解得∴a－b＝－4，故选D.

5．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有(　　)

A．10个  B．9个

C．8个  D．4个

解析：选B　由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．

6．函数y＝的定义域用区间表示为________．

解析：要使函数有意义，需满足即

∴函数的定义域为(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6]．

答案：(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6]

7．我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)－(2⊕x)，x∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为________．

解析：由题意知，当x∈[－2，1]时，f(x)＝－1；

当x∈(1，2]时，f(x)＝x2－2∈(－1，2]．

所以当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－1，2]．

答案：[－1，2]

8．若函数f(x)的定义域为[－2，1]，则y＝f(x)＋f(－x)的定义域为________，y＝f(2x＋1)的定义域为________．

解析：由题意，得即－1≤x≤1.

故y＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1，1]．

由－2≤2x＋1≤1，得－≤x≤0，即函数y＝f(2x＋1)的定义域为.

答案：[－1，1]　

9．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．

(1)求f(2)，g(3)的值；

(2)求f(g(3))的值及f(g(x))．

解：(1)因为f(x)＝，

所以f(2)＝＝－.

因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.

(2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝＝－，

f(g(x))＝＝＝(x≠0)．

10．已知函数f(x)＝.

(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；

(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的结论；

解：(1)∵f(x)＝，

∴f(2)＋f＝＋＝1，

f(3)＋f＝＋＝1.

(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1.

证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.

[B级　综合运用]

11.有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t与水面高度y之间的关系图象如图，图中PQ为一线段，与之对应的容器形状是如下四个图中的(　　)

解析：选C　由题图知开始时水面高度变化幅度逐渐变慢，后面高度变化幅度逐渐变快，最后变化幅度不变，因此容器横截面面积是逐渐变大，然后逐渐变小，最后面面积不变，只有C相符．故选C.

12．(2021·黄冈质检)规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1(g(x))．

(1)分别求f1和f2；

(2)求x的取值范围，使它同时满足f1(x)＝1，f2(x)＝3.

解：(1)∵x＝时，4x＝，

∴f1＝＝1，g＝－＝.

∴f2＝f1＝f1＝[3]＝3.

(2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1，

∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.

∴解得≤x<.

故满足题意的x的取值范围为.