2023年高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练8.7《抛物线》(2份，教师版+原卷版)

2023年高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练

8.7《抛物线》

一 、选择题

1.已知抛物线y2＝x，则它的准线方程为(　　)

A.y＝－2　　       B.y＝2      C.x＝－          D.y＝

【答案解析】答案为：C

解析：因为抛物线y2＝x，所以p＝，＝，它的准线方程为x＝－.

2.若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为(　　)

A.y2＝4x          B.y2＝6x     C.y2＝8x          D.y2＝10x

【答案解析】答案为：C

解析：因为抛物线y2＝2px，所以准线为x＝－.因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，

所以2＋＝4，所以p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.

3.已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为(　　)

A.1          B.2      C.3          D.4

【答案解析】答案为：D

解析：F(,0)，那么M(4-,4)在抛物线上，即16＝2p(4-)，

即p2－8p＋16＝0，解得p＝4.

4.若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点P(x0，)到其焦点F的距离是P到y轴距离的3倍，

则p等于(　　)

A.          B.1       C.          D.2

【答案解析】答案为：D

解析：根据焦半径公式|PF|＝x0＋，所以x0＋＝3x0，解得x0＝，

代入抛物线方程()2＝2p×，解得p＝2.

5.抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P是C上一点，若P到F的距离是P到y轴距离的两倍，且△OPF的面积为1(O为坐标原点)，则p的值为(　　)

A.1          B.2       C.3          D.4

【答案解析】答案为：B

解析：设点P(x，y)，根据已知可得x＋＝2x，解得：x＝，|y|＝p，

所以S△OPF＝××p＝1，解得p＝2.

6.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)

A.2　　　    B.4       C.6          D.8

【答案解析】答案为：B

解析：由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，

可取A(，2)，D(－，)，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，

得p＝4，所以选B.

7.已知抛物线x2=8y与双曲线－x2=1(a＞0)的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|=5，则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A.5x±3y=0        B.3x±5y=0     C.4x±5y=0        D.5x±4y=0

【答案解析】答案为：B；

解析：设点M(x0，y0)，则有|MF|=y0＋2=5，y0=3，x=24，

由点M(x0，y0)在双曲线－x2=1上，得－x=1，－24=1，a2=，

所以双曲线－x2=1的渐近线方程为－x2=0，即3x±5y=0，选B.

8.抛物线x2=y在第一象限内图象上一点(ai，2a)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai＋1，

其中i∈N*，若a2=32，则a2＋a4＋a6等于(　　)

A.64         B.42        C.32         D.21

【答案解析】答案为：B.

解析：令y=f(x)=2x2，则切线斜率k=f′(ai)=4ai，切线方程为y－2a=4ai(x－ai)，

令y=0得x=ai＋1=ai，由a2=32得a4=8，a6=2，所以a2＋a4＋a6=42.

9.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)

A.有且只有一条           B.有且只有两条

C.有且只有三条           D.有且只有四条

【答案解析】答案为：B；

解析：若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意.

若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k(x- )，

代入抛物线y2=2x得，k2x2－(k2＋2)x＋k2=0，因为A、B两点的横坐标之和为2.

所以k=±.所以这样的直线有两条.

10.过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|=6，

=λ，则λ的值为(　　)

A.           B.        C.           D.3

【答案解析】答案为：D；

解析：设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，

则x1＋2=6，解得x1=4，y1=4，

直线AB的方程为y=2(x－2)，令x=－2，得C(－2，－8)，

联立方程解得B(1，－2)，

所以|BF|=1＋2=3，|BC|=9，所以λ=3.

11.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.若|AF|＝3|BF|，

则l的方程为(　　)

A.y＝x－1或y＝－x＋1

B.y＝(x－1)或y＝－(x－1)

C.y＝(x－1)或y＝－(x－1)

D.y＝(x－1)或y＝－(x－1)

【答案解析】答案为：C

解析：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，

并设直线l交准线于点M.设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.

由BB1∥AA1可知＝，即＝，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知选C项.

12.已知点M，N是抛物线y＝4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足∠MFN＝135°，

弦MN的中点P到直线l：y＝－的距离为d，若|MN|2＝λ·d2，则λ的最小值为(　　)

A.          B.1－    C.1＋          D.2＋

【答案解析】答案为：D

解析：抛物线y＝4x2的焦点F(0,)，准线为y＝－，设|MF|＝a，|NF|＝b，

由∠MFN＝135°，可得|MN|2＝|MF|2＋|NF|2－2|MF|·|NF|·cos∠MFN＝a2＋b2＋ab，

由抛物线的定义可得M到准线的距离为|MF|，N到准线的距离为|NF|，

由梯形的中位线定理可得d＝(|MF|＋|NF|)＝(a＋b)，由|MN|2＝λ·d2，

可得λ＝＝1－≥1－＝1－＝，

可得λ≥2＋，当且仅当a＝b时，取得最小值2＋.

二 、填空题

13.若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.

【答案解析】答案为：9

解析：由抛物线定义得xM＋1＝10⇒xM＝9.

14.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，

当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.

【答案解析】答案为：.

解析：设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，

所以|AB|＝，设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，

从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.

15.已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·=－4(其中O为坐标原点)，则△ABO面积的最小值是________.

【答案解析】答案为：4.

解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，由·=－4，即x1x2＋y1y2=－4得

yy＋y1y2=－4，得y1y2=－8.所以S△ABO=|x1y2－x2y1|=|y1－y2|≥4，

当y1=2，y2=－2时取等号，故△ABO面积的最小值为4.

16.设过抛物线y2=2px(p＞0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2=8px(p＞0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px(p＞0)的另一个交点为Q，则=________.

【答案解析】答案为：3.

解析：设直线OP的方程为y=kx(k≠0)，

联立得解得P，联立得解得Q，

∴|OP|= =，|PQ|= =，∴==3.