2023年高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练11.1《坐标系》(2份，教师版+原卷版)

2023年高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练

11.1《坐标系》

1.已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π).

【答案解析】解：(1)将，

消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2=25，

即C1：x2＋y2－8x－10y＋16=0.

将，代入x2＋y2－8x－10y＋16=0得

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16=0.

所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16=0.

(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y=0.

由

解得，或

所以C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）.

2.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos（θ- ）＝2.

(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程.

(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

【答案解析】解：(1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；

因为ρ2－2ρcos（θ-）＝2，

所以ρ2－2ρ（cosθcos+sinθsin）＝2，

所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.

(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.

化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，

即ρsin（θ+ ）＝.

3.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－)2＋(y＋1)2＝9，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程.

(2)直线OP：θ＝(ρ∈R)与圆C交于点M，N，求线段MN的长.

【答案解析】解：(1)(x－)2＋(y＋1)2＝9可化为x2＋y2－2x＋2y－5＝0，

故其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0.

(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，得

ρ2－2ρ－5＝0，

所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，

所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.

4.在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线ρsin（θ- ）＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.

【答案解析】解：因为点P(，)，所以x＝cos ＝1，

y＝sin ＝1，所以点P(1，1).

因为直线ρsin（θ- ）＝－，

展开为ρsin θ－ρcos θ＝－，所以y－x＝－，

令y＝0，则x＝1，所以直线与x轴的交点为C(1，0).

所以圆C的半径r＝|PC|＝＝1，

所以圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1，展开为x2－2x＋1＋y2＝1，

化为极坐标方程ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2 cos θ，

所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

5.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率.

【答案解析】解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程

ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，

将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.

由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.

所以l的斜率为或－.

6.已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l的参数方程为(t为参数).

(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；

(2)若曲线C2的参数方程为(α为参数)，曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值.

【答案解析】解：(1)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，

即ρ2＝4ρcos θ，

可得直角坐标方程：C1：x2＋y2－4x＝0.

直线l的参数方程为(t为参数)，

消去参数t可得普通方程：x＋2y－3＝0.

(2)P（2，），直角坐标为(2，2)，Q(2cos α，sin α)，M（1+cosα，1+sinα），

∴M到l的距离为d＝＝|sin（α+）|≤，

从而最大值为.

7.在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0), 其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.

【答案解析】解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，

曲线C3的直角坐标方程x2＋y2－2x＝0.

联立解得或

所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和（，）.

(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α≤π.

因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2 cos α，α).

所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4|sin（α-）|.

当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

8.在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=－2cos θ，ρcos(θ+ )=1.

(1)求曲线C1和C2的公共点的个数.

(2)过极点O作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|=2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形.

【答案解析】解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2=1，

它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－y－2=0，

所以曲线C2为直线，

由于圆心到直线的距离为d=＞1，

所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点.

(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，

则即①

因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，所以ρ0cos(θ0+ )=1，②

将①代入②，得cos(θ+ )=1，

即ρ=2cos(θ+ )为点P的轨迹方程，

化为直角坐标方程为（x- ）2＋（y+ ）2=1，

因此点P的轨迹是以（，- ）为圆心，1为半径的圆.